Qual é a expressão que representa o resultado da multiplicação 7 - 5 raíz de 3 x 2 menos 8 raiz de 3

Assim como a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão e a potenciação, as raízes também fazem parte das operações básicas da Matemática. Dessa forma, elas podem compor, por exemplo, expressões numéricas, fazer parte de fórmulas que ajudam na resolução das questões de Matemática ou de Física ou aparecerem isoladas.

Podemos falar que, apesar de esse tema não cair diretamente (dificilmente terá uma questão, por exemplo, perguntando qual é a raiz quadrada de 49), certamente o assunto será abordado, de alguma forma, nos principais exames do país. Em alguma situação, você até pode conseguir interpretar o problema, entender o conceito que está descrito nele, no entanto, pode travar no momento da resolução e, consequentemente, não chegar ao resultado esperado devido ao não conhecimento sobre a radiciação.

Viu como esse assunto é importante? Pensando nisso, neste post explicaremos detalhadamente o que é a radiciação, quais são as operações que podem ser feitas e destacaremos sobre as principais propriedades das raízes. Dessa forma, você nunca mais vai errar questões no Enem sobre o assunto. Acompanhe a seguir.

O que é radiciação?

A radiciação faz referência a uma operação que realizamos quando desejamos descobrir qual é o número que multiplicado por ele mesmo dá uma quantidade específica pela qual estamos procurando.

Essa explicação pode parecer um pouco confusa. Porém, para deixar isso mais claro, vamos a um exemplo prático. Imagine que desejamos descobrir qual é o número que multiplicado 3 dá 27.

Podemos descobrir que: 3 x 3 x 3 = 27. Dessa forma, o 3 é o número pelo qual estamos procurando. Dessa forma, podemos afirmar que a raiz terceira de 27 é igual a 3.

A partir desse exemplo, podemos perceber também que a radiciação é inversa à potenciação. Isso porque 3³=27 e ³√27=3. Da mesma maneira que a subtração é a operação inversa da adição, a radiciação é inversa da potenciação.

Qual é a representação da radiciação?

Agora, que você já sabe qual é a definição dessa operação matemática, vamos destacar como ela é representada. Nesse momento, utilizamos o símbolo √, que é denominado de radical. Vamos aproveitar o exemplo anterior para demonstrar como é feita a representação dessa operação:

³√27 = 3

Esses números representam quais elementos da operação? Não há muitos segredos em relação a isso. Eles exercem as seguinte funções:

• o número 3 representa o índice da raiz;
• o número 27 faz referência ao radicando;
• o número 3, a igualdade do problema, representa a raiz.

Com esses dados, podemos ler que a raiz cúbica de 125 é igual a 5. Agora, só tenha atenção a um detalhe: quando o índice da raiz não aparece, quer dizer que ele equivale a dois. Para deixar isso mais claro, vamos ao seguinte exemplo:

√49 = 7

A raiz quadrada de 49 é igual a 7. Isso porque, 7² equivale a 7 x 7, que é igual a 49.

Quais são as operações com radicais?

Há diferentes operações que podem ser feitas com radicais. Por isso, detalharemos sobre elas na sequência do post. Continue lendo!

Soma e subtração

Para efetuar a adição e subtração, devemos identificar se os radicais são os mesmos. Eles devem apresentar, portanto, índice e radicando iguais. Quando isso acontece, devemos repetir o radical e somar ou subtrair os coeficientes.

Exemplo:

25√3 + 100√3 = 125√3

Multiplicação e divisão

Caso os radicais tenham o mesmo índice, vamos repetir a raiz e, na sequência, multiplicaremos ou dividiremos os radicandos. Exemplo:

³√7 x ³√5 = ³√35

Por outro lado, se os radicais apresentarem índices diferentes, primeiramente devemos reduzir ao mesmo índice. Na sequência, poderemos multiplicar ou dividir os radicandos. Exemplo:

³√6 x √3 = 3×2√6 1×2 . 2×3√31×3 = 6√36 . 6√27 = 6√972

Quais são as principais propriedades de radiciação?

