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94 O que e aritmética, o que e progressão aritmética encontre as respostas pa https://www.algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html
Chama-se sequência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma sequência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente. Uma sequência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma sequência finita. Já a sequência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita. Uma sequência numérica pode ser representada genericamente na forma: Por exemplo, na sequência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc. São de particular interesse, as sequências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na sequência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. Considere por exemplo a sequência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo. an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa sequência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a sequência S que seria:S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ). Dado o termo geral de uma sequência, é sempre fácil determiná-la. (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ). Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70. Conceito de Progressão Aritmética - PAChama-se Progressão Aritmética – PA – à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos: A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente) B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente) C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente) Termo Geral de uma Progressão AritméticaSeja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r ..................................................... Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r Exemplos: Qual o milésimo número ímpar positivo? Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? Portanto, a PA possui 40 termos. Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética, podemos generaliza-la da seguinte forma: Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica: Exemplos: Se numa Progressão Aritmética o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ; 60 - 30 = 15r ; logo, r = 2. Numa Progressão Aritmética de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? Propriedades das Progressões AritméticasNuma PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. Exemplo: Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante. Exemplo: Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas. 5 - Soma dos n primeiros termos de uma Progressão AritméticaSeja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). Temos: É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que: Daí então, vem finalmente que: Exemplo: Precisamos conhecer o valor de a200 . Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399 Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000 Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000. Exercícios de progressão aritmética resolvidos e propostos:1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? e) 5 SOLUÇÃO: A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então: Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter: Portanto, n(16 – 2n ) < 0 Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter: 16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8. Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. 2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale: e) 33 SOLUÇÃO: Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica: Assim, teremos: 3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x. SOLUÇÃO: Teremos que: 0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?). 1 hora o relógio baterá 1 vez 2 horas o relógio baterá 2 vezes 3 horas o relógio baterá 3 vezes .................................................... .................................................... 12 horas o relógio baterá 12 vezes. Logo, teremos a seguinte sequência: A partir do segundo termo da sequência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12. Portanto, a soma dos termos desta PA será: A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90. 4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão. SOLUÇÃO: 5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é: *e) 61376 SOLUÇÃO: Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124) Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992). Daí vem: n = 112 Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente: 6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60. SOLUÇÃO: Podemos escrever: a3 + a7 = 30 a4 + a9 = 60 Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever: Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem: Substituindo numa das equações em negrito acima, vem: Logo, o centésimo termo será: Agora resolva estes: UFBA - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a22 = k, Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83. |