Considerando os círculo menor interno ao cículo maior, se a parte cinza citada, corresponde a área entre os dois círculos, basta subtrair a área do circulo menor da área do sírculo maior. Vamos chamar a área maior de A₁ e a área menor de A₂.Assim a área da parte cinza será:A - A = [/tex] = 2πr₁ - 2πr₂ = 2π(r₁-r₂) = 2 * 3,14 * (6 - 3) = 6,28 * 3 = 18,84 cm² Dada um círculo qualquer de raio r, sua área (A) será dada por: Vamos fazer alguns exemplos para entender a utilização da fórmula. Exemplo 1. Determine a área de um círculo de raio medindo 20 cm. (Use π = 3,14) Solução: Temos que r = 20 cmπ = 3,14 A = ?A = 3,14?202 A = 3,14?400A = 1256 cm2 Exemplo 2 . Calcule a área de um círculo de 30 cm de diâmetro. (Use π = 3,14) Solução: Temos d = 30 cm → r = d/2 → r = 15 cm A = ? A = 3,14?152 A = 3,14?225 A = 706,5 cm2Exemplo 3. Se um círculo possui a circunferência de 43,96 cm de comprimento, qual será o tamanho de sua área? (Use π = 3,14) Solução: Note que não temos a medida do raio do círculo. Através do comprimento que foi dado, vamos encontrar a medida do raio. A fórmula do comprimento da circunferência é: C = 2πr Assim, 43,96 = 2?3,14?r 43,96 = 6,28?r r = 43,96/6,28 r = 7 cm Conhecendo o valor do raio podemos calcular a área.A=3,14?72 A=3,14?49A=153,86 cm2 Exemplo 4 . Um fazendeiro possui 628 m de tela para fazer um galinheiro. Existem dois projetos para a realização desse galinheiro: um galinheiro quadrado e um galinheiro circular. O fazendeiro irá optar pelo projeto que possuir a maior área. Qual dos dois projetos é o que irá satisfazer sua vontade? (Use π = 3,14) Solução: Como o fazendeiro possui 628 m de tela para fazer o galinheiro, o perímetro do quadrado e da circunferência será de 628 m. Vamos então calcular a área de cada uma das figuras, usando a mesma quantidade de tela, e verificar qual dos projetos apresenta a maior área.Área do quadrado: Como o perímetro do quadrado é de 628 m, cada lado terá 157 m de comprimento. (628÷4) Assim,A = 1572 A = 24649 m2 Área da circunferência: Sabemos que o comprimento da circunferência também é 628 m, pois temos a mesma quantidade de tela. Precisamos encontrar a medida do raio dessa circunferência. C=2πr 628 = 2?3,14?r 628 = 6,28?r r = 628/6,28 r = 100 m Assim,A = 3,14?1002 A = 3,14?10000A = 31400 m2 Portanto, o galinheiro que terá a maior área será o de formato circular. O cálculo de áreas na geometria está presente em diversas situações cotidianas. As unidades mais utilizadas na especificação de áreas são o metro quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²) e o centímetro quadrado (cm²). Determinar a área de uma figura significa medir o tamanho de sua superfície, utilizando as medidas de suas dimensões: comprimento e largura. Na geometria, cada figura regular está associada a uma expressão matemática capaz de determinar a medida de sua superfície. Mas em alguns casos, a determinação da área deve ser calculada utilizando duas ou mais expressões. Esse tipo de cálculo exige uma interpretação espacial da figura, diagnosticando o tipo de expressão que será usado no cálculo da área. Exemplo 1 Determine a área destacada da figura, considerando que o raio da circunferência inscrita no quadrado seja igual a 4 metros. Resolução Área do quadrado é dada pela expressão: A = l² Área da circunferência é dada pela expressão: A = π*r² O raio da circunferência é igual a 4 metros, dessa forma seu diâmetro vale 8. A medida do lado do quadrado será correspondente ao diâmetro da circunferência, medindo 8 metros. Área do quadrado A = l² A = 8² A = 64 m² Área da circunferência A = π*r² A = 3,14 * 4² A = 3,14 * 16 A = 50,24 m² A área da parte destacada é resultante da subtração entre a área do quadrado e a área da circunferência. A = 64 – 50,24 A = 13,76 m² Portanto, a área destacada é igual a 13,76 metros quadrados.Exemplo 2 A figura a seguir representa uma peça de cerâmica para revestimento de pisos. Sabemos que a medida do raio de cada circunferência é igual a 10 cm. Determine a área em negrito, após o revestimento de uma sala retangular de dimensões 8m x 12m.