Como fazer teorema de pitagoras com raiz quadrada

Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).

Índice Show

Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?
Teorema de Pitágoras e os números irracionais
Exercícios resolvidos
Fórmula do teorema de Pitágoras
Demonstração do teorema de Pitágoras
Mapa Mental: Teorema de Pitágoras
Triângulo pitagórico
Teorema de Pitágoras e os números irracionais
Exercícios resolvidos

a = hipotenusa b = cateto c = cateto O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

a2 = b2 + c2

Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais).

Diagonal do quadrado.

O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus.

O cálculo da sua diagonal (reta que parte do ponto B ao C ou do A ao D) será feito da seguinte forma:

Como não conhecemos o valor dos lados iremos chamá-los de l. A diagonal forma no quadrado um triângulo retângulo ACD e é a partir daí que iremos calcular o valor da diagonal.

Aplicando o teorema de Pitágoras (d é a hipotenusa e l são os catetos), teremos:

Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada por:

d = l √2

Altura do triângulo equilátero

Dado um triângulo equilátero ABC, com lados e ângulos iguais.

Traçando uma reta que parte de A e é perpendicular ao segmento BC teremos a altura desse triângulo (h). Os lados serão chamados de l. Como todos os lados são iguais, a reta AH irá dividir a base BC em duas partes iguais.

Traçando a altura no triângulo equilátero formaremos um triângulo retângulo AHC.

A partir daí encontraremos o valor da altura do triângulo equilátero que coincide com o cateto do triângulo retângulo.

Portanto, a altura do triângulo equilátero será calculada por:

O teorema de Pitágoras é uma fórmula que nos permite relacionar as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Nessa figura geométrica, os lados perpendiculares são conhecidos como catetos, e o lado oposto ao ângulo de 90º é conhecido como hipotenusa.

Esse teorema mostra que a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa. Ele é muito importante para o estudo da Matemática, auxiliando no desenvolvimento da geometria. Foi por meio dele que os matemáticos buscaram compreender melhor os números irracionais.

Leia também: Razões trigonométricas — relações estabelecidas entre os lados de um triângulo retângulo

O teorema de Pitágoras relaciona os lados de um triângulo retângulo.

Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?

Dado um triângulo retângulo, os lados perpendiculares são conhecidos como catetos, e o maior lado, que sempre está de forma oposta ao ângulo de reto, é conhecido como hipotenusa.

a → hipotenusa
b e c → catetos

O teorema de Pitágoras relaciona a medida dos catetos e da hipotenusa do triângulo por meio da seguinte expressão:

A partir dessa relação, é possível encontrar um lado do triângulo retângulo conhecendo os outros dois lados.

Exemplo 1

Calcule o valor da hipotenusa x no triângulo retângulo a seguir:

Resolução

Primeiro vamos identificar os catetos e a hipotenusa do triângulo. Note que x é a hipotenusa e que os catetos medem 7 cm e 24 cm. Então, temos que:

a² = b² + c² x² = 7² + 24² x² = 49 + 576 x² = 625 x = √625

x = 25 cm

Exemplo 2

Calcule o valor do cateto b no triângulo a seguir:

Resolução

Primeiro vamos identificar a medida dos catetos e da hipotenusa.

Hipotenusa: 10 cm.
Catetos: b e 8 cm.

Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

10² = b² + 8² 100 = b² + 64 100 – 64 = b² 36 = b² b² = 36 b = √36

b = 6 cm

A demonstração de um teorema pode ser feita de várias formas, por meio de ferramentas diferentes da Matemática. Vejamos a demonstração a seguir, que utiliza semelhança de triângulos.

