A raiz quadrada aproximada de um número é calculada utilizando a estimativa, que é o processo pelo qual conseguimos aproximar valores numéricos. Adotamos esse procedimento para calcular raiz quadrada não exata, que ocorre quando o radicando não é um número quadrado perfeito. Lembre-se que: Show
2 = Índice 2 = Expoente n = Radicando n = Raiz
Temos que 4, 9 e 16 são números quadrados perfeitos.
Como já trabalhamos os conceitos iniciais necessários para poder compreender melhor o que é raiz quadrada aproximada, podemos agora determinar o processo pelo qual é realizada a estimativa. A aproximação para raiz quadrada adota o conjunto dos números racionais. Sendo assim, o valor numérico da raiz sempre será um número com uma ou mais casas decimais. O processo referente à aproximação de raiz quadrada pode ser caracterizado por três passos. Para determinar esses passos vamos calcular a raiz quadrada do número 7. Primeiro passo Devemos definir o número quadrado perfeito que é antecessor e sucessor do número 7. 22 < 7 < 32 4 < 7 < 9 Segundo passo Determinar o possível intervalo que será raiz de 7 e fazer a estimativa variando as casas decimais. Conseguimos determinar que o número 7 está entre os números quadrados perfeitos 4 e 9. Então o número que será a raiz de 7 está entre 2 e 3. Agora devemos aplicar o processo da estimativa, para isso variamos os números refentes à casa decimal. (2,1) . (2,1) = (2,1)2 = 4,41 (2,2) . (2,2) = (2,2)2 = 4,84 (2,3) . (2,3) = (2,3)2 = 5,29 (2,4) . (2,4) = (2,4)2 = 5,79 (2,5) . (2,5) = (2,5)2 = 6,25 (2,6) . (2,6) = (2,6)2 = 6,76 (2,7) . (2,7) = (2,7)2 = 7,29 Terceiro passo Definir qual dos valores da estimativa é raiz Quando o produto de um número por ele mesmo ultrapassa o valor do radicando que queremos encontrar, paramos de estimar esse número. O que precisamos fazer agora, no caso da raiz quadrada de 7, é decidir se a raiz é o número 2,6 ou 2,7. Por convenção, temos que a raiz de 7 é dada pelo menor valor. Sendo assim: Para poder fixar melhor este conteúdo faremos mais um exemplo: Calcule a raiz quadrada do número 21. 42 < 21 < 52 16 < 21 < 25 O número que será raiz de 21 está entre 4 e 5. (4,1) . (4,1) = (4,1)2 = 16,81 (4,2) . (4,2) = (4,2)2 = 17,64 (4,3) . (4,3) = (4,3)2 = 18,49 (4,4) . (4,4) = (4,4)2 = 19,36 (4,5) . (4,5) = (4,5)2 = 20,25 (4,6) . (4,6) = (4,6)2 = 21,16 Como, por convenção, devemos pegar o menor número para raiz, temos que a raiz de 21 é 4,5.
A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado. O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los? Tentativa e erroAlgumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo: Qual a raiz quadrada de v196? Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo: 11 * 11 = 121 12 * 12 = 144 13 * 13 = 169 14 * 14 = 196 É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros. Cálculo por fatoraçãoA fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração: Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja: Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja: Veja outro exemplo com v1225: Desmembrando o número temos: Raiz quadrada não exataQuando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo: 7,1 * 7,1 = 50,41 7,2 * 7,2 = 51,84 7,3 * 7,3 = 53,29 7,4 * 7,4 = 54,76 O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54. Veja outro exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas: 14,1 * 14,1 = 198,81 14,2 * 14,2 = 201,64 14,3 * 14,3 = 204,49 14,4 * 14,4 = 207,36 14,5 * 14,5 = 210,25 14,6 * 14,6 = 213,16 14,7 * 14,7 = 216,09 14,8 * 14,8 = 219,04 Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja: 14,71 * 14,71 = 216,38 14,72 * 14, 72 = 216,67 14,73 * 14,73 = 216,97 14,74 * 14,74 = 217,26 14,75 * 14,75 = 217,56 14,76 * 14,76 = 217,85 14,77 * 14,77 = 218,15 Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76. O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular. Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões: Como calcular probabilidades? Como calcular porcentagem de forma fácil? Como calcular seno, cosseno e tangente? Conheça o Coach COC e organize seus estudos!O aplicativo Coach COC é o seu novo parceiro para os estudos! Ele vai te ajudar a organizar sua rotina e planejar seu dia a dia. Acesse a página do app e baixe agora mesmo!
A raiz quadrada é a operação inversa das potências de expoente 2. Ou seja, um número X elevado ao quadrado é multiplicado por ele mesmo, gerando um resultado Y. Portanto, a raiz quadrada de Y é X. Quando o resultado da raiz é um valor inteiro, esse número é chamado de quadrado perfeito. Podemos citar como exemplos √4, √9, √36 que indicam respectivamente 2×2=4, 3×3=9, 6×6=36. Portanto suas raizes são 2, 3 e 6. Já outros como √15 e √18 não possuem quadrado exato, então o valor é dado pela aproximação de um decimal. Os resultados seriam 3,8 e 4,2. Sendo assim, existem dois tipos de raiz quadrada: exata e não-exata. Essa operação matemática, como é possível perceber, é um caso particular de radiciação. Além disso, não é necessário colocar o índice 2 expresso. Mas nos outros tipos de raiz, como a cúbica, é preciso escrever o índice.
Calculando a raiz quadradaA definição diz que a raiz de a só pode ser b se o resultado de b elevado ao quadrado for igual a. Sendo assim, para descobrir essa operação matemática é necessário pensar em um número que é elevado ao quadrado, ou seja, multiplicado por ele mesmo, seja igual ao radicando. Por isso, os conhecimentos da tabuada são essenciais. Por exemplo: √36 = 6, pois 62 = 36 √121 = 11, pois 112 = 121
TiposAssim, observamos dois tipos de raízes: Raiz Quadrada Exata Quando a raiz de um número inteiro resulta em outro número inteiro. Números menores podem ser pensados de acordo com a tabuada. Porém, para descobrir a raiz quadrada de números grandes utiliza-se a fatoração. Assim, decompomos o radicando por números primos. Começamos do menor primo possível. Depois é só pegar os números primos e transformá-los em potências de dois. Então, tirar a raiz deles e multiplicá-los para encontrar o resultado desejado.
Raiz Quadrada Não-exata Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz é um número decimal, portanto o resultado é uma raiz quadrada não perfeita como √147 = 7√3. Para encontrar o valor, é preciso ver entre quais quadrados perfeitos ele está. Veja √72. As raízes quadradas perfeitas mais próximas são √64 e √81, respectivamente 8 e 9. Portanto a raiz de 72 está entre esses dois números. Então agora é preciso procurar um valor aproximado:
O correto é escolher a casa decimal com valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso do exemplo seria 8,4 porque o número seguinte é maior do que 72. Independente de qual é o tipo dessa operação matemática, de acordo com as regras de potenciação, qualquer número quadrado é positivo. Gostou de aprender um pouco mais? Então vem conferir outros conteúdos de matemática como: Expressões Numéricas – O que são e como calculá-las.
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