Considere a equação det (a xi) = 0 onde a

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363

Sejam $A\in M_{2\times 3}$, $B\in M_{3\times 1}$ e $C\in M_{3\times 3}$. Quais dos produtos existem?

$A\,B$;
$B\,A$;
$A\,B^t$;
$A\,C$;
$A\,C^t$;
$A\,B\,C$;
$A\,C\,B$.

Apenas os produtos 1, 3, 4, 5 e 7estão definidos.

352

Considere a multiplicação de matrizes $3\times3$ abaixo, em que os pontos de interrogação representam coeficientes desconhecidos:

\[\left(\begin{array}[c]{rrr}9 & -8 & 4\\? & -7 & 2\\? & -4 & ?\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{rrr}-5 & -9 & ?\\? & 5 & ?\\4 & -8 & -7\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{ccc}c_{11} & c_{12} & c_{13}\\c_{21} & c_{22} & c_{23}\\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right) .\]

Só é possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor?

Lembre-se que a multiplicação de matrizes é feita entre linhas 'vezes' colunas. Note que, na primeira matriz apenas a primeira linha está completada (não tem ?), enquanto na outra matriz apenas a segunda coluna não contém um símbolo ?. Assim, na matriz produto, apenas a entrada $c_{12}$ estará bem-definida e seu valor será:

\[\left(\begin{array}{ccc} 9 & -8 & 4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} -9 \\ 5 \\ -8 \end{array}\right) = -9^2- 8\cdot 5 -4\cdot 8 = -153.\]

370

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$.

\[A = \left( \begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\0 & 3 & -2 \\0 & -1 & 2\end{array}\right). \]

356

Os únicos números reais cujos quadrados são eles próprios são $0$ e $1$. Ache todas as matrizes quadradas $A$, $2\times2$, tais que $A^{2}=A.$

Se $A= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $A^2=A \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right).$Cujas soluções são:

$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{x-x^2}{y} & 1-x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & 0\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 &0\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$

395

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix}-2&2&-2\\2&1&-4\\ -2&-4&1\end{pmatrix}.$

$x_1=-3$, $x_2=-3$, $x_3=6$.

392

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix}5&2&-3\\ 4&5&-4\\ 6&4&-4\end{pmatrix}.$

As raízes são: $x=1$, $x=2$ e $x=3$.

360

Sejam $A,B$ e $C$ matrizes reais tais que $AB=AC$. Se existir uma matriz $Y$ tal que $YA=I$, onde $I$ é a matriz identidade, então podemos concluir que $B=C$?

Sim, pois se $Y$ é uma inversa à esquerda de $A$, então podemos multiplicar ambos os lados, à esquerda, da equação $AB=BC$ e então teremos que\[ B=IB=(YA)B=Y(AB)=Y(AC)=(YA)C=IC=C.\]

Sejam\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 1 & -1\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrr}-2 & 0 & 1\\3 & 0 & 1\end{array}\right) \text{, }C=\left(\begin{array}[c]{r}-1\\2\\4\end{array}\right) \text{ e }D=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & -1\end{array}\right) .\]

Encontre:

$A+B$;
$AC$;
$BC$;
$CD$;
$DA$;
$DB$;
$-A$;
$-D$.

\[A+B=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 0 \end{array}\right);\]
\[AC=\left(\begin{array}{c} 15 \\ -4 \end{array}\right);\]
\[ BC=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array}\right);\]
\[CD = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 4 & -2 \\ 8 & -4 \end{array}\right);\]
\[DA = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & 7 \end{array}\right);\]
\[ DB =\left(\begin{array}{ccc} -7 & 0 & 1 \end{array}\right);\]
\[ -A = \left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & -3 \\ -2 & -1 & 1 \end{array}\right);\]
\[ -D = \left(\begin{array}{cc} -2 & 1 \end{array}\right).\]

369

Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).

Se $A$ é matriz $n\times n$ e $A^2={\bf 0}$, então $A={\bf 0}$, onde ${\bf 0}$ é a matriz nula.
A única matriz $n\times n $ simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^{2}=I_n$, então $A=I_n$ ou $A=-I_n$ ($I_n$ é a matriz identidade $n\times n$).

Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc}0 & 0 \\1 & 0
\end{array}\right)$ é não-nula e $A^2={\bf 0}$.
Falsa. Qualquer matriz diagonal é simétrica e anti-seimétrica ao mesmo tempo.
Falsa. Contra-exemplo: $A= \left( \begin{array}{cc}-1 & 0 \\z & 1
\end{array}\right)$ é diferente de $I_2$ e de $-I_2$ mas $A^2=I_2$.

373

Sabendo-se que para toda matriz $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ com $\det(A)\neq 0$ existe uma matriz $\overline{A}$, também $n\times n$, tal que $\overline{A}A=I_n$, mostre que:

se $B$ e $C$ são matrizes $n\times n$ tais que $BC=I_n$, então $CB=I_n$.
se $\det(B)\neq 0$ ($B$ matriz $n\times n$), então existe uma única $B^{-1}$ tal que $BB^{-1}=B^{-1}B=I_n$.

1386

Uma indústria produz três produtos $p_1,p_2,p_3$, com duas matérias prima distintas, $m_1$ e $m_2$. Para a fabricação de cada unidade de $p_1$ são utilizados $1$ unidade de $m_1$ e $2$ unidades de $m_2$; para cada unidade de $p_2$, $1$ unidade de $m_1$ e $1$ unidade de $m_2$; e para cada unidade de $p_3$, $1$ unidade de $m_1$ e $4$ unidades de $m_2$. Utilizando matrizes, determine quantas unidades de $m_1$ e $m_2$ são necessárias na produção de $x$ unidades de $p_1$, $y$ unidades de $p_2$ e $z$ unidades de $p_3$.

Seja $A$ a matriz $2 \times 3$ tal que sua primeira linha contenha informações sobre $m_1$ e a segunda linha informações sobre $m_2$, e a primeira, segunda e terceira colunas informações sobre $p_1$, $p_2$ e $p_3$, respectivamente:

$$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix} \text{ e } X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$

então a multiplicação $AX$ nos dá o vetor tal que a sua primeira linha seja a quantidade de $m_1$ necessária e sua segunda linha a quantidade de $m_2$:

$$AX=\begin{pmatrix} x+y+z \\ 2x+y+4z \end{pmatrix}.$$

385

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&10&0&0\\ 11&12&0&0\end{pmatrix}.$

366

Sejam $A$ e $B$ duas matrizes quadradas $n\times n$.

Mostre que $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$.
Suponha que:$A= \left( \begin{array}{cc}1 & 0 \\1 & 1\end{array}\right) \;\; \mbox{e}\;\;B= \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 1\end{array}\right) $.
Verifique que $AB\neq BA$. Conclua que neste caso, $(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$.
Mostre que: Se $A$ e $B$ são duas matrizes quadradas $n\times n$, então $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, se e somente se, $AB=BA$.

359

Considere as matrizes

\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}2 & -3 & -5\\-1 & 4 & 5\\1 & -3 & -4\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array} [c]{rrr}-1 & 3 & 5\\1 & -3 & -5\\-1 & 3 & 5\end{array}\right) \text{ e }C=\left(\begin{array}[c]{rrr} 2 & -2 & -4\\-1 & 3 & 4\\1 & -2 & -3 \end{array}\right) .\]

Mostre que $AB=BA=0$, $AC=A$ e $CA=C$.
Use os resultados do item anterior para mostrar que $ACB=CBA$, $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ e $(A\pm B)^{2}=A^{2}+B^{2}$.

378

Calcule o determinante da matriz:$\begin{pmatrix}1&a\\ 1&b\\end{pmatrix}.$

365

Sejam$A= \left( \begin{array}{ccc}1 & -2 & -1\\1 & 0 & -1\\4 & -1 & 0\end{array}\right)$ e $X= \left( \begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)$.

Verifique que: $xA_1+yA_2+zA_3=AX$, sendo $A_j$ a $j$-ésima coluna de $A$, para $j=1$, 2, 3.
Verifique que a segunda coluna de $C=A^2$ é $C_2=-2A_1 - A_3$.
Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam $A$ uma matriz $m\times n$, $B$ uma matriz $n\times k$ e $C=AB$. Se $C_j$ é a $j$-ésima coluna de $C$, encontre $C_j$ em termos das $n$ colunas de $A$ e da $j$-ésima coluna de $B$.

377

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}1+x_1y_1&1+x_1y_2 \\ 1+x_2y_1&1+x_2y_2\end{pmatrix}.$

381

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\end{pmatrix}.$

393

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e$A = \begin{pmatrix}4&-2&2\\ -5&7&-5\\ -6&6&-4\end{pmatrix}.$

As raízes são: $x=3$ e $x=2$, esta última com multiplicidade dupla.

364

Calcule os produtos:

$\begin{pmatrix}\phantom{-}3 & 1\\ -1 &2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\phantom{-}0 & 5\\ -1 &6\end{pmatrix}$;
$\begin{pmatrix}\phantom{-}3\\ -1\\ \phantom{-}2\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}2 & -6 & 7\end{pmatrix}$;
$\left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & 5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\phantom{-}3\\ \phantom{-}4\\
-1\end{array}\right)$;
$A\cdot A^t$, onde $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1\end{pmatrix}$;
$\begin{pmatrix}2& -4 & 6\\ 5 &\phantom{-}2 & 7 \\ 1& \phantom{-}0&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5& 0 & \phantom{-}0\\ 0 &2 & \phantom{-}0 \\ 0& 0&-1\end{pmatrix}$;
$\begin{pmatrix}2&-1&3 \\ 0&\phantom{-}1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-2&\phantom{-}1\\ \phantom{-}0&\phantom{-}2\\ \phantom{-}1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1\\ 3 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$;
$\begin{pmatrix} \cos \alpha &- \sin \alpha \\ \sin \alpha & \phantom{-}\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha& \phantom{-}\cos \alpha \\
\end{pmatrix}$.

\[\left(\begin{array}{cc} -1 & 21 \\ -2 & 7 \end{array}\right);\]
\[\left(\begin{array}{ccc} 6 & -18 & 21 \\ -2 &6 & -7 \\ 4 & -12 & 14 \end{array}\right);\]
$\displaystyle -18;$
\[\left(\begin{array}{cc} 14 & 10 \\ 10 & 14\end{array}\right);\]
\[\left(\begin{array}{ccc} 10 & -8 & -6\\ 25 & 4 & -7\\ 5& 0 -4 \end{array}\right);\]
\[\begin{pmatrix} -11 & 1\\ 4 &-2 \end{pmatrix};\]
\[\begin{pmatrix} \cos(2\alpha) & -\sin(2\alpha) \\ \sin(2\alpha) & \cos(2\alpha) \end{pmatrix}.\]

380

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}0&a&0\\ b&c&d\\ 0&e&0\end{pmatrix}.$

376

Calcule o determinante da matriz:$\begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}.$

383

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\ \sin\beta&\cos\beta&1\\ \sin\gamma&\cos\gamma&1\end{pmatrix}.$

$\sin(\alpha - \beta) - \sin(\alpha - \gamma) + \sin(\beta - \gamma)$

382

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}a&b&c\\ b&c&a\\ c&a&b\end{pmatrix}.

$-a^3 - b^3 + 3 a b c - c^3$.

367

Seja $M= \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right)$.

Mostre que: Se $A$ é uma matriz $2\times 2$ qualquer, então $AM=MA$, se e somente se, $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a
\end{array}\right)$.
Mostre que se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$, então $A$ e $B$ comutam entre si, isto é, $AB=BA$.

Seja $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)$, tal que $AM=MA$.Deseja-se que $AM=\left( \begin{array}{cc}-b & a \\-d & c\end{array}\right)=MA= \left( \begin{array}{cc}c & b \\-a & -b\end{array}\right)$.Logo, é necessário que $c=-b$ e $d=a$, de onde $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$.
Se $A$ e $B$ são matrizes $2\times 2$ que comutam com $M$, de acordo com o item anterior, $A= \left( \begin{array}{cc}a & b \\-b & a\end{array}\right)$ e $B= \left( \begin{array}{cc}c & d \\-d & c\end{array}\right)$.
Calculando $AB$ e $BA$, obtém-se $AB= \left( \begin{array}{cc}ac-bd & ad+bc \\-bc-ad & -bd+ac\end{array}\right)=BA$ .

