Como determinar o valor da raiz quadrada

Apresentamos a nossa calculadora de raiz quadrada. Você só precisa digitar o número para o qual você deseja calcular a raiz e pressionar o botão para obter o resultado. Você pode tambem calcular raízes com diferentes indices (raiz cubica, raiz quarta,…) ou fazer a operação inversa da raiz (exponenciação).

3 opções para o cálculo:

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.  

Leia também: Potenciação e radiciação de frações

Videoaula sobre radiciação

Como representar a radiciação?

Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:

\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)

Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:

• √: radical.

• n: índice.

• a: radicando.

• b: raiz.

Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:

\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)

A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:

\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)

Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.

Exemplo 1:

\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)

Exemplo 2:

\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)

Exemplo 3:

\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)

Propriedades da radiciação

As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.

→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a

Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.

\(\sqrt[n]{a^n}=a\)

→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes

Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.

\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)

→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes

Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.

\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)

Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.

\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente

Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)

→ Raiz de uma raiz

Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.

\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)

→ Potência de uma raiz

Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:

\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)

→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação

Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.

\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)

Confira nossa videoaula: Propriedades de potência

Simplificação de radicais

Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.

Exemplo:

Simplifique \(\sqrt{392}\):

Resolução:

Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:

Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:

392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)

Assim, temos que:

\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)

Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:

\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)

Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:

\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)

Então, temos que:

\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)

Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).

Operações com radicais

→ Adição e subtração

Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.

Exemplo:

\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)

Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.

Exemplo:

\(5\sqrt3-2\sqrt2\)

\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)

\(8,5-2,8\)

\(5,7\)

→ Multiplicação e divisão

Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)

Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)

 Para igualar os índices, temos que:

\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)

\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)

\(\sqrt[6]{256∶8}\)

\(\sqrt[6]{32}\)

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.

A) 50

B) \( 6\sqrt[3]{10}\)

C) \( 10\sqrt[3]{6}\)

D) 720

Resolução:

Alternativa B

Fazendo a fatoração:

Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:

2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)

Logo:

\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)

\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)

\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)

Questão 2

Qual é a raiz cúbica de 4.096?

A) 26

B) 24

C) 16

D) 14

Resolução:

Alternativa C

Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:

Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).

Portanto:

\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)

\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)

\(\sqrt[3]{4096}=16\)

A raiz quadrada aproximada de um número é calculada utilizando a estimativa, que é o processo pelo qual conseguimos aproximar valores numéricos. Adotamos esse procedimento para calcular raiz quadrada não exata, que ocorre quando o radicando não é um número quadrado perfeito. Lembre-se que:

• Radicando é o número que fica dentro do radical, ou seja:

2 = Índice     2 = Expoente     n = Radicando     n = Raiz

• Número quadrado perfeito é obtido pelo produto de um número por ele mesmo. Sendo assim, é todo e qualquer número que tem como expoente o número 2.

  Número           Número quadrado perfeito

  0           →           02 = 0

  1           →           12 = 1

  2           →           22 = 4

  3           →           32 = 9

  4           →           42 = 16

  5           →           52 = 25...

• A raiz exata de um número é dada por um outro número que é quadrado perfeito.

Temos que 4, 9 e 16 são números quadrados perfeitos.

• Para sabermos quando utilizar o processo de estimativa pra calcular raiz quadrada, basta o valor numérico referente ao radicando não ser um número quadrado perfeito. Veja alguns radicais que não são quadrados perfeitos:

Como já trabalhamos os conceitos iniciais necessários para poder compreender melhor o que é raiz quadrada aproximada, podemos agora determinar o processo pelo qual é realizada a estimativa.

A aproximação para raiz quadrada adota o conjunto dos números racionais. Sendo assim, o valor numérico da raiz sempre será um número com uma ou mais casas decimais. O processo referente à aproximação de raiz quadrada pode ser caracterizado por três passos. Para determinar esses passos vamos calcular a raiz quadrada do número 7.

Primeiro passo

Devemos definir o número quadrado perfeito que é antecessor e sucessor do número 7.

22 < 7 < 32

4 < 7 < 9

Segundo passo

Determinar o possível intervalo que será raiz de 7 e fazer a estimativa variando as casas decimais.

Conseguimos determinar que o número 7 está entre os números quadrados perfeitos 4 e 9. Então o número que será a raiz de 7 está entre 2 e 3. Agora devemos aplicar o processo da estimativa, para isso variamos os números refentes à casa decimal.

(2,1) . (2,1) = (2,1)2 = 4,41

(2,2) . (2,2) = (2,2)2 = 4,84

(2,3) . (2,3) = (2,3)2 = 5,29

(2,4) . (2,4) = (2,4)2 = 5,79

(2,5) . (2,5) = (2,5)2 = 6,25

(2,6) . (2,6) = (2,6)2 = 6,76

(2,7) . (2,7) = (2,7)2 = 7,29

Terceiro passo

Definir qual dos valores da estimativa é raiz

Quando o produto de um número por ele mesmo ultrapassa o valor do radicando que queremos encontrar, paramos de estimar esse número. O que precisamos fazer agora, no caso da raiz quadrada de 7, é decidir se a raiz é o número 2,6 ou 2,7. Por convenção, temos que a raiz de 7 é dada pelo menor valor. Sendo assim:

Para poder fixar melhor este conteúdo faremos mais um exemplo:

Calcule a raiz quadrada do número 21.

42 < 21 < 52

16 < 21 < 25

O número que será raiz de 21 está entre 4 e 5.

(4,1) . (4,1) = (4,1)2 = 16,81

(4,2) . (4,2) = (4,2)2 = 17,64

(4,3) . (4,3) = (4,3)2 = 18,49

(4,4) . (4,4) = (4,4)2 = 19,36

(4,5) . (4,5) = (4,5)2 = 20,25

(4,6) . (4,6) = (4,6)2 = 21,16

Como, por convenção, devemos pegar o menor número para raiz, temos que a raiz de 21 é 4,5.