Como racionar raiz quadrada

Determinar a raiz quadrada consiste em calcular o número que, elevado ao quadrado, gera o valor desejado. Por exemplo, a raiz quadrada do número 25 corresponde ao número 5, pois 5² é igual a 25.

Como se faz racionalização de raiz?

Racionalização de Denominadores com uma Raiz Quadrada

1. Para racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas, devemos multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador. ...
2. Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.

Como mudar o índice de uma raiz?

Quando o radical possui índice igual ao expoente do radicando, o resultado dessa raiz será igual à base do radicando: Primeira propriedade. Essa propriedade é aplicável sempre que o índice for um número natural e o radicando não negativo. Além disso, se o radicando for negativo e o índice ímpar.

Como é que é a raiz quadrada?

Somente os números considerados quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata, como por exemplo, o número 64 possui raiz quadrada igual a 8, pois 8² = 64. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito.

Como fazer racionalização de denominadores exemplos?

Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número — nesse caso, será exatamente o denominador da fração, ou seja, √3. Na multiplicação de frações, multiplicamos reto. Sabemos que 1 · √3 = √3. Já no denominador, temos que √3 ·√3 = √9 = 3.

Como racionalizar raiz de 3?

Para racionalizar uma fração, multiplique numerador e denominador pelo radical presente no denominador. Observe o exemplo: Repare no exemplo acima que a fração com radical no denominador foi simplificada e o resultado é apenas raiz de 3.

Como é possível multiplicar raízes quadradas?

• É possível multiplicar raízes quadradas (um tipo de expressão com radical) da mesma forma que os números inteiros. Às vezes, as raízes quadradas possuem coeficientes (um número inteiro em frente ao sinal de radical), mas isso somente adiciona um passo à multiplicação, sem alterar o processo.

Como multiplicar uma raiz de uma só vez?

• Para multiplicar uma raiz quadrada por outra, você só precisa multiplicar suas expressões radicais e escrever o resultado sob o radical geral: Não há restrições adicionais sobre os números à direita ou à esquerda: se as raízes dos fatores existirem, o produto também existe. Exemplos Vamos considerar quatro exemplos com números de uma só vez:

Como calcular a raiz de um número?

• Calculando a Raiz Quadrada de um Número. Determinar a raiz quadrada consiste em calcular o número que, elevado ao quadrado, gera o valor desejado. Por exemplo, a raiz quadrada do número 25 corresponde ao número 5, pois 5² é igual a 25.

Qual é o cálculo da raiz quadrada?

• Cálculo da Raiz Quadrada. A raiz quadrada (√) de um número é determinada por um número real positivo elevado ao quadrado (x 2). Já na raiz cúbica, o número é elevado ao cubo (y 3). Além disso, se a raiz for elevada a quarta potência (z 4) é chamada de raiz quarta, e se for elevada a quinta potência (t 5) é raiz quinta.

A racionalização de denominadores é um procedimento cujo objetivo é transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.

Utilizamos essa técnica pois o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor com muito pouca precisão.

Quando multiplicamos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obtemos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam um mesmo valor.

Sendo assim, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. O número escolhido para isso é chamado de conjugado.

Conjugado de um número

O conjugado do número irracional é aquele que ao ser multiplicado pelo irracional dará como resultado um número racional, ou seja, um número sem a raiz.

Quando for raiz quadrada, o conjugado será igual a própria raiz, pois a multiplicação do número por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Desta forma, pode-se eliminar a raiz.

Exemplo 1

Encontre o conjugado da raiz quadrada de 2.

Solução

O conjugado da é a própria , pois

Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz, só que será necessário encontrar o expoente que, somado ao expoente do número inicial, dê como resultado um valor igual ao índice da raiz.

Exemplo 2

Qual o conjugado da raiz cúbica de 2?

Solução

Para encontrar o conjugado de , não é possível simplesmente multiplicarmos pela raiz cúbica de 2, pois o resultado será raiz cúbica de 4 e não dará para eliminar a raiz.

Note que o expoente do 2 é 1, assim, se somarmos o 2, teremos o novo expoente igual a 3, que é igual ao índice da raiz. Dessa forma, temos:

Portanto, o conjugado da raiz cúbica de 2 é a raiz cúbica de 4 (22 = 4).

Algumas vezes, pode aparecer no denominador uma soma ou subtração de raízes quadradas. Neste caso, o conjugado será igual às raízes com a operação inversa.

Exemplo 3

Qual o conjugado de ?

Solução

O conjugado será igual a , pois ao multiplicar esses números temos como resultado um número racional, ou seja:

Para saber mais, veja também:

• Radiciação
• Potenciação
• Potenciação e radiciação - resumo

Racionalizando um fração

Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:

• Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador.
• Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração.
• Simplificar a fração