387

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}1&-2&3&2\\ 0&2&-1&1\\ 0&0&-1&1\\ 2&0&0&3\end{pmatrix}.$

371

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$, onde

\[A = \left( \begin{array}{ccc}2 & 2 & 3 \\1 & 2 & 1 \\2 & -2 & 1\end{array}\right) .\]

$\lambda=-1$, $2$ ou $4$.

353

Ache $x,y,z$ e $w$ tais que\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) .\]
Mostre que não existem $x,y,z$ e $w$ tais que
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) . \]
Existem $x,y,z$ e $w$ tais que\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) ?\]

$x=-4$; $ y=3$; $z=3$; $w=-2$.
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}x & 0\\z & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) . \]
Mas $0=1$ é absurdo.
\[\left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cc}x+y & x+y\\w+z & w+z\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right) .\]
Portanto, o sistema é sobredeterminado e impassível de solução.

390

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix}0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}.$

As raízes são: $x=-1$ (simples) e $x=1$ (dupla).

396

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix}2&-2&0\\ -2&3&-2\\0&-2&4\end{pmatrix}.$

$x=0$, $x=3$ e $x=6$

372

Determine todos os valores de $\lambda$ para os quais $\det(A-\lambda I_3)=0$, onde

\[A = \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\-1 & 3 & 0 \\3 & 2 & -2 \end{array}\right). \]

As raízes são: $\lambda=-2$, $\lambda=1$ e $\lambda=3$.

355

A equação $x^{2}=1$ possui apenas duas soluções reais: $x=1$ e $x=-1$. Ache todas as matrizes $2\times2$ que são soluções da equação matricial $X^{2}=I$, onde $I$ é a matriz identidade $2\times2$.

Se $X= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $X^2=I \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$Cujas soluções são:

$X_1= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\\frac{1-x^2}{y} & -x\end{array}\right), \forall x,y\in \mathbb{R};$ $X_2= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\z & 1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_3= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\z & -1\end{array}\right), \forall z\in \mathbb{R};$ $X_4= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 &-1\end{array}\right);$ $X_5= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 0\\0 & 1\end{array}\right);$ $X_6= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right);$ $X_7= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right).$

357

Seja \[A=\left(\begin{array}[c]{cc}2 & x^{2}\\2x-1 & 0\end{array}\right) .\]
Qual é o valor de $x$ para que tenhamos $A^{t}=A$?

1379

Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela:

\[ \begin{array}{lccccc} & \text{Ferro} & \text{Madeira} & \text{Vidro} & \text{Tinta} & \text{Tijolo}\\ \text{Moderno} & 5 & 20 & 16 & 7 & 17\\ \text{Mediterrâneo} & 7 & 18 & 12 & 9 & 21\\ \text{Colonial} & 6 & 25 & 8 & 5 & 13 \end{array} \]

Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual e o custo total do material empregado?

As quantidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo serão 146, 526, 260,158 e 388, respectivamente.
O preço unitário dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial serão 492, 528 e 465, respectivamente.
O custo total do material empregado para construir 5 casas do estilo moderno, 7 casas do estilo mediterrâneo e 12 casas do estilo colonial é 11736.

354

Seja \[A=\left(\begin{array}[c]{rr}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right) : \]

Encontre uma matriz $B$ tal que $B^{2}=A$ (isto é, $B$ é uma "raiz quadrada'' de $A$).
Encontre todas as soluções da equação matricial $X^{2}=A$.

$B= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right) . $
Se $X= \left(\begin{array}[c]{cc}x & y\\z & w\end{array}\right),$ $X^2=A \rightarrow \left(\begin{array}[c]{cc}x^2+yz & wy+xy\\wz+xz & w^2+yz\end{array}\right)=\left(\begin{array}[c]{cc}3 & -2\\-4 & 3\end{array}\right).$Cujas 4 soluções são:$X'= \left(\begin{array}[c]{cc}1 & -1\\-2 & 1\end{array}\right);$ $X''= \left(\begin{array}[c]{cc}-1 & 1\\2 & -1\end{array}\right);$ $X'''= \left(\begin{array}[c]{cc}\sqrt{2} & -\sqrt{2}/2\\-\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{array}\right);$ $X''''= \left(\begin{array}[c]{cc}-\sqrt{2} & \sqrt{2}/2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{array}\right).$

388

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A=\begin{pmatrix}3&4\\ 5&2\end{pmatrix}.$

394

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix}0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}.$

$x_1=-1$, $x_2=1$, $x_3=1$.

386

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\ -b&a&d&-c\\ -c&-d&a&b\\ -d&c&-b&a\end{pmatrix}.$

$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2$

389

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix}\cos a& \sin a\\ -\sin a&\cos a\end{pmatrix}.$

$\displaystyle \cos a\pm \sqrt{\cos^2a-1}$

379

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1&0&1\\ -1&-1&0\end{pmatrix}.$

374

Calcule o determinante da matriz: $\begin{pmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha \\ \sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}.$

$\displaystyle \sin(\alpha-\beta)$

375

Calcule o determinante da matriz:$\begin{pmatrix}a+b&a+c \\ d+b&d+c\end{pmatrix}. $

$\det\left(\begin{pmatrix}a+b&a+c \\ d+b&d+c\end{pmatrix}\right)=(c-b)(a-d). $

1415

Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).

Se $A$ e $B$ são duas matrizes $n\times n$ e $AB=BA$, então $(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$ para todo número natural $p$.
Se $A$ e $B$ são matrizes $n\times n$ tais que $AB={\bf 0}$, então $BA={\bf 0}$.
Se $A$ é uma matriz $n\times n$ e $A^4 - 3A^2 + 7A -I_n={\bf 0}$ então $A$ é invertível (isto é, $AB=BA=I_n$ para alguma matriz $B$, $n\times n$).

391

Resolva a equação $f(x)=0$, onde $f(x)=\det(A-xI)$ e

$A = \begin{pmatrix}5&6&-3\\ -1&0&1\\ 1&2&1\end{pmatrix}.$

$x=2$ é uma raíz tripla.

368

Determine todas as matrizes $D$, $2\times 2$ e diagonais, que satisfazem: $DB=BD$ para toda matriz, $2\times 2$, $B$.
Determine todas as matrizes $A$, $2\times 2$, que satisfazem: $AB=BA$ para toda matriz $B$, $2\times 2$.
Tente generalizar a) e b) para matrizes $n\times n$.

358

Dadas as matrizes\[A=\left(\begin{array}[c]{rrr}1 & -3 & 2\\2 & 1 & -3\\4 & -3 & -1\end{array}\right) \text{, }B=\left(\begin{array}[c]{rrrr}1 & 4 & 1 & 0\\2 & 1 & 1 & 1\\1 & -2 & 1 & 2\end{array}\right) \text{ e }C=\left(\begin{array}[c]{rrrr}2 & 1 & -1 & -2\\3 & -2 & -1 & -1\\2 & -5 & -1 & 0\end{array}\right) ,\]mostre que $AB=AC$.

$AB=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right) $ e $AC=\left(\begin{array}[c]{rrrr}-3 & -3 & 0 & 1\\1 & 15 & 0 & -5\\-3 & 15 & 0 & -5\end{array}\right) $.

361

Verdadeiro ou Falso? Justifique.

Se $A=\left(\begin{array}[c]{rr}-2 & 1\\3 & 2\end{array}\right) $, então $A^{2}=\left(\begin{array}[c]{rr} 4 & 1\\9 & 4\end{array}\right) $.
$(A+B)^{t}=B^{t}+A^{t}.$
Se $AB=0$, então $A=0$ ou $B=0$.
Se $AB=0$, então $BA=0$.
Se podemos efetuar o produto $AA$, então $A$ é uma matriz quadrada.
$(-A)(-B)=-(AB).$
Sejam $A$ e $B$ duas matrizes. Se $A=0$, então $BA$ sempre existe.

