Exercicios de raiz cubicas quadradas e etc 8 ano

Você já ouviu falar em números quadrados perfeitos? Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x 3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao quadrado).

Nós temos uma forma mais usual de representar um número que é tido como quadrado perfeito. Para representá-lo, nós utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois 22 = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. Vejamos como representar uma raiz quadrada:

Os elementos que compõem a radiciação são o radical, o índice, o radicando e a raiz

O radical (símbolo em vermelho) indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado.

Nesse exemplo, estamos procurando a raiz quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o número que multiplicado por ele mesmo resulta em quatro. Facilmente podemos concluir que esse número é o 2, pois 22 = 4.

Mas e se por acaso quisermos saber qual é o número que multiplicado por si mesmo 3 vezes resulta em 8? Precisamos então procurar o número que, ao cubo, resulta em 8, isto é:

? 3 = 8

? x ? x ? = 8

Esse exemplo já exige um pouco mais de raciocínio. Mas podemos afirmar que o número que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da raiz é três. Sua representação é:

3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Mas haveria uma forma mais fácil de realizar a radiciação? Sim, há! Através da fatoração, conseguimos encontrar qualquer raiz exata, independentemente do índice. Vejamos alguns exemplos:

1. √64

Precisamos encontrar a raiz quadrada de 64. Atenção: sempre que não aparece um número no índice, trata-se de uma raiz quadrada, cujo índice é 2. Vamos fatorar o radicando 64, isto é, vamos dividi-lo sucessivas vezes pelo menor número primo possível até que cheguemos ao quociente 1:

64 | 2
32 | 2
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1|

Do lado direito, apareceram seis números 2. Ao multiplicá-lo (2x2x2x2x2x2), encontramos o número 64. Então, em vez de escrevermos o 64, podemos colocar essa multiplicação dentro da raiz:

√64

√2x2x2x2x2x2

Como estamos trabalhando como uma raiz quadrada, nós agruparemos os números dentro da raiz de dois em dois, elevando-os ao quadrado:

√22x22x22

Feito isso, aqueles números que possuem o expoente dois podem sair da raiz. Eles saem sem o seu expoente, mas continuam com o símbolo da multiplicação, portanto:

√64 – 2x2x2 – 8

Portanto, a raiz quadrada de 64 é 8.

2. 3√729

Agora estamos trabalhando com uma raiz cúbica, ou uma raiz de índice três. Devemos procurar um número que, multiplicado por si mesmo três vezes, chega ao valor do radicando. Vamos novamente fatorar nosso radicando, dividindo-o sempre pelo menor número primo possível:

729 | 3
243 | 3
81 | 3
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 |

Como estamos lidando com uma raiz de índice 3, nós vamos agrupar os números iguais que apareceram à direita em trios, com expoente 3. Novamente aqueles números que possuem expoente que coincide com o índice do radicando poderão sair da raiz. Vejamos:

3√729

3√3x3x3x3x3x3

3√33x33

3√729 = 3x3 = 9

Portanto, a raiz cúbica de 729 é 9.

3) 4√3125

Nesse exemplo, temos uma raiz quarta. Logo, ao fatorarmos o radicando, deveremos agrupar os números da direita de quatro em quatro. Vejamos:

3125 | 5
625 | 5
125 | 5
25 | 5
5 | 5
?1 |

À direita, apareceram cinco números cinco. Logo, podemos observar que, ao juntarmos grupos de 4, alguém ficará sozinho. Ainda assim, realizaremos esse processo:

4√3125

4√5x5x5x5x5

4√54x5

4√3125 = 54√5

Infelizmente, não conseguimos concluir essa radiciação, dizemos então que ela não é exata.

A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata, como ocorreu no último exemplo.

Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:

Ao pensarmos no cubo de um número, pode ser que façamos a associação com uma figura geométrica tridimensional, que possui todas as suas faces com aresta de mesma medida. Essa figura geométrica é o cubo, e todo o cubo possui três dimensões, sendo elas: comprimento, altura e largura.

Calcula-se o volume de um cubo por meio do produto dessas três dimensões. Veja o cubo abaixo:

As dimensões desse cubo são dadas por: 1 centímetro de altura, 1 centímetro de comprimento e 1 centímetro de largura. Para calcularmos o volume desse cubo devemos multiplicar suas três dimensões.

V = 1 cm . 1 cm . 1 cm = 1 cm3 (lê-se 1 centímetros cúbicos)

Observe que o expoente do centímetro é o número 3, e esse número foi obtido graças à utilização da propriedade de potência que diz: Bases iguais em um produto, conserva-se a base e soma-se os expoentes. Temos então que o termo cúbico é obtido pelo produto de um número por si mesmo três vezes. A fórmula para obtermos um termo numérico/algébrico com expoente cúbico e dado por:

a . a . a = a3

Agora, para entendermos o que é raiz cúbica precisamos inicialmente conhecer a sua estrutura. Veja:

a = radicando

a = raiz

3 = índice

3 = expoente

Observe que em uma raiz cúbica, o índice e o expoente devem ser representados pelo número 3. Calculamos a raiz cúbica de um número para encontrarmos qual o valor numérico que foi multiplicado três vezes por si mesmo.

Para compreender melhor o que é a raiz cúbica de um número observe o exemplo a seguir:

Observando o exemplo podemos constatar que para encontrarmos a raiz cúbica de um número devemo inicialmente fatorar esse número, em seguida colocar a fatoração obtida na fórmula para raiz cúbica e, no final, solucionar a raiz.

Podemos também encontrar a raiz cúbica de um número por meio do cálculo mental, para fazer dessa forma basta pensar qual o número que elevado ao cubo resulta no valor do radicando.

Veja:

a) Qual o número que elevado ao cubo resulta em 8?

Resposta: O número é 2, logo, a raiz cúbica de 8 é 2, ou seja, 2 é o número que multiplicado três vezes resulta em 8. Veja 2 . 2 . 2 = 8

b) Qual o número que elevado ao cubo resulta em 64?

Resposta: O número é 4, logo, a raiz cúbica de 64 é 4, ou seja, 4 é o número que multiplicado três vezes resulta em 64. Veja 4 . 4 . 4 = 64.

Sabemos como calcular a raiz quadrada de um número, mas você sabe como calcular a raiz cúbica? Pensando nisso, confira abaixo como fazer o cálculo da raiz cúbica a partir de maneiras diversas. Além disso, são apresentadas também videoaulas para que você fixe melhor o conteúdo estudado. Acompanhe:

Índice do conteúdo:

Existem várias maneiras de calcular a raiz cúbica, mas quais são elas? Aqui, entenderemos, junto aos exemplos, as formas de se calcular a raiz cúbica de um número. Confira:

Por fatoração

A fatoração nos ajuda em muitos momentos no mundo da matemática e, com o cálculo de raiz cúbica, não seria diferente. Para se calcular a raiz cúbica de um número por fatoração, são necessários os seguintes passos:

Primeiro, devemos fatorar o número em questão. Vamos tomar como exemplo o número 125;

Em seguida, colocamos o número fatorado dentro da raiz cúbica;

Por fim, elevamos o número fatorado pelas vezes que ele se repete e obtemos o resultado.

Alguns exemplos do cálculo de raiz cúbica por fatoração:

Na calculadora científica

Nos dias atuais, existem algumas calculadoras que facilitam muito os estudos, por exemplo, a calculadora científica. Vamos, então, aprender como calcular a raiz cúbica de um número com esse tipo de calculadora. Para esse exemplo, foi utilizada uma calculadora cientifica online.

Vamos ver, então, como se calcula a raiz cúbica de 125 pela calculadora científica.

Antes de mais nada, digitamos na calculadora o número cuja raiz cúbica queremos saber. Nesse caso, trata-se do número 125;

Em seguida, apertamos o botão com o símbolo da raiz cúbica, como mostra a marcação na imagem a seguir;

Por fim, apertamos o botão de “igual” para obter o resultado.

Esse método é utilizado para obter a raiz cúbica de qualquer número. Para esse exemplo, vamos tentar descobrir a raiz cúbica de 600. Dessa forma, vamos começar a entender o método.

Primeiro, devemos escolher dois limites: um inferior e um superior. Em outras palavras, precisamos saber dois cubos perfeitos entre os quais o 600 esteja. Sabe-se que 8³=512 e 9³=729. Assim, a solução para a raiz cúbica de 600 está entre 8 e 9;
O segundo passo é escolher um segundo digito. Como o resultado está entre 8 e 9, podemos escolher o segundo digito como sendo 5. Assim, nosso possível resultado é 8,5. Vamos testar a estimativa elevando-a ao cubo. Dessa forma, 8,5³ = 614,1;
No passo anterior, obtivemos um resultado maior que 600. Vamos então ajustar nossa estimativa. Assim, vamos reduzir o segundo digito para 4, assim a estimativa fica 8,4. Elevando-a ao cubo, obtemos 8,4³ = 592,7;
O próximo passo é ajustar a estimativa novamente até se obter um resultado que seja o mais próximo possível do verdadeiro. Se fizermos 8,43 ao cubo, vamos obter como resultado o valor 599,07, mas ainda não é um resultado que queremos. Se fizermos 8,434 ao cubo, teremos o resultado de 599,93, que é muito próximo de 600. Portanto, o resultado da raiz cúbica de 600, de uma forma aproximada, é 8,434.

Esse método, como podemos ver, é uma forma de tentativa e erro. Em outras palavras, você tem que ir tentando ajustar a estimativa até chegar próximo do resultado. Vimos alguns dos exemplos de como calcular a raiz cúbica de um número, porém existem muitos outros meios que são encontrados nos livros didáticos.

Saiba mais sobre raízes cúbicas

Para entender melhor esse conteúdo, confira abaixo algumas videoaulas sobre o assunto.

Raiz cúbica por fatoração

Caso você não tenha entendido como calcular a raiz cúbica de um número por fatoração, esse vídeo apresenta novamente a explicação para você se sair bem nos exercícios e nas provas!