Dado o triângulo ABC, queremos demonstrar que a² + b² = c². Assim, considere o triângulo ABC:

a → hipotenusa b e c → catetos h → altura m → projeção de b sobre a hipotenusa

n → projeção de c sobre a hipotenusa

Podemos dividir a imagem em três triângulos semelhantes:

Comparando os triângulos ΔABC e ΔDAB, por serem semelhantes, temos que:

Por outro lado, ao comparar os triângulos ΔABC e ΔDAC, temos que:

Agora vamos somar as duas equações:

a · m + a · n = c² + b²
a·( m+n) = c² + b²

Porém, m + n = a, logo:

a · a = c² + b²
a² = c² + b²

Leia também: Classificação de triângulos — veja os tipos possíveis dessa figura

Teorema de Pitágoras e os números irracionais

Os números irracionais só foram descobertos por meio da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo de catetos medindo 1. Ao aplicar o teorema nesse triângulo, o valor encontrado para a hipotenusa foi √2.

Com esse resultado, os matemáticos buscaram encontrar o valor da √2 e perceberam a existência das dízimas não periódicas, o que possibilitou a criação de um novo conjunto numérico, já que, até o momento, o conjunto dos números racionais contemplava somente os números que podem ser representados como frações.

Na tentativa de provar que √2 poderia ser escrito como uma fração, percebeu-se o contrário, ou seja, que existem números que não podem ser representados como uma fração, que são aqueles cuja representação decimal é uma dízima periódica, como uma raiz quadrada não exata. Esses números foram classificados, então, como irracionais.

Leia também: Seno, cosseno e tangente — aprenda a aplicar essas razões

Exercícios resolvidos

1) (IDHTEC) O teorema de Pitágoras tem sido utilizado até hoje e com muita aplicabilidade a diversas situações cotidianas. Por exemplo, se uma escada de 5 m está encostada no topo em uma parede de 4 m, dá para descobrir que o pé dessa escada está afastado 3 m da parede. Imagine agora que essa escada possua 13 m e que o pé dela esteja afastado 5 m da parede. Qual a altura do topo da parede onde a escada está encostada?

a) 12 m

b) 11 m

c) 10 m

d) 9 m

e) 8 m

Resolução:

Alternativa a.

Ao encostar a escada na parede, ela forma um triângulo retângulo conforme a imagem a seguir:

Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

13 m → medida da hipotenusa;
5 m e x → medidas dos catetos.

13² = 5² + x² 169 = 25 + x² 169 – 25 = x² 144 = x² x=√144

x=12

2) (IFG 2019) Considere que o tamanho de uma televisão, dado em polegadas, corresponde ao comprimento da sua diagonal e que, no caso de televisores de tamanho normal, a largura e a altura seguem, ordenadamente, a relação 4:3. Observe a figura abaixo e considere 1 polegada = 2,5 cm.

Com relação a uma televisão plana de 40 polegadas, é correto afirmar que sua largura e sua altura são, respectivamente:

a) 60 cm e 45 cm.

b) 80 cm e 60 cm.

c) 64 cm e 48 cm.

d) 68 cm e 51 cm.

Resolução:

Se a proporção dos lados é 4:3, então a largura mede 4x e a altura mede 3x. Note que 40” é a medida da diagonal da televisão e que a diagonal divide a televisão em dois triângulos retângulos, logo podemos aplicar o teorema de Pitágoras.

(4x)² + (3x)² = 40² 16x² + 9x² = 1600 25x² = 1600 x² = 1600 : 25 x² = 64 x = √64

x= 8

Como os lados medem 4x e 3x, então:

4x → 4 · 8 = 32”
3x → 3 · 8 = 24”

Como 1 polegada corresponde a 2,5 cm, logo:

32 · 2,5 = 80 centímetros
24 · 2,5 = 60 centímetros

O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.

Saiba também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica

Fórmula do teorema de Pitágoras

Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.

Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.

O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:

Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Demonstração do teorema de Pitágoras

Vamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura:

O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD.

AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2

O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH.

AEFGH = a2

Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes:

O terceiro passo é calcular a área desses triângulos:

ATriângulo = b·c
2

O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então:

AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo

Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter:

a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc
2

a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc

a2 = b2 + c2

Mapa Mental: Teorema de Pitágoras

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Triângulo pitagórico

Um triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras.

Exemplos:

O triângulo acima é pitagórico, pois:

52 = 32 + 42

Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja

262 ≠ 242 +72

Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno

Teorema de Pitágoras e os números irracionais

O teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veja:

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional.

Leia também: Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo