A partir da população possui a média 33

A média aritmética é uma medida estatística de posição, ou seja, ela nos fornece a posição de elementos que estão em um rol numérico. A média aritmética pode ser analisada em duas situações. A primeira delas é o caso em que o rol numérico não possui elementos repetidos. Nessa situação, nomeamos essa medida de posição como média aritmética simples. Nos casos em que o rol apresenta elementos repetidos, nomeamos essa medida como média aritmética ponderada.

Leia também: Média, moda e mediana – medidas de posição em estatística

Média aritmética simples

A média aritmética simples é utilizada em casos nos quais o rol numérico não apresenta nenhuma repetição. Para calcular o valor da média aritmética simples, devemos realizar o somatório de todos os elementos do rol e dividir essa soma pela quantidade de elementos.

Considere o rol composto por números reais {x1, x2, x3, …, xn}, e a média aritmética é representada por.

Em um grupo de seis amigos, foram computadas suas idades. Determine qual a idade média desse grupo.

Idades {12, 13, 14, 16, 18,20}

Para determinar-se a média de idades desse grupo, devemos somar todos os números e dividir essa soma pela quantidade de elementos do rol, assim:

Determine a média entre os números 4, 9, 12, 25.

Da mesma maneira, devemos somar os números e dividir a soma pela quantidade de elementos.

Média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada é utilizada em casos nos quais o rol numérico apresenta repetições. Para calcular a média aritmética ponderada de um rol numérico, devemos realizar o mesmo processo utilizado na média aritmética simples, ou seja, somar todos os elementos do rol e dividir a soma pela quantidade de elementos.

Como alguns elementos repetem-se, poderemos escrever essas somas na forma de multiplicação. Veja como:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Observe que o número 4 repete-se cinco vezes, assim, podemos escrever essa soma desta forma:

5 · 4 = 20

Considere um rol em que o elemento x1 repete-se por k1 vezes, x2 repete-se por k2 vezes, x3 repete-se por k3 vezes, xn repete-se por kn vezes. Para calcular a média aritmética ponderada, utilizamos a seguinte fórmula.

A quantidade de vezes que um elemento repete-se é chamada peso. Dessa forma, o elemento x1 do rol possui peso k1, o elemento x2 possui peso k2, e assim sucessivamente.

Determine a média entre os números 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5.

Observe que os números repetem-se, assim, devemos multiplicar cada número pela quantidade de vezes que ele se repete, e isso deve ser feito com todos eles. Em seguida, devemos somá-los. A soma deve ser dividida pelo somatório dos pesos.

Leia também: Medidas de dispersão: amplitude e desvio

Diferença entre média aritmética e geométrica

Existe uma diferença entre a média aritmética e a média geométrica. A média aritmética é utilizada em casos nos quais não existe um crescimento sucessivo no rol, enquanto em casos que existe esse crescimento sucessivo é utilizada a média geométrica. Veja:

1. rol = {1, 2, 3, 4, 5}

Observe que o rol apresenta elementos sucessivos, logo, podemos utilizar a média geométrica.

2. rol = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3}

Veja que nesse rol aparecem elementos repetidos, assim, podemos utilizar a média aritmética ponderada. A média geométrica é utilizada principalmente em casos de problemas financeiros, para entender melhor, acesse: Média geométrica.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – O dono de uma creche realizou um levantamento das idades de seus alunos, encontrando as seguintes, em rol: (2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8). Determine a média de idades.

Resolução

Vamos utilizar a média aritmética ponderada devido à repetição de elementos.

Assim, a idade média dos alunos é de 4,3 anos.

Para calcularmos a mediana, perceba que número de elementos do rol é par, logo, devemos pegar os dois elementos centrais e calcular a média aritmética entre eles.

Questão 2 – (Uece 2010) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2310 é:

a) 5,6

b) 6

c) 6,3

d) 6,7

Resolução

Inicialmente vamos realizar a decomposição em fatores primos do número 2310:

2310 = 2 · 3 · 5 · 7 ·11

Portanto, a média aritmética entre os fatores é dada por:

No estudo da Estatística, dispomos de algumas estratégias para verificar se os valores apresentados em um conjunto de dados estão dispersos ou não e o quão distantes um do outro eles podem estar. As ferramentas empregadas para que isso seja possível são classificadas como medidas de dispersão e denominadas de variância e desvio padrão. Vejamos o que representa cada uma delas:

Variância:

• Dado um conjunto de dados, a variância é uma medida de dispersão que mostra o quão distante cada valor desse conjunto está do valor central (médio).

• Quanto menor é a variância, mais próximos os valores estão da média; mas quanto maior ela é, mais os valores estão distantes da média.

• Considere que x1, x2, …, xn são os n elementos de uma amostra e que x é a média aritmética desses elementos. O cálculo da variância amostral é dado por:

  Var. amostral = (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²
                        ​n – 1

• Se, em contrapartida, quisermos calcular a variância populacional, consideraremos todos os elementos da população, e não apenas de uma amostra. Nesse caso, o cálculo possui uma pequena diferença. Observe:

  Var. populacional = (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²
                             n

Desvio Padrão:

• O desvio padrão é capaz de identificar o “erro” em um conjunto de dados, caso quiséssemos substituir um dos valores coletados pela média aritmética.

• O desvio padrão aparece junto à média aritmética, informando o quão “confiável” é esse valor. Ele é apresentado da seguinte forma:

  média aritmética (x) ± desvio padrão (dp)

• O cálculo do desvio padrão é feito a partir da raiz quadrada positiva da variância. Portanto:

  dp = √var

Vamos agora aplicar o calculo da variância e do desvio padrão em um exemplo:

Em uma escola, a direção decidiu observar a quantidade de alunos que apresentam todas as notas acima da média em todas as disciplinas. Para analisar melhor, a diretora Ana resolveu montar uma tabela com a quantidade de notas “azuis” em uma amostra de quatro turmas ao longo de um ano. Observe a seguir a tabela organizada pela diretora:

Antes de calcular a variância, é necessário verificar a média aritmética (x) da quantidade de alunos acima da média em cada turma:

6° ano → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
                  4               4

7° ano → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
                  4               4

8° ano → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
                    4              4

9° ano → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
                  4               4

Para calcular a variância da quantidade de alunos acima da média em cada turma, utilizamos uma amostra, por isso empregamos a fórmula da variância amostral:

Var. amostral = (x1 – x)² + (x2 – x)² + (x3 – x)² + ... + (xn – x)²
                       n – 1

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

6° ano → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
                          4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
           3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
         3

Var = 13,00
         3
Var = 4,33

7° ano → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
                    4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
          3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
         3

Var = 24,00
         3
Var = 8,00

8° ano → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
                    4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
        3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
         3

Var = 20,74
         3
Var = 6,91

9° ano → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
                      4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
         3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
           3

Var = 41,00
         3
Var = 13,66

Conhecida a variância de cada turma, vamos calcular agora o desvio padrão:

Para concluir sua análise, a diretora pode apresentar os seguintes valores que indicam a quantidade média de alunos acima da média por turma pesquisada:

6° ano: 7,50 ± 2,08 alunos acima da média por bimestre;
7° ano: 8,00 ± 2,83 alunos acima da média por bimestre;
8° ano: 8,75 ± 2,63 alunos acima da média por bimestre;
9° ano: 8,50 ± 3,70 alunos acima da média por bimestre;

Outra medida de dispersão é o coeficiente de variação. Veja aqui como calculá-lo!

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática