Assim como nas equações com uma incógnita, nas equações do 1º grau com duas incógnitas, o expoente é igual 1. A diferença é apenas na quantidade de incógnitas. Para compreender melhor esse assunto, confira uma lista com cinco exercícios resolvidos sobre equações do 1° grau com duas incógnitas. Exercícios de equação do 1° grau com duas incógnitasExercício 1. Calcule uma solução da equação 4x + y = 20 quando: a) y = 0 Exercício 2. Verifique quais dos pares abaixo são soluções da equação 9x + y =1. (0, 1) (1, 0) (1, -8) (-1, 10) Exercício 3. Determine três pares ordenados que sejam soluções da equação x + 2y = 20. Exercício 4. Escreva uma equação que represente a seguinte situação: o dobro de um número x diminuído de 7 é igual ao número y. Exercício 5. Um livro tem 120 páginas. Pedro já leu x páginas e faltam y páginas para ele terminar de ler o livro. Escreva uma equação que represente essa situação. GabaritoRespostas do exercício 1 a) Primeiro, substituímos o valor de y por 0 na equação: 4x + y = 20 Depois, resolvemos a equação para encontrar o valor de x: 4x + 0 = 20 4x = 20 x = 20/4 x = 5 Então, a solução da equação é o par ordenado (0, 5). b) Primeiro, substituímos o valor de x por -2 na equação: 4x + y = 20 Depois, resolvemos a equação para encontrar o valor de y: 4. (-2) + y = 20 -8 + y = 20 y = 20 + 8 y = 28 Então, a solução da equação é o par ordenado (-2, 28). Respostas do exercício 2 Devemos substituir cada par ordenado na equação. Se a igualdade for verdadeira, então, o par ordenado é solução da equação. Substituindo por (0, 1) → x = 0 e y = 1 9x + y = 1 9 . 0 + 1 = 1 0 + 1 = 1 1 = 1 Chegamos a uma igualdade verdadeira, então o par ordenado (0, 1) é solução da equação. Substituindo por (1, 0) → x = 1 e y = 0 9x + y = 1 9 = 1 → Isso é um absurdo, pois 9 não é igual a 1. Chegamos a uma igualdade que não é verdadeira. Então, o par (1, 0) não é solução da equação. Substituindo por (1, -8) → x = 1 e y = -8 9x + y = 1 9 . 1 + (-8) = 1 9 – 8 = 1 1 = 1 Chegamos a uma igualdade verdadeira, então, o par ordenado (1, -8) é solução da equação. Substituindo por (-1, 10) → x = -1 e y = 10 9x + y = 1 9 . (-1) + 10 = 1 -9 + 10 = 1 1 = 1 Chegamos a uma igualdade verdadeira, então, o par ordenado (-1, 10) é solução da equação. Assim, os pares (0,1), (1, -8) e (-1, 10) são soluções da equação 9x + y = 1. Respostas do exercício 3 Existem infinitos pares ordenados que são soluções da equação. Para encontrar um par ordenado, temos que atribuir valor para uma das incógnitas e, depois, encontrar o valor da outra. Vamos escolher x = 0 e substituir na equação: x + 2y = 20 0 + 2y = 20 2y = 20 y = 20 /2 y = 10 Então, o par ordenado (0, 10) é uma das soluções dessa equação. Agora, vamos escolher y = 0 e substituir na equação: x + 2y = 20 x + 2 . 0 = 20 x + 0 = 20 x = 20 Então, o par ordenado (20, 0) é uma das soluções dessa equação. Por fim, vamos escolher y = 5 e substituir na equação: x + 2y = 20 x + 2 . 5 = 20 x + 10 = 20 x = 20 – 10 x = 10 Então, o par ordenado (10, 5) é uma das soluções dessa equação. Se você escolher outros valores, encontrará outras soluções. Respostas do exercício 4 Vamos montar a equação por partes, a partir de cada informação dada: O dobro de um número x → 2x O dobro de um número x diminuído de 7 → 2x – 7 O dobro de um número x diminuído de 7 é igual a y → 2x – 7 = y Então, a equação é: 2x – 7 = y Respostas do exercício 5 O número de páginas do livro vai ser igual à soma do número de páginas lidas mais o número de páginas que ainda não foram lidas. Como temos que: x → é o número de páginas lidas y → é o número de páginas que ainda não foram lidas 120 → é o total de páginas Então, a equação é x + y = 120 Para baixar essa lista em PDF, clique aqui! Você também pode se interessar:
Os Sistemas de equações do 1º grau são constituídos por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Resolver um sistema é encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas essas equações. Muitos problemas são resolvidos através de sistemas de equações. Portanto, é importante conhecer os métodos de resolução para esse tipo de cálculo. Aproveite os exercícios resolvidos para tirar todas as suas dúvidas em relação a este tema. Questões Comentadas e Resolvidas1) Aprendizes de Marinheiro - 2017 A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy é igual a: a) -15 b) -12 c) -10 d) -4 e) - 2
Vamos começar montando as equações considerando a situação proposta no problema. Desta forma, temos: x + 2.y = - 7 e 3.x - y = 7 Os valores de x e y devem satisfazer ao mesmo tempo as duas equações. Portanto, formam o seguinte sistema de equações: Podemos resolver esse sistema pelo método da adição. Para tal, vamos multiplicar a segunda equação por 2: Somando as duas equações: Substituindo na primeira equação o valor de x encontrado, temos: 1 + 2y = - 7 2y = - 7 - 1 Assim, o produto xy será igual a: x.y = 1 . (- 4) = - 4 Alternativa: d) - 4 2) Colégio Militar/RJ - 2014 Um trem viaja de uma cidade a outra sempre com velocidade constante. Quando a viagem é feita com 16 km/h a mais na velocidade, o tempo gasto diminui em duas horas e meia, e quando á feita com 5 km/h a menos na velocidade, o tempo gasto aumenta em uma hora. Qual é a distância entre estas cidades? a) 1200 km b) 1000 km c) 800 km d) 1400 km e) 600 km
Sendo a velocidade constante, podemos usar a seguinte fórmula: Então, a distância é encontrada fazendo-se: d = v.t Para a primeira situação temos: v1 = v + 16 e t1 = t - 2,5 Substituindo esses valores na fórmula da distância: d = (v + 16) . (t - 2,5) Podemos substituir v.t por d na equação e simplificar: -2,5v +16t = 40 Para a situação em que a velocidade diminui: v2 = v - 5 e t2 = t + 1 Fazendo a mesma substituição: d = (v -5) . (t +1) d = v.t + v -5t -5 v - 5t = 5 Com essas duas equações, podemos montar o seguinte sistema: Resolvendo o sistema pelo método da substituição, vamos isolar o v na segunda equação: v = 5 + 5t Substituindo esse valor na primeira equação: -2,5 (5 + 5t) + 16 t = 40 -12,5 - 12,5t + 16 t = 40 3,5t =40 + 12,5 3,5t = 52,5 Vamos substituir este valor para encontrar a velocidade: v = 5 + 5 . 15 Para encontrar a distância, basta multiplicar os valores encontrados da velocidade e do tempo. Assim: d = 80 . 15 = 1200 km Alternativa: a) 1 200 km 3) Aprendizes de Marinheiro - 2016 Um estudante pagou um lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1 real. Sabendo que, para este pagamento, o estudante utilizou 12 moedas, determine, respectivamente, as quantidades de moedas de 50 centavos e de um real que foram utilizadas no pagamento do lanche e assinale a opção correta. a) 5 e 7 b) 4 e 8 c) 6 e 6 d) 7 e 5 e) 8 e 4
Considerando x o número de moedas de 50 centavos, y o número de moedas de 1 real e o valor pago igual a 8 reais, podemos escrever a seguinte equação: 0,5x + 1y = 8 Sabemos ainda que foram utilizadas 12 moedas no pagamento, então: x + y = 12 Montando e resolvendo o sistema por adição: Substituindo o valor encontrado de x na primeira equação: 8 + y = 12 Alternativa: e) 8 e 4 4) Colégio Pedro II - 2014 De uma caixa contendo B bolas brancas e P bolas pretas, retiraram-se 15 bolas brancas, permanecendo entre as bolas restantes a relação de 1 branca para 2 pretas. Em seguida, retiraram-se 10 pretas, restando, na caixa, um número de bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. Um sistema de equações que permite determinar os valores de B e P pode ser representado por:
Considerando a primeira situação indicada no problema, temos a seguinte proporção: Multiplicando "em cruz" essa proporção, temos: 2 (B - 15) = P 2B - 30 = P 2B - P = 30 Vamos fazer o mesmo para a situação seguinte: 3 (B - 15) = 4 (P - 10) 3B - 45 = 4P - 40 3B - 4P = 45 - 40 3B - 4P = 5 Juntando essas equações em um sistema, encontramos a resposta do problema. Alternativa: a) 5) Faetec - 2012 Carlos resolveu, em um final de semana, 36 exercícios de matemática a mais que Nilton. Sabendo que o total de exercícios resolvidos por ambos foi 90, o número de exercícios que Carlos resolveu é igual a: a) 63 b) 54 c) 36 d) 27 e) 18
Considerando x como o número de exercícios resolvidos por Carlos e y o número de exercícios resolvidos por Nilton, podemos montar o seguinte sistema: Substituindo x por y + 36 na segunda equação, temos: y + 36 + y = 90 2y = 90 - 36 Substituindo esse valor na primeira equação: x = 27 + 36 Alternativa: a) 63 6) Enem/PPL - 2015 Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros, e, ao final, recebeu R$ 100,00. Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? a) 30 b) 36 c) 50 d) 60 e) 64
Sendo x o número de tiros que acertou o alvo e y o número de tiros errados, temos o seguinte sistema: Podemos resolver esse sistema pelo método da adição, iremos multiplicar todos os termos da segunda equação por 10 e somar as duas equações: Portanto, o participante acertou 30 vezes o alvo. Alternativa: a) 30 7) Enem - 2000 Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
O problema indica que o número de carros roubados da marca x e y juntas equivale a 60% do total, então: 150.0,6 = 90 Considerando esse valor, podemos escrever o seguinte sistema: Substituindo o valor de x na segunda equação, temos: 2y + y = 90 3y = 90 Alternativa: b) 30 Veja também: |