Expressões numéricas

Não é bem uma propriedade, mas vale destacar porque esse assunto pode gerar equívocos por parte de muitos estudantes. Juntamente com a potenciação, a radiciação tem preferência em relação às outras operações nas expressões numéricas. Exemplo:

4 + 6 x 2 +√36 +5

Muitos tentariam fazer a soma de 4 + 6 primeiro. Porém, seriam induzidas. Isso porque, primeiramente é necessário tirar a raiz quadrada de 36. Ela equivale a 6. Na sequência, fazemos a multiplicação de 6×2, que é igual a 12. Dessa forma, teremos:

4 + 12 + 6 + 5 = 27

Racionalização de denominadores

Esse procedimento acontece porque a raiz não pode aparecer no denominador. O processo é simples. Vamos tirar a raiz nesse exemplo: 5√3.

5/√3 x √3/√3 = 5√3/3

Simplificação de radicais

Suponhamos que você queira simplificar a expressão ³√8. Basta pegarmos o número 8 e dividirmos por números primos. Chegaremos à seguinte conclusão: 8/2 = 4. Na sequência, poderemos pegar 4/2 = 2 e 2/2 = 1.

Perceba que multiplicamos o número 2 três vezes. Isso quer dizer que 2x2x2=8. Dessa maneira, podemos dizer que 2³ equivale a 8 e, também, podemos afirmar que ³√8 é igual a 2.

A radiciação é uma das operações fundamentais da Matemática e, por isso, é fundamental conhecê-la. Esse assunto não pode ser deixado de lado, pois ele ajudará a formar uma base sólida na disciplina.

Este post sobre a radiciação foi útil para você? Está interessado em aprofundar os seus estudos e ampliar os conhecimentos em Matemática? Conheça o nosso plano de estudos e veja como podemos ajudá-lo a alcançar a tão sonhada aprovação no Enem e nos principais vestibulares do país.

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.  

Leia também: Potenciação e radiciação de frações

Videoaula sobre radiciação

Como representar a radiciação?

Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:

\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)

Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:

• √: radical.

• n: índice.

• a: radicando.

• b: raiz.

Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:

\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)

A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:

\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)

Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.

Exemplo 1:

\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)

Exemplo 2:

\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)

Exemplo 3:

\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)

Propriedades da radiciação

As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.

→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a

Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.

\(\sqrt[n]{a^n}=a\)

→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes

Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.

\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)

→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes

Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.

\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)

Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.

\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente

Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)

→ Raiz de uma raiz

Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.

\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)

→ Potência de uma raiz

Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:

\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)

→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação

Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.

\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)

Confira nossa videoaula: Propriedades de potência

Simplificação de radicais

Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.

Exemplo:

Simplifique \(\sqrt{392}\):

Resolução:

Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:

Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:

392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)

Assim, temos que:

\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)

Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:

\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)

Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:

\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)

Então, temos que:

\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)

Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).

Operações com radicais

→ Adição e subtração

Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.

Exemplo:

\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)

Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.

Exemplo:

\(5\sqrt3-2\sqrt2\)

\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)

\(8,5-2,8\)

\(5,7\)

→ Multiplicação e divisão

Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)

Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)

 Para igualar os índices, temos que:

\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)

\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)

\(\sqrt[6]{256∶8}\)

\(\sqrt[6]{32}\)

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.

A) 50

B) \( 6\sqrt[3]{10}\)

C) \( 10\sqrt[3]{6}\)

D) 720

Resolução:

Alternativa B

Fazendo a fatoração:

Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:

2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)

Logo:

\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)

\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)

\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)

Questão 2

Qual é a raiz cúbica de 4.096?

A) 26

B) 24

C) 16

D) 14

Resolução:

Alternativa C

Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:

Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).

Portanto:

\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)

\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)

\(\sqrt[3]{4096}=16\)