Como se resolve uma expressão numérica com raiz quadrada?

A raiz quadrada de um número é a operação inversa da potenciação de números com expoente igual a 2. Assim, temos que:

√9 = 3, pois 3² = 9

√36 = 6, pois 6² = 36

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

Conhecemos como expressões numéricas um conjunto de operações fundamentais a serem calculadas. São operações fundamentais:

• adição
• subtração
• multiplicação
• divisão
• potenciação 
• radiciação

Expressões numéricas são bastante comuns no dia a dia, pois, em muitos problemas, há a necessidade de se calcular o valor de uma expressão numérica. Além das operações, uma expressão numérica pode conter símbolos que mostram a ordem de prioridade, são eles:

• parênteses ( )
• colchetes [ ]
• chaves { }

Leia também: Como identificar se um número é par ou ímpar? 

Ordem das operações

Na resolução de expressões numéricas, é bastante comum ter dúvida sobre qual operação devemos realizar primeiro, para isso, é necessário entender a ordem correta a ser seguida. Primeiramente sempre vamos começar por radiciação e potenciação. Caso apareçam essas duas operações ao mesmo tempo dentro de uma mesma expressão algébrica, calculamo-las na ordem em que aparecerem. 

Encontrando todas as potências e todos os radicais, as próximas operações em ordem de prioridade são a multiplicação e a divisão. Da mesma forma, operações com mesmo grau de prioridade são sempre calculadas na ordem em que aparecem, o que acontece com a multiplicação e a divisão.

Na ausência de multiplicação e divisão na expressão numérica, calculamos, então, a adição e a subtração dos termos. Caso exista as duas operações, calculamo-las na ordem em que aparecerem até encontrarmos um resultado final.

Exemplo:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

Primeiramente calcularemos a radiciação e a potenciação:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

Como não há mais nenhuma potenciação nem radiciação, calcularemos a multiplicação e a divisão:

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

5 + 6 – 2  – 1 + 9

Agora realizaremos as adições e subtrações na ordem em que elas parecem:

5 + 6 – 2 – 1 + 9

11 – 2 – 1 + 9

9  – 1 + 9

 8 + 9

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Veja também: Critérios de divisibilidade – ferramentas utilizadas a fim de facilitar o cálculo de divisão

Uso dos símbolos nas expressões numéricas

Além das operações em si, é bastante comum também a utilização de símbolos para mostrar a ordem de prioridade em que devemos fazê-las. São eles os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }.

Nesse caso precisamos nos atentar, primeiro, à ordem de prioridade desses símbolos para, depois, atentar-nos à ordem de prioridade das operações que estão entre esses símbolos. Resolver expressões numéricas exige um cuidado, pois há uma prioridade na ordem das operações, começando pelos símbolos, resolvendo:

• primeiro, as operações que estão dentro do parêntese;
• depois, as operações que estão entre colchetes; 
• por fim, as operações que estão entre chaves.

Operações que estão sendo realizadas entre parênteses, por exemplo, respeitam sempre a ordem das operações, então, ao resolver uma expressão numérica, buscamos eliminar os parênteses, depois os colchetes, e por fim as chaves, nessa ordem.

Passo a passo para resolver expressões numéricas

Exemplo:

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

Para calcular a expressão quando ela possui símbolos, começamos sempre resolvendo as operações que estão dentro do parêntese.

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

Agora que não há nenhuma operação entre parênteses, vamos buscar eliminar os colchetes. Dentro deles, é importante respeitar a ordem de prioridade das operações, começando, então, nesse caso, pela radiciação.

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

Ainda com o objetivo de eliminar o colchete, realizaremos agora a divisão, já que ela possui prioridade em relação à adição e subtração.

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

Para eliminar o colchete, calcularemos as adições e a subtração, na ordem em que essas operações aparecem.

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

{[5 – 2 + 9] : 4}²

{[3 + 9] : 4}²

{12 : 4}²

Agora que eliminamos o parêntese, por fim, vamos eliminar as chaves, e, para isso, vamos calcular a divisão:

{12 : 4}²

3²

Por fim, só nos resta calcular a potência:

3²

9

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Qual é o resultado da expressão: 20 ÷ {√4 · [-9 + 17 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12

E) 13

Resolução

Alternativa A

Primeiro vamos eliminar o parêntese:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

Agora eliminaremos os colchetes:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-11]

20 ÷ {√4 · (-5)} + 11

Agora eliminaremos as chaves, respeitando a ordem de prioridade entre as operações:

20 ÷ {√4 ·(-5)} + 11

20 ÷ {2 · (-5)} + 11

20 ÷ {2 · (-5)} + 11

20 ÷ (-10) + 11

Eliminando todos os símbolos, realizaremos, primeiro, a divisão e, depois, a adição:

20 ÷ (-10) + 11

-2 + 11

9

Questão 2 – Analisando as expressões:

I. [8 : (8 × (-2) + 18)] – √16 II. [8 × (9 : 3 + 1)] + 2

III. {3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5

As expressões que têm como resultado zero são:

A) I, II e III B) somente I e II C) somente I e III D) somente II e III

E) Nenhuma delas

Resolução

Alternativa C

Resolvendo cada uma delas, temos que:

I.

[8 : (8 × (-2) + 18)] – √16 [8 : (-16 + 18)] – √16 [8 : 2] – √16 4 – √16 4 – 4

0

II.

[8 × (9 : 3 + 1)] + 2 [8 × (3 + 1)] + 2 [8 × 4] + 2 32 + 2

34

III.

{3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5 {3² – [4 + (3 – 3)²]} – 5 {3² – [4 + 0²]} – 5 {3² – [4 + 0]} – 5 {3² – 4} – 5 {9 – 4} – 5 5 – 5

0

Da mesma forma que calculamos a raiz quadrada de um número natural positivo, podemos determinar a raiz de um número fracionário. Para isso, basta calcularmos a raiz do numerador e do denominador. Alguns resultados são obtidos com a fatoração dos números, os quais são agrupados como potência de expoente igual a 2.

Qual a ordem de resolver as expressões numéricas?

• Expliquei sobre a ordem de resolver as expressões, quais são as operações que devem ser resolvidas primeiro e qual é a ordem dos separadores. A introdução da fração nas expressões numéricas não altera a ordem de execução das operações e dos separadores. A fração é apenas um número como qualquer outro da expressão numérica.

Como os números decimais serão convertidos em frações?

• Caso números decimais sejam inseridos, eles serão automaticamente convertidos em frações.Os números decimais periódicos devem ser introduzidos indicando o período entre parênteses. Por exemplo: 0.58 (3) ou 0,58 (3) se tornará 7/12.

Por que as frações representam a mesma quantidade?

• 14 14% Agora, observe que na figura ao lado, as frações são equivalentes, ou seja, representam a mesma quantidade[comparando círculo com círculo e quadrado com quadrado].

Quais as equivalências de uma fração?

• Vale observar algumas equivalências, pois uma determinada fração pode ser escrita de muitas formas: 1 12 12 4 5 5 5     4 3 12 12 0 1 0 0  14 14%