Área em negrito da cerâmica Sabemos que o raio de cada circunferência mede 10 cm, portanto o diâmetro de cada circunferência medirá 20 cm. Existe uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro da circunferência, observe ilustração: Para determinarmos a área em negrito da cerâmica devemos calcular a área do quadrado e subtrair das áreas das circunferências. Área do quadrado (cerâmica) A = l² A = 40² A = 1600 cm²Área das circunferências A = π * r² A = 3,14 * 10² A = 3,14 * 100 A = 314 cm² 314 * 4 = 1256 cm²Área em negrito da cerâmica: A = 1600 – 1256 A = 344 cm² Precisamos calcular a área da sala revestida pela cerâmica, veja: Área da sala = 12 x 8 = 96 m² Cada cerâmica possui 1600 cm² de área, precisamos saber quantas peças serão gastas no piso da sala. Para isso precisamos dividir a área da sala pela área da cerâmica. Antes da divisão precisamos igualar as unidades de área, 1600 cm² é igual a 0,16 m². Portanto, 96 : 0,16 ~ 600 peças. Agora basta multiplicarmos a área em negrito da cerâmica pelo número de peças que serão gastas no revestimento da sala. 600 * 344 = 206 400 cm² ou 20,64 m²Portanto, após revestida a sala, a área em negrito corresponderá a 20,64 m². Quando duas ou mais circunferências possuem o mesmo centro, são denominadas concêntricas. Nesse caso elas podem ter raio de tamanhos diferentes. Observe: Ao unirmos duas circunferências de mesmo centro com raios R e r, considerando R > r, temos que a diferença entre as áreas é denominada coroa circular. Observe: A área da coroa circular representada pode ser calculada através da diferença entre as áreas totais das duas circunferências, isto é, área do círculo maior menos a área do círculo menor. Área da coroa = Área do círculo maior – Área do círculo menor Área da coroa = (π * R²) – (π * r²) Área da coroa = π * (R² – r²) Observação: Os resultados podem ser dados em função de π, caso seja necessário substitua π por seu valor aproximado, 3,14. Exemplo 1 Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros. A = π * (R² – r²) A = π * (10² – 8²) A = π * (100 – 64) A = π * 36 A = 36π m² ou A = 36 * 3,14 A = 113,04 m² Exemplo 2 Um cavalo está amarrado em uma árvore através de uma corda de 20 metros de comprimento. A área total da pastagem possui raio de 50 metros de comprimento. Considerando a área de pastagem máxima do cavalo, determine a área não utilizada na alimentação do cavalo. A = π * (50² – 20²) A = π * (2500 – 400) A = π * (2100) A = π * 2100 A = 2100π m² ou A = 2100 * 3,14 A = 6594 cm² A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área do círculo, utilizamos a expressão matemática que relaciona o raio e a letra grega π (pi), que corresponde a, aproximadamente, 3,14. A = π . r² O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta, mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12 lados) e icoságono (20 lados). Vamos determinar a área de algumas regiões circulares. Exemplos: 1º) Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio de 20 metros. A = π * r² A = 3,14 * 20² A = 3,14 * 400 A = 1256 m² Serão necessários 1256 m² de grama. 2º) Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considere que a região maior possui raio de 10 metros, e a região menor, raio de 3 metros. Área da região com raio de 10 metros: A = π * r² A = 3,14 * 10² A = 3,14 * 100 A = 314 m² Área da região com raio de 3 metros: A = π * r² A = 3,14 * 3² A = 3,14 * 9 A = 28,26 m² Área da região em destaque: A = 314 – 28,26 A = 285,74 m² 3º) Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em 10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadrados de ladrilhos devem ser comprados. Como o diâmetro é igual a 12, o raio equivale a 6 metros. A = π * r² A = 3,14 * 6² A = 3,14 * 36 A = 113,04 m² Calculando 10%: 10% = 10/100 10/100 * 113,04 11,30 Total de ladrilhos a serem comprados: 113,04 + 11,30 124,34 m² Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos. Por Marcos Noé |
Calcule a área da parte cinza sabendo que o raio do círculo maior mede 6 cm e do círculo menor 3 cm
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