Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Show Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão. Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios: Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum. Na prática, vamos fazer os seguintes passos: 1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos. 2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência). 3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base. Exemplos a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z? Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete. Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro dos parênteses: 12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z) b) Fatore 2a2b + 3a3c - a4. Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses. A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a2, que é o menor expoente do a na expressão. Dividimos cada termo do polinômio por a2: 2a2 b : a2 = 2a2 - 2 b = 2b 3a3c : a2 = 3a3 - 2 c = 3ac a4 : a2 = a2 Colocamos o a2 na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses: 2a2b + 3a3c - a4 = a2 (2b + 3ac - a2) AgrupamentoNo polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns. Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência. Exemplo Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y. Colocando esses fatores em evidência: x (m + 3n) + y (m + 3n) Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos. Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio: mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y) Trinômio Quadrado PerfeitoTrinômios são polinômios com 3 termos. Os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 - 2ab + b2 resultam do produto notável do tipo (a + b)2 e (a - b)2. Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma de dois termos) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (quadrado da diferença de dois termos) Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte: 1º) Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado. 2º) Multiplicar os valores encontrados por 2. 3º) Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito. Exemplos a) Fatorar o polinômio x2 + 6x + 9 Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito. √x2 = x e √9 = 3 Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito. Assim, a fatoração será: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) Fatorar o polinômio x2 - 8xy + 9y2 Testando se é trinômio quadrado perfeito: √x2 = x e √9y2 = 3y Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy). Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração. Diferença de Dois QuadradosPara fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela diferença. Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será: a2 - b2 = (a + b) . (a - b) Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores. Exemplo Fatorar o binômio 9x2 - 25. Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos: √9x2 = 3x e √25 = 5 Escrever esses valores como produto da soma pela diferença: 9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5) Cubo PerfeitoOs polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do produto notável do tipo (a + b)3 ou (a - b)3. Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo. Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito. Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas. Exemplos a) Fatorar o polinômio x3 + 6x2 + 12x + 8 Primeiro, vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo: 3√ x3 = x e 3√ 8 = 2 Depois, confirmar se é cubo perfeito: 3 . x2 . 2 = 6x2 3 . x . 22 = 12x Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito. Assim, a fatoração será: x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3 b) Fatorar o polinômio a3 - 9a2 + 27a - 27 Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo: 3√ a3 = a e 3√ - 27 = - 3 Depois confirmar se é cubo perfeito: 3 . a2 . (- 3) = - 9a2 3 . a . (- 3)2 = 27a Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito. Assim, a fatoração será: a3 - 9a2 + 27a - 27 = (a - 3)3 Leia também:
Exercícios ResolvidosFatore os seguintes polinômios: a) 33x + 22y – 55z b) 6nx – 6ny c) 4x – 8c + mx – 2mc d) 49 – a2 e) 9a2 + 12a + 4 a) 11. (3x + 2y – 5z) b) 6n . (x – y) c) (x – 2c) . (4 + m) d) (7 + a) . (7 – a) e) (3a + 2)2 Veja também:
Você conhece os números primos? Aqui no blog, nós já contamos sobre as particularidades dessa sequência numérica que intriga os matemáticos há milhares de anos. Mas você sabia que justamente esses números podem te ajudar com cálculos? Nós explicamos como! O que é fatoração?A fatoração numérica é um dos tipos de fatoração mais comuns, e consiste na decomposição de números usando fatores primos. Que tal começarmos com exemplos simples? Entenda: 4 = 2 x 2 = 2² 8 = 2 x 4 = 2 x 2 x 2 = 2³ 9 = 3 x 3 = 3² Agora acompanhe a decomposição de um número um pouquinho maior. 32 = 4 x 8 32 = 2 x 2 x 8 32 = 2 x 2 x 4 x 2 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 Nesse último caso, é possível perceber que todos os valores são números primos no produto 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Sendo assim, podemos dizer que a fatoração de 32 é 25. Regra prática para fatorar númerosO ato de fatorar um número pode parecer complicado, mas com a ajuda dos números primos, é possível realizar o processo de uma maneira extremamente simples. Para isso, basta dividir o número pelo seu menor divisor primo. Na sequência, divide-se o quociente que foi obtido pelo mesmo número primo. Caso não seja possível, você deve pular para o número primo seguinte e assim sucessivamente, até obter o resto 1. Veja um exemplo: Portanto, podemos dizer que 360 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2³ x 3² x 5. E aqui, mais uma vez, temos um número fatorado, ou seja, um número decomposto usando apenas números primos! Encontrando os divisores de um número primoA fatoração também pode te ajudar a descobrir quais são os divisores de um número. Para isso, o primeiro passo é decompor o número com fatores primos, como fizemos no tópico anterior. Agora vamos traçar uma linha paralela à dos números primos, escrever “divisores” e anotar o número um; afinal, ele é o divisor de todos os números. O resultado deve ser semelhante ao da imagem. Agora, deve-se multiplicar sucessivamente cada fator primo pelos divisores que encontrarmos. Acompanhe o processo nas duas primeiras linhas: 1ª linha: 2 (fator primo) x 1 = 2 2ª linha: 2 (fator primo) x 1 = 2 e 2 (fator primo) x 2 (divisor encontrado na 1ª linha) = 4 Portanto, até o momento, temos os divisores 2 e 4, como mostra a imagem abaixo. Seguindo, então, chegaremos a este cenário: Porém, o ideal é não repetir os divisores que já foram obtidos na mesma linha ou nos produtos anteriores, ainda que você possa anotá-los em um primeiro momento. Abaixo, evitamos anotar os valores que iriam se repetir na mesma linha. Por isso, ao final este deve ser o resultado de acordo com o exemplo, com o número 360. Confira: Dessa forma, é correto afirmar que os divisores de 360 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 ,18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 e 360. Para que serve a fatoração?A fatoração pode ser uma ferramenta muito útil para te ajudar a entender se um número é de fato considerado primo, já que ao realizar a decomposição de um valor, você terá maior facilidade para perceber se ele é divisível apenas pelo número um e por ele mesmo. Ainda, a decomposição de um número pode ajudar você a identificar o seu Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC). E aí, percebeu como a decomposição de números em fatores comuns pode ajudar você na hora da prova? Por isso, não deixe de relembrar o que são os números primos e como encontrá-los, e praticar como utilizá-los na fatoração de números grandes. Se você curtiu esse texto, confira outros posts sobre matemática que podem te interessar: O que é logaritmo? Quais são suas propriedades? Como calcular juros simples e compostos As principais fórmulas de matemática Conheça o Coach COC e organize seus estudos!O aplicativo Coach COC é o seu novo parceiro para os estudos! Ele vai te ajudar a organizar a sua rotina e planejar seu dia a dia. Acesse a página do app e baixe agora mesmo! |