TRIÂNGULOS Conceito: Triângulo é um polígono de três lados Show CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Quanto aos lados os trângulos se classificam em:= Equilátero quando tem os três lados congruentes. = Isósceles quando tem dois lados congruentes = Escaleno quando não temlados congruentes Quanto aos ângulos os triângulos se classificam em: = Acutângulo quando te três ângulos agudos = Retângulo quando tem um ângulo reto. = Obtusângulo quando tem um angulo obtuso Em um triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto chamam-se catetos e o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa. EXERCÍCIOS 1) Observe o triângulo retangulo e responda: a) Quais são os vértices? b) Quais são os lados? c) Quais são os ângulos? 2) O perimetro de um triângulo é 25 cm. Dois lados medem respectivamente 7,8 cm e 8,2 cm. Calcule a medida do terceiro lado? 3) Determine o comprimento do lado BC, sabendo que o perímewtro do triângulo ABC é 48 cm. 4) O perímetro do triângulo ´34 cm . Determine o comprimento do menor lado. 5) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos lados. 6) Classifique o triângulo de acordo com as medidas dos ângulos ; 7) Observe a figura e responda: a) Que nome recebe o lado BC? b) Que nome recebem os lados AB e AC?CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados Exemplo Vamos comparar a medida de cada lado com a soma das medidas dos outros dois assim: Para vferificar a citada propriedade, procure construir um triângulo com as seguintes medidas 7 cm, 4 cm e 2 cm . È impossivel, não? Logo não existe o triângulo cujos lados, medem 7cm, 4cm e 2cm. EXERCÍCIOS 1) Existe ou não um triângulo com lados medindo: a) 10 cm , 8cm e 7cm? b) 8cm, 4cm e 3 cm ? c) 2cm, 4 cm e 6 cm? d) 3 cm, 4 cm e 5 cm? e) 3 cm, 5 cm e 6 cm? f) 4 cm, 10 cm e 5cm? 2) Dois Lados de um triângulo isósceles medem 38 cm e 15 cm. Qual poderá ser a medida do terceiro lado?ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO ,= Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Todo triângulo tem três medianas que se encontram em um ponto chamado baricentro Biossetriz de um triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidades o vértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.Todo triângulo tem três bissetrizes que se encontram em um ponto interior chamado incentro. Altura de um triângulo é o segmento de perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento Todo o trângulo tem três alturas que se encontram em um ponto chamado ortocentro SOMA DAS MEDIDAS DOS ANGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO Observe os triângulos e as medidas dos ângulos internos vamos à demonstração desse teorema.TEOREMA Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180° ProvaEXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Calcular x no triângulo abaixo: 2) Calcule x no triângulo abaixo: 3) Calcule x no triângulo abaixo: EXERCÍCIOS 1) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo? 2) Copie e complete o quandro, sendo A,B e C ângulos internos de um triângulo. 3) Determine x em cada um dos triângulos 4) Determine x em cada um dos triângulos: 5) Determine a medida dos ângulos x, y e z. TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. Prova: consideremos um triângulo ABC. vamos provar que m(ê) = m(Â) + m (B) Exemplos Calcule o valor de x no triângulo abaixo: EXERCÍCIOS 1) Determine a medida do ângulo externo indicado em cada triângulo: 2) Calcule o valor de x nos triângulos dados: 3) Calcule o valor de x nos triângulos dados: 4) Calcule o valor de x nos triângulos dados: 5) Calcule o valor de x:6) Calcule w e y : 7) Calcule x: CONCRÊNCIA DE TRIÂNGULOS Intuitivamente, dois triângulos ABC e RST são congruentes se for possivel transportar um deles sobre o outro, de modo que eles coincidam. Definição Dois triângulos são chamados congruentes quando os lados e os angulos correspondentes são congruentes. logo: CASOS DE CONGRUÊNCIA O estudo dos casos de congruência de dois triângulos tem por finalidade estabelecer o menor número de condições para que dois triângulos sejam congruêntes. 1º CAS0 : L. L. L. ( lado, lado, lado) Dois triângulos que têm os três lados respectivamente congruentes são congruentes. 2º CASO L. A. L. (lado, ângulo, lado) Dois treângulos que têm dois lados e o ângulo por eles formados respectivamente congruentes são con gruentes. 3º CASO A. L. A. ( ângulo, lado , ângulo) Dois triângulos que tem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes. 4º CASO : L. A. A° ( lado , ângulo, ângulo oposto) Dois trângulos que têm um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes. EXERCÍCIOS 1) Cite, em cada item, o caso de congruência dos triângulos. Page 2
Neste artigo, você encontrará todos os temas abaixo. Clique em um dos tópicos para ir direto ao conteúdo da sua escolha: Dificuldades para escolher a profissão da sua vida? Faça o Raio X do Beduka! Um teste vocacional para nortear a sua carreira. O que são Triângulos?Os triângulos são os polígonos que possuem 3 lados. Como consequência, só existem 3 ângulos e por isso receberam esse nome (tri + ângulo).
A geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras de duas dimensões: altura e largura. As figuras planas são formadas por regiões fechadas, limitadas pelos segmentos de reta (lados). Nas figuras chamadas de polígonos, seus segmentos não se cruzam. Eles apenas encostam suas extremidades e acabam formando ângulos! Note que é preciso no mínimo 3 segmentos para que se forme uma região fechada. Então, a primeira figura plana do tipo poligonal é um triângulo! Quais são os elementos do triângulo?Os elementos de um triângulo são partes geométricas que formam a sua definição e as suas propriedades. Os elementos do triângulo são: Lados
Vértices
Ângulos internos
Ângulos externos
Classificação dos triângulosÉ importante entender como os triângulos são classificados para fazer os exercícios de triângulos. Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados:
E também podem ser classificados de acordo com as medidas de seus ângulos:
Simples né? Há mais de 200 resumos como esse no Instagram do Beduka! Propriedades dos triângulos
Quando você terminar as questões de Triângulos, coloque em prática todo seu conhecimento com O Melhor Simulado Enem do Brasil. Exercícios de Triângulos1 – (IBGE 2016 – Cesgranrio) Considere as seguintes definições: 1 – Um triângulo é chamado de escaleno quando os seus lados possuem comprimentos diferentes. 2 – Um triângulo é chamado de isósceles quando há dois de seus lados com o mesmo comprimento. 3 – Um triângulo é chamado de equilátero quando todos os seus lados possuem o mesmo comprimento. De acordo com as definições apresentadas, um triângulo não é escaleno quando, e apenas quando, ele a) é isósceles. b) é isósceles, mas não é equilátero. c) não é isósceles. d) não é equilátero, nem é isósceles. e) não é equilátero. 2 – (Petrobrás 2017 – Cesgranrio) Um arame de extremidades C e D e 8 cm de comprimento é dobrado de modo a formar um triângulo equilátero ABC mantendo os pontos B, C e D alinhados, conforme a Figura a seguir. Qual a distância, em centímetros, entre os pontos A e D? a) √3. b) 2√3. c) 4√3. d) 2. e) 4. 3 – (PM AC 2017 – Ibade) Considere que um triângulo retângulo escorrega, descendo sobre um plano inclinado ABC, retângulo em A. No momento em que ele assume a posição representada na figura, sabe-se que AC = 5dm e AB = CD = 12dm Se DE = x e BE = y, marque a alternativa que contém o correto valor, em decímetros, de x + y. a) 17/5. b) 23/5. c) 5. d) 4. e) 3. 4 – (UECE/2017) Sejam UVW um triângulo isósceles com base VW; E e F dois pontos nos lados UV; e UW, respectivamente, tais que as medidas dos segmentos de reta VW, WE, EF e FU são iguais. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a medida do ângulo VÛW é a) maior do que 21º e menor do que 25º. b) maior do que 25º e menor do que 27º. c) menor do que 21º. d) maior do que 27º e menor do que 32º. 5 – (IFSC/2017) O triângulo, que possui três lados e três ângulos, é uma das figuras geométricas mais importantes da geometria plana. Sabendo-se que em um triângulo equilátero ABC, o comprimento do lado AB mede 3x + y, do lado AC mede 2x + y + 2 e do lado BC mede x + 3y, qual é o perímetro desse triângulo? Assinale a alternativa CORRETA. a) 24 u.c. b) 6 u.c. c) 18 u.c. d) 12 u.c. e) 15 u.c. 6 – (Uni-FaceF SP/2017) Uma placa de borracha, na forma de um triângulo retângulo PQR com 45 cm2 de área e lado QP = 6 cm, será dividida em três pedaços, A, B e C, conforme mostra a figura. a) 4 cm. b) 5 cm. c) 6 cm. d) 7 cm. e) 8 cm.
7 – (IFAL/2017) A base de um triângulo mede x + 3 e a altura mede x – 2. Se a área desse triângulo vale 7, o valor de x é: a) 2. b) 3. c) 6. d) 4. e) 5. 8 – (UECE/2017) As medidas, em metro, dos comprimentos dos lados de um triângulo formam uma progressão aritmética cuja razão é igual a 1. Se a medida de um dos ângulos internos deste triângulo é 120º, então, seu perímetro é a) 8,5. b) 6,5. c) 5,5. d) 7,5. 9 – (FM Petrópolis RJ/2017) Os lados de um triângulo medem 13 cm, 14 cm e 15 cm, e sua área mede 84 cm2. Considere um segundo triângulo, semelhante ao primeiro, cuja área mede 336 cm2. A medida do perímetro do segundo triângulo, em centímetros, é a) 42. b) 84. c) 126. d) 168. e) 336. 10 – (Fac. Israelita de C. da Saúde Albert Einstein SP/2017) Em uma aula de geometria, o professor passou a seguinte instrução: Desenhe um retângulo de lados 8 cm por 14 cm. Nomeie os vértices desse retângulo de A, B, C e D, sendo que AB deve ser um dos menores lados. Determine o ponto médio do lado AB e nomeie esse ponto pela letra M. A partir do ponto M trace um segmento paralelo aos lados maiores e que tenha 3 cm de comprimento. Nomeie esse segmento de MN. Determine a área do triângulo NCD. Natália e Mariana seguiram as instruções dadas, porém chegaram a resultados diferentes. Se o professor considerou correta as duas resoluções, a diferença, em cm2, entre as áreas obtidas por Natália a Mariana foi a) 28. b) 20. c) 16. d) 24.
11 – (UNICAMP SP/2017) Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB = 2 cm, BC = 1 cm e CD = 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a a) 15º. b) 30º. c) 60º. d) 45º. 12 – (IFAL/2017) Determine a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 6 cm e 8 cm. a) 4,8 cm. b) 6,4 cm. c) 6,0 cm. d) 6,4 cm. e) 3,6 cm.
Respostas dos Exercícios de TriângulosExercício resolvido da questão 1 – a) é isósceles. Exercício resolvido da questão 2 – b) 2√3. Exercício resolvido da questão 3 – c) 5. Exercício resolvido da questão 4 – b) maior do que 25º e menor do que 27º. Exercício resolvido da questão 5 – a) 24 u.c. Exercício resolvido da questão 6 – d) 7 cm. Exercício resolvido da questão 7 – d) 4. Exercício resolvido da questão 8 – d)7,5. Exercício resolvido da questão 9 – b) 84. Exercício resolvido da questão 10 – d) 24. Exercício resolvido da questão 11 – d) 45º. Exercício resolvido da questão 12 – a) 4,8 cm. Gostou dos nossos exercícios de Triângulo? Confira outros artigos do nosso blog e se prepare para o Enem da melhor maneira! Queremos te ajudar a encontrar a FACULDADE IDEAL! Logo abaixo, faça uma pesquisa por curso e cidade que te mostraremos todas as faculdades que podem te atender. Informamos a nota de corte, mensalidade e muito mais. Experimente agora! |