Seno, cosseno e tangente são razões capazes de relacionar lados e ângulos em triângulos retângulos. Elas são a base para a trigonometria e, por isso, são chamadas de razões trigonométricas. Por meio dessas razões, é possível também estender esses cálculos para triângulos quaisquer, usando, para isso, a lei dos senos e a lei dos cossenos, por exemplo. Entretanto, seno, cosseno e tangente só podem ser calculados tendo como base um triângulo retângulo, por isso, é importante conhecer essa figura e seus elementos. Conhecendo o triângulo retângulo Um triângulo é chamado retângulo quando possui um ângulo reto. Não é possível que um triângulo possua dois ângulos retos, pois a soma de seus ângulos internos deve ser igual a 180° em qualquer hipótese. Observe, na imagem abaixo, o triângulo ABC: O lado AB é oposto ao ângulo reto, que fica no vértice C. Em outras palavras, o lado AB não é um dos lados do ângulo reto. Esse lado é chamado de hipotenusa e os outros dois, que são lados do ângulo reto, são chamados de catetos. Ainda na figura acima, observe que o lado CB é oposto ao ângulo α. Esse lado é um dos catetos, que fica conhecido como cateto oposto ao ângulo α. O outro cateto, o lado AC, será chamado de cateto adjacente ao ângulo α. Se estivéssemos analisando o ângulo β, o cateto oposto seria AC e o cateto adjacente seria CB. Razão seno A razão seno deve ser avaliada tendo como base o ângulo α ou o ângulo β. Ela é definida como: senα = Cateto oposto a α Observe que a “variável” dessa razão é o ângulo. Portanto, independentemente do comprimento dos lados do triângulo retângulo, só haverá variação no valor do seno se houver variação no ângulo avaliado. Nos dois triângulos a seguir, a razão entre o cateto oposto ao ângulo de 30° e a hipotenusa será igual a 1/2, mesmo que os triângulos tenham lados com medidas distintas. Razão cosseno Para calcular a razão cosseno, também devemos fixar um dos dois ângulos agudos do triângulo retângulo. Supondo que o ângulo escolhido fosse α, teremos: cos α = Cateto adjacente a α Essa razão também não varia conforme os comprimentos dos lados do triângulo. Sua variação está ligada apenas ao ângulo α. Se houver variação nesse ângulo, o valor do cosseno também varia. Razão tangente Para definir a razão tangente, também devemos fixar um dos ângulos agudos do triângulo retângulo. Fixando α, temos: Tg α = Cateto oposto a α Mais uma vez, o resultado dessa razão não depende das medidas dos lados do triângulo. Para um mesmo ângulo, triângulos com lados diferentes terão tangentes iguais. Ângulos notáveis Sabendo que as variações nos valores de seno, cosseno e tangente referem-se ao ângulo, é possível construir uma tabela com os valores mais importantes dessas razões. Esses números são obtidos ao substituir as medidas do cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa nas razões acima. Exemplo No triângulo a seguir, determine o valor de x. Observe que o triângulo é retângulo e que o ângulo em destaque mede 30°. Como x é o cateto oposto a 30° e 48 cm é a medida da hipotenusa, a única razão que pode ser usada é a razão seno, pois é a única que envolve cateto oposto e hipotenusa. Assim, temos: senα = Cateto oposto a α sen30° = x Dessa forma, ao buscar o valor de sen30° na tabela dada e substituí-lo nessa igualdade: sen30° = x 1 = x Em seguida, basta resolver a equação resultante utilizando, para isso, qualquer método válido. Faremos por meio da propriedade fundamental das proporções. 2x = 48 x = 48 x = 24 cm.
Videoaulas relacionadas: Olá, estudantes! Vocês se lembram das relações trigonométricas? Entre elas, as três mais importantes são: seno, cosseno e tangente. Elas podem ser estabelecidas e aplicadas na trigonometria do triângulo retângulo. Podemos estabelecer as propriedades do triângulo retângulo a partir de um triângulo qualquer que possua um ângulo reto, como o da figura a seguir:  Cada ângulo não reto possui um cateto oposto e um cateto adjacente. Apenas a hipotenusa é a mesma para ambos os ângulos. Seja α (α ≠ 90°) um ângulo pertencente a um triângulo retângulo qualquer, as relações trigonométricas são calculadas da seguinte forma: seno → sen α = cateto oposto a α cosseno → cos α = cateto adjacente a α tangente → tan α = cateto oposto a α Vale lembrar que, para os ângulos notáveis (30°, 45° e 60°), podemos utilizar a tabela trigonométrica a seguir que dá uma “mãozinha” nos cálculos: Essa tabela trigonométrica estabelece os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30°, 45° e 60°) Vejamos como costumam aparecer as questões que envolvem seno, cosseno e tangente no Enem: Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2010 Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2010 Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. a) 1,8 km. b) 1,9 km. c) 3,1 km. d) 3,7 km. e) 5,5 km. Para resolver essa questão, basta calcular a tangente do ângulo de 60°. Lembrando que a tangente é o quociente do lado oposto pelo lado adjacente ao ângulo. O valor da medida do lado adjacente está na figura da questão, 1,8 km. A medida do lado oposto ao ângulo de 60° é o valor que estamos procurando e pode ser chamada de x. Na tabela trigonométrica, podemos ver que a tangente de 60° vale √3. Façamos então: tan 60° = cateto oposto a 60° cateto adjacente a 60° √3 = x 1,8 x = 1,8.√3 x = 1,8.1,73 x = 3,114 km A alternativa correta é aquela que mais se aproxima do resultado encontrado, portanto, a letra c. Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2011 Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação: Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2011 Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será: a) 1000 m. b) 1000√3 m. c) 2000 √3/3 . d) 2000 m. e) 2000√3 m. A menor distância entre o ponto P e a trajetória do barco é uma reta perpendicular. Traçando essa nova reta, é possível visualizar dois triângulos. Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale sempre 180°, podemos identificar os demais ângulos do problema: Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, podemos encontrar os valores dos ângulos que faltam. Observe que o triângulo ABP possui dois ângulos internos iguais, portanto, ele é isósceles. Sendo assim, podemos afirmar que os lados AB e BP possuem a mesma medida, ambos valem 2000 m. cos 30° = cateto adjacente a 30° hipotenusa √3 = x 2 2000 2x = 2000√3 x = 2000√3 2 x = 1000√3 m A alternativa correta é a letra b. Para aprofundar seu estudo, não deixe de resolver alguns exercícios que a equipe do Brasil Escola separou para você: Exercícios sobre Trigonometria no Triângulo Retângulo e Exercícios sobre Seno, Cosseno e Tangente. Bons estudos! |
O que é seno cosseno e tangente
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