Todo número que pode ser escrito na forma de fração é racional

Desde o início da educação escolar absorvemos diferentes conteudos de forma que com o simples aprendizado que tivemos, seja suficientemente o bastante para conseguimos fazer associações usuais não só na matemática mas em  qualquer outra disciplina no nosso dia a dia. O conceito de frações é um assunto que nos deparamos frequentemente.

No pré escolar nos é passado a noção de divisão baseando-se no manuseio de materiais concretos que são ferramentas importantes no ensino da matemática, é o que chamamos de matemática concreta. É mais fácil identificar as operações fundamentais com materiais concretos do que com propriedades que são abstratas para o nosso raciocínio.

O estudo de fração apresenta uma necessidade maior do uso de materiais concretos, pois, trata- se de mostrarmos uma parte inteira subdividida em outras partes que juntas formam o inteiro. Esses conceitos elementares associados as frações nos possibilita trabalhar melhor futuramente com os números racionais, cujo a contextualização parte dos estudos de propriedades de frações.

Os números racionais tem por definição, que um número é racional quando um número pode ser escrito da forma P/Q onde Q é diferente de 0. Resumindo, os números racionais são aqueles que podem ser escritos em forma de fração. A definição anterior nos mostra que um número cujo o denominador é P, e o denominador é Q, onde Q é diferente de 0. Como não existem frações com denominador igual a 0, podemos concluir que as frações são números racionais. Em algumas definições de números racionais o termo razão pode aparecer como um termo equivalente a fração.

O conceito da divisão associado ao estudo de frações é algo que podemos utilizar par a identificação de certo número racional, quando por exemplo temos:

2/4, uma fração cujo o numerador é 2 e o denominador é 4, ou pode-se dizer que é um número racional cujo  valor de P/Q é igual 0,5 ; que é o valor da divisão de 2 por 4. Para  a identificação do número racional ter sido realizada e o número racional ter sido identificado foi necessário que o denominador da fração ou o valor de Q, na definição P/Q, fosse diferente de 0.

Logo fica fácil de observar a relação entre esses direta entre esses dois assuntos dentro do ensino da matemática, tornando assim os assuntos de divisão e frações pré requisitos necessários no estudo dos números racionais, que também servem de estudo para outras definições matemáticas.

Bibliografia: Dante. Tudo é matemática - Ensino fundamental. Editora Ática. Gelson Iezzi. Fundamentos de matemática Elementar 1.

Manoel Paiva. Ensino Médio. Editora Moderna.

O conjunto dos  números racionais,  representado por,

entre os inteiros "p" e "q",  onde "q" não seja zero.

Se  p  =  0  então tem-se: 0,  pois  0/q  (q  não nulo)  é  sempre zero. Se  p  =  q  então tem-se: 1  nos casos:

± 1,  ± 2,  ± 3,   etc.

Logo,  todo número inteiro é um número racional.

Todo número que possa ser escrito na forma de fração de inteiros é racional.

São números racionais:

①  Os números inteiros:  0;  ± 1;  ± 2;  ± 3;  etc.

②  As frações de inteiros:  2/3;  − 3/4;  5/6;  etc.

③  Os decimais finitos:  0,1;   1,13;   12,5;  etc.

④  As dízimas periódicas:  0,222 . . .  ;  12,0323232 . . .  ,  etc.

Um número racional  p/q  =  

Exemplos:

Um número racional  p/q  =  

Exemplos:

Observação O sinal não pertence ao numerador nem ao denominador, mas sim a fração toda.

Operações com números racionais

Adição

A operação de  adição  de dois números racionais é bem definida, isto é:

∀  p/q  e  r/s  ∈  

①  Se  "p/q"  e  "r/s"  forem números inteiros,  então:   a soma é obtida da forma dos inteiros.

Exemplos:

– 5  +  4  =  – 1

②  Se  "p/q"  e  "r/s"  forem números decimais,  então:   a soma é obtida da forma dos números decimais.

Exemplo:

+  12,16

③  Se  "p/q"  e  "r/s"  forem dízimas periódicas,  então:   pode-se converter as dízimas periódicas em frações.

Exemplo:

3,222. . .  =  3,2  =  

④  Se  "p/q"  e  "r/s"  forem frações,  então:   a soma é obtida da forma das frações. Caso os denominadores sejam diferentes,  será necessário, encontrar o  MMC  para torná-los iguais.

Exemplo:

⑤  Se  "p/q"  e  "r/s"  forem mistos,  isto é,   frações e decimais ou dízimas periódicas,  então:   a soma é obtida convertendo tudo em frações.

Exemplo:

1,2  =  

1,2  +  

Observação A melhor forma de se converter uma dízima periódica em fração, é eliminando os números que se repetem. Isto pode ser feito através da diferença entre: dois números que contenham o mesmo período.

Assim,  por exemplo,  o número  2,1454545 . . .  =  2,145

Para que o número: 2,1454545 . . .  passe a ser  2145,4545 . . .  multiplica-o por  1000.

Isto quer dizer que:

daí,  deve-se  "andar"  três casas pra direita.

E para que o número: 2,1454545 .  .  .  passe a ser 21,454545 . . .  multiplica-o por  10.

Isto quer dizer que:

daí,  deve-se  "andar"  uma casa pra direita.

Assim: Chamando o número  2,1454545 . . .  de  "x"  tem-se:

  1000  ⋅  x  =  2145,454545 . . .

Portanto,   2,1454545 . . .  =  2,145  =  

Propriedades da adição

Considerando que  p/q,  r/s,  t/u  são números racionais quaisquer, então sempre se observa as propriedades:

1)  Associativa : 

não se altera se for combinadas quaisquer pares da adição.

2)  Comutativa:  

a ordem das parcelas não altera a soma.

3)  Elemento Neutro : 

com o 0  (que é o elemento neutro)  dá ele mesmo.

4)  Elemento oposto  (simétrico) : 

Observação

5)  Lei do Corte : 

um mesmo número que esteja nos dois lados de uma igualdade.

Subtração

A operação de subtração de dois números racionais é bem definida, isto é:

∀  p/q  e  r/s  ∈  

Exemplo: Determine a diferença entre  1/2  e  2/3. mmc(2,  3)  =  6  como denominador comum.

Portanto,  a diferença  é   –

NOTA:
A subtração não admite as propriedades da adição.

Multiplicação

A operação de multiplicação de dois racionais é bem definida, isto é:

∀  p/q  e  r/s  ∈  

Exemplo: Determine o produto entre  3/5  e  2/3.

Portanto,  o produto  é   

Propriedades da multiplicação

Considerando que  p/q,  r/s,  t/u  são números racionais quaisquer, então sempre se observa as propriedades:

1)  Associativa :  

não se altera se for combinadas quaisquer pares da multiplicação.

2)  Comutativa :  

ou seja,  a ordem dos fatores não altera o produto.

3)  Elemento Neutro :  

com o  1  (que é o elemento neutro)  dá ele mesmo.

4)  Elemento inverso  (simétrico) :  

com o seu inverso dá o elemento neutro que é  1  (um).

Observação
O inverso do número racional  

5)  Lei do Corte :  

um mesmo número que esteja nos dois lados de uma igualdade.

6)  Distributiva em relação à adição :  

depois somá-los,  ou,  somá-los e depois multiplicar pela soma.

Observação Da mesma forma que a multiplicação é distributiva em relação à adição,

ocorre a distibutividade em relação à subtração.

Divisão

A operação de  divisão  de dois números racionais é bem definida, isto é:

∀  p/q  e  r/s  ∈  

Exemplo: Determine o quociente entre  3/5  e  2/3. O inverso de  2/3  é  3/2,  assim:

Portanto,  o quociente  é  

Dividir dois números racionais é multiplicar o primeiro pelo inverso do segundo.

NOTA:
A divisão não admite as propriedades da multiplicação.

Potenciação

A potenciação não é bem definida para dois números racionais,
isto é,  um racional elevado a outro nem sempre é racional.

Para que a potência seja um racional é necessário que, o expoente seja um número inteiro:

∀  p/q  ∈  

Para calcular a potência tanto o numerador, quanto o denominador são elevados:

(p/q)n  =  pn / qn

(

Exemplo: Calcular o cubo de   2/3.

(

∀  p/q  ∈  

Se o expoente for negativo  inverte-se  a base, e,  o expoente passa a ser positivo.

(

Exemplo:
Calcular a potência  (3/4) − 3.

(

se a base for zero,  pois o zero não tem inverso.

NOTA:
A potenciação não admite as propriedades da multiplicação.

Radiciação

A radiciação não é bem definida nos racionais,  isto é,
a raiz de um racional nem sempre é um número racional.

Para se calcular a raiz de um racional na forma de fração,
se determina a raiz do numerador e do denominador.

Exemplos:

Exercícios Resolvidos

R01 — x

R02 — 

Para exercícios resolvidos

Calcular o quadrado do número racional  2,5.
Como  2,5  =  25/10  =  5/2  =  

Como  0,64  =  64/100  =  16/25  =  

Como  0,444 . . .  =  4/9  =  

Exercícios Propostos

P01 — 

P02 —