Falso, pois efetuando a multiplicação temos que
\[A^2=7I_2.\]
Verdadeiro. Não confundir com a transposta do produto.
Falso! Como contra-exemplos, podemos tomar:
\[A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad\text{e}\quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{array}\right).\] Note que $AB=\mathbf{0}$, não sendo nenhuma delas nula.
Falso também. Ainda pegando os dois exemplos anteriores, note que
\[BA=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\-1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1&1\\0&0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right).\]
Verdadeiro. Supondo que $A$ fosse $m\times n$, como o produto $A\cdot A$ existe, isso implica que devemos ter $m=n$.
Falso, pois
\[(-A)(-B)=[(-1)A][(-1B)]=(-1)[A(-B)]=(-1)[A(-1)B]=(-1)(-1)[AB]=AB.\]
Falso. Note que, para que exista $BA$, o número de colunas de $B$ dever ser igual ao número de linhas de $A$ que, por sua vez, não tem nada a ver com ser nula. Por exemplo, considerando $A$ como sendo uma matriz $2\times 3$ nula e $B$ uma matriz $2\times 3$ qualquer, temos que o produto $BA$ não fica definido.

351

Qual é o valor de $c_{23}$ na multiplicação das matrizes abaixo?

\[\left(\begin{array}[c]{rr}1 & -2\\5 & -2\\-4 & 4\\-1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{rrrr}-5 & 1 & 5 & -4\\-2 & 5 & 2 & 2\end{array}\right) =\left(\begin{array}[c]{cccc}c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14}\\c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24}\\c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34}\\c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44}\end{array}\right) .\]

Note que, como o enunciado apenas pede o valor da entrada $c_{23}$, basta multiplicar a linha $2$ da primeira matriz pela coluna $3$ da outra:

\[c_{23}=\left(\begin{array}{cc} 5 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right) = 5\cdot5 -2\cdot2 =21.\]

362

Responda verdadeiro ou falso, justifique suas respostas.

Se $A^2 = -2\,A^4$, então $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2$.
Se $A^t = -A^2$ e $A$ é não singular, então $\det A = -1$.
Se $B = A\,A^t\,A^{-1}$, então $\det(A) = \det(B)$.
$\det(A + B) = \det A + \det B$.

Verdadeira, pois $A^2 = -2\,A^4 \Rightarrow -A^2 -2\,A^4=0$.
E $(I + A^2)^{-1} = I - 2\,A^2 \Leftrightarrow (I - 2\,A^2) (I+A^2)=I$ e $ (I+A^2) (I - 2\,A^2) =I$.O que vale, visto que $(I - 2\,A^2) (I+A^2)=I+A^2- 2\,A^2- 2\,A^4=I-\,A^2- 2\,A^4=I-0=I$.
E $ (I+A^2) (I - 2\,A^2)=I- 2\,A^2+A^2- 2\,A^4=I-A^2- 2\,A^4=I-0=I$.
Falsa, pois $\det(A)\neq0$ e $A^t = -A^2 \Rightarrow \det(A^t)=\det(-A^2)$. Mas $\det(A^t)=\det(A)$ e $\det(-A^2)=\det(-A)\det(A)=(-1)^n \det(A) \det(A)$, onde $n$ é a ordem da matriz $A$. Logo $\det(A)=\det(A^t)=\det(-A^2)=(-1)^n\det(A)^2 \Rightarrow 1=(-1)^n \det(A) \Rightarrow \det(A)=(-1)^n$.Portanto, se a matriz for de ordem par $\det(A)=1$ e se a matriz for de ordem ímpar $\det(A)=-1$.
Verdadeira.$B = A\,A^t\,A^{-1} \Rightarrow \det(B)=\det(A)\det(A^t)\det(A^{-1})=\det(A) \det(A)\dfrac{1}{\det(A)}=\det(A)$.
Falsa, contra exemplo:
sejam $A$ e $B$ matrizes de ordem dois tais que $A=I$ e $B=2I$. Então $A+B=3I$. E $\det(A+B)=9$. Mas, como $\det(A)=1$ e $\det(B)=4$, $\det(A)+\det(B)=5\neq 9=\det(A+B)$.

384

Calcule o determinante da matriz:

$\begin{pmatrix}1&1&-6&-2 \\ 4&7&4&4 \\ -2&-2&1&-2 \\ -4&-7&0&-1\end{pmatrix}.$