Como saber a raiz quadrada de um numero não exato

A raiz quadrada aproximada é utilizada quando precisamos calcular a raiz quadrada de um número que não possui raiz exata. Quando isso ocorre, é necessário utilizar uma aproximação, porque a raiz quadrada nesse caso forma uma dízima não periódica. Para descobrir uma aproximação da raiz quadrada, primeiramente encontramos entre quais números naturais a raiz quadrada se situa. Posteriormente, podemos analisar o valor da casa decimal, encontrando o valor que mais se aproxima da raiz quadrada desejada.

Leia também: Raiz cúbica — o caso de radiciação em que o 3 é o índice do radical

Videoaula sobre raiz quadrada aproximada

Raiz quadrada aproximada x Raiz quadrada exata

Existem dois casos possíveis para a raiz quadrada de um número natural: o resultado pode ser uma raiz quadrada exata ou não. Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Veja alguns deles a seguir:

• \( \sqrt0=0\)

• \( \sqrt1=1\)

• \( \sqrt4=2\)

• \( \sqrt9=3\)

• \( \sqrt{16}=4\)

• \( \sqrt{25}=5\)

• \( \sqrt{36}=6\)

• \( \sqrt{49}=7\)

• \( \sqrt{64}=8\)

• \( \sqrt{81}=9\)

• \( \sqrt{100}=10\)

• \( \sqrt{121}=11\)

• \( \sqrt{144}=12\)

• \( \sqrt{169}=13\)

• \( \sqrt{196}=14\)

• \(\sqrt{225}=15\)

Quando o número natural não é um quadrado perfeito, a raiz quadrada desse número é uma dízima não periódica, como a raiz de 3 a seguir:

\(\sqrt3=1.73205080756887729362772\ldots\)

Quando a raiz quadrada não é um número exato, é possível encontrar uma aproximação para o valor da raiz.

Quando a raiz quadrada não é exata, podemos calcular a raiz quadrada aproximada. Para isso, é necessário, inicialmente, encontrar entre quais quadrados perfeitos esse número se situa. Posteriormente, encontramos o intervalo em que a raiz quadrada desse número está. Por fim, determinamos a casa decimal por tentativa.

Calcularemos o valor da \(\sqrt{20}\), por aproximação.

Resolução:

De início, encontraremos entre quais quadrados perfeitos o número 20 está:

16 < 20 < 25

Posteriormente, encontraremos entre quais valores está a raiz quadrada de 20:

\(\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\)

\(4<\sqrt{20}<5\)

Sabemos que \(\sqrt{20} \) está entre 4 e 5, logo a parte inteira é 4, que é o menor dentre os valores.

Encontraremos a primeira casa decimal calculando o quadrado dos valores que estão entre 4,1 e 4,9 e descobrindo entre quais desses números a \(\sqrt{20}\) está. Para isso, calcularemos o quadrado de cada um deles até encontrar um número maior que 20:

4,1² = 16,81 4,2² = 17,64 4,3² = 18,49 4,4² = 19,36

4,5² = 20,25

Note que \(\sqrt{20}\) está entre 4,4 e 4,5.

Caso o objetivo seja encontrar uma aproximação com uma casa decimal, dizemos que:

\(\sqrt{20}=4,4\) por falta

\(\sqrt{20}=4,5 \) por excesso.

Podemos também encontrar a próxima casa decimal, agora que encontramos um novo intervalo para \(\sqrt{20}\):

\(4,4<\sqrt{20}<4,5\)

Testando os valores com duas casas decimais, temos que:

4,41² = 19,4481 4,42² = 19,5364 4,43² = 19,6249 4,44² = 19,7136 4,45² = 19,8025 4,46² = 19,8916 4,47² = 19,9809

4,48² = 20,0704

Agora, reduzimos mais ainda o intervalo, pois sabemos que a \(\sqrt{20}\) está entre 4,47 e 4,48.

\(\sqrt{20}\) = 4,47 por falta.

\(\sqrt{20}\) = 4,48 por excesso.

Podemos repetir esse procedimento para quantas casas decimais quisermos.

Calcule \(\sqrt2\).

Resolução:

1 < 2 < 4

Temos que:

\(\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4\)

\(1<\sqrt2<2\)

Sabemos que \(\sqrt2\) é um número entre 1,1 e 1,9:

1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96

1,5² = 2,25

Portanto, \(\sqrt2\) está entre 1,4 e 1,5.

\(\sqrt2\) = 1,4 por falta.

\(\sqrt2\) = 1,5 por excesso.

Calculando a segunda casa decimal:

1,41² = 1,9881
1,42² = 2,0164

\(\sqrt2\) = 1,41 por falta.

\(\sqrt2\) = 1,42 por excesso.

Saiba também: O que é uma função raiz?

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada

Questão 1

Calculando o valor aproximado de \(\sqrt{60}\) com duas casas decimais por falta, encontramos:

A) 7,71

B) 7,72

C) 7,73

D) 7,74

E) 7,75

Resolução:

Alternativa D

O número 60 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64:

\(49<60<64\)

\(\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}\)

\(7<\sqrt{60}<8\)

Testando os números entre 7,1 e 7,9:

7,1² = 50,41 7,2² = 51,84 7,3² = 53,29 7,4² = 54,76 7,5² = 56,25 7,6² = 57,76 7,7² = 59,29

7,8² = 60,84

Então, temos que \(7,7<\sqrt{60}<7,8:\):

7,71² = 59,4441 7,72² = 59,5984 7,73² = 59,7529 7,74² = 59,9076

7,75² = 60,0625

A aproximação por falta é, portanto, 7,74.

Questão 2

O número 3,87 é a aproximação por falta de:

A) \(\sqrt{14}\)

B) \(\sqrt{15}\)

C) \(\sqrt{15}\)

D) \(\sqrt{17}\)

Resolução:

Alternativa B

Calculando o quadrado de 3,87:

3,87² = 14,9769

O número decimal 3,87 é a melhor aproximação por falta para \(\sqrt{15}\).

A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.

Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas

Resumo sobre raiz quadrada

• A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.

• Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.

• Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.

• A raiz quadrada de um número a é representada por √a.

• Pode ser exata ou não exata.

Videoaula sobre raiz quadrada

A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.

Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.

O que é raiz quadrada?

A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.

Exemplos:

√4 = 2, pois 2² = 4

√9 = 3, pois 3² = 9

√16 = 4, pois 4² = 16

√25 = 5, pois 5² = 25

Como calcular a raiz quadrada?

Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.

Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.

Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice

A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.

Exemplo:

Calcule o valor da √324.

Resolução:

Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:

Dessa forma, calcula-se:

√0 = 0

√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 = 9

√100 = 10

Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.

Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.

Exemplo:

Calcule o valor da √60.

Resolução:

Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.

√49 < √60 < √64

Calculando as raízes de 49 e 64:

7 < √60 < 8

Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.

7,9² = 62,41

7,8² = 60,84

7,7² = 59,29

Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.

Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada

Questão 1

(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.

A) 35

B) 24

C) 25

D) 17

E) 49

Resolução:

Alternativa C

Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:

Dessa forma, temos:

√625 = √54

√625 = 5²

√625 = 25

Questão 2

Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:

I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.

II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.

III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.

As afirmativas são, respectivamente:

A) V, V e V.

B) F, F e F.

C) F, F e V.

D) F, V e F.

E) V, F e V.

Resolução:

Alternativa D

I → Falsa

A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.

II → Verdadeira

Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.

III → Falsa

3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.