Monte um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas que possua como solução o par ordenado

A solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas, quando existe e é única, é um par ordenado (x, y) que satisfaz às duas equações, simultaneamente.

Em algumas situações, a solução do sistema pode não ser única e infinitos pares ordenados satisfazem às duas equações. Já em outros casos, pode ser que não exista nenhum par ordenado que seja solução.

Dessa forma, o sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas pode ser classificado em três diferentes tipos em relação à quantidade de soluções.

1. Sistema possível determinado: possui uma única solução;
2. Sistema possível indeterminado: possui infinitas soluções;
3. Sistema impossível: não possui solução.

Essas três situações possíveis podem ser verificadas através do gráfico com as duas retas correspondentes às equações do sistema.

Solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas através do gráfico

Para determinar a solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas através da representação gráfica, devemos construir, no plano cartesiano, as duras retas correspondentes às equações do sistema.

Caso 1) Sistema possível determinado

Se as retas são concorrentes, isto é, se cruzam em um único ponto, então, esse ponto satisfaz às duas retas ao mesmo tempo. Portanto, o sistema é possível determinado e a solução é dada pelas coordenadas do ponto onde as retas se cruzam.

Exemplo:

As retas correspondentes às equações são Reta 1: y = -2x + 1 e Reta 2: y = x – 5. Para construir o gráfico das retas, basta atribuir valores para x e encontrar o valor de y associado. Ligando-se todos os pontos, obtém-se o gráfico.

Veja que as retas são concorrentes e que o ponto (2, -3) pertence as duas retas. Logo, a solução do sistema é o par ordenado (x, y) = (2, -3).

Caso 2) Sistema possível indeterminado

Se as retas são coincidentes, então, qualquer ponto de uma reta também é um ponto da outra reta. Portanto, o sistema é possível indeterminado e as coordenadas de qualquer ponto que pertença a essas retas, é solução do sistema.

Exemplo:

Veja que as retas são coincidentes e que pontos como (1,1) e (4,2) pertencem às duas retas. Logo, o sistema possui infinitas soluções.

Caso 3) Sistema impossível

Se as retas são paralelas, ou seja, nunca se cruzam, então, não há nenhum ponto em comum entre essas retas. Portanto, o sistema é impossível, não admite nenhuma solução.

Exemplo:

Veja que as retas são paralelas e que não há nenhum ponto em comum entre elas. Logo, o sistema não possui solução.

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Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações.

Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as equações, é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas.

Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o método da substituição ou o da soma.

Método da substituição

Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra equação.

Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita.

Exemplo

Resolva o seguinte sistema de equações:

Resolução

Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação mais simples, para isolar o x. Assim temos:

Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira:

Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, para encontrar o valor do x:

Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado tornam ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 - 4 = 20.

Método da Adição

No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas.

Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários.

Exemplo

Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o mesmo sistema anterior:

Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, iremos começar a calcular somando as duas equações, conforme indicamos abaixo:

Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x, portanto agora, podemos resolver a equação:

Para encontrar o valor do y, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos substituir na mais simples:

Note que o resultado é o mesmo que já havíamos encontrado, usando o método da substituição.

Quando as equações de um sistema não apresentam incógnitas com coeficientes opostos, podemos multiplicar todos os termos por um determinado valor, a fim de tornar possível utilizar esse método.

Por exemplo, no sistema abaixo, os coeficientes de x e de y não são opostos:

Portanto, não podemos, inicialmente, anular nenhuma das incógnitas. Neste caso, devemos multiplicar por algum número que transforme o coeficiente em um número oposto do coeficiente da outra equação.

Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por - 2. Contudo, devemos ter o cuidado de multiplicarmos todos os termos por - 2, para não modificarmos a igualdade.

Assim, o sistema equivalente ao que queremos calcular é:

Agora, é possível resolver o sistema por adição, conforme apresentado abaixo:

Logo, x = - 12, não podemos esquecer de substituir esse valor em uma das equações para encontrar o valor do y. Substituindo na primeira equação, temos:

Assim, a solução para o sistema é o par ordenado (- 12, 60)

Classificação dos sistemas de equações

Um sistema do 1º grau, com duas incógnitas x e y, formado pelas equações a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2, terá a seguinte classificação: possível e determinado, possível e indeterminado e impossível.

O sistema será possível e determinado quando apresentar uma única solução. Isso acontecerá quando:

Quando o sistema apresentar infinitas soluções, será classificado como possível e indeterminado. A condição para que um sistema seja desse tipo é:

Já os sistemas impossíveis, não possuem nenhuma solução. Nesse tipo de sistema temos:

Exemplo

Classifique o sistema abaixo:

Para identificar o tipo de sistema, vamos calcular a razão entre os coeficientes das equações:

Como

Então, o sistema é impossível.

Para saber mais, leia também:

Exercícios Resolvidos

1) Cefet - RJ - 2016

Uma garrafa PET (politereftalato de etileno) com sua tampa custa sessenta centavos. Sabendo que a garrafa custa cinquenta centavos a mais que a tampa, quanto custa só a tampa?

a) R$ 0,05 b) R$ 0,15 c) R$ 0,25

d) R$ 0,35

2) Cefet - RJ - 2014

Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?

a) 120 b) 125 c) 130

d) 135

3) Uerj - 2015

De acordo com os dados do quadrinho, a personagem gastou R$ 67,00 na compra de x lotes de maçã, y melões e quatro dúzias de bananas, em um total de 89 unidades de frutas.
Desse total, o número de unidades de maçãs comprado foi igual a:

a) 24 b) 30 c) 36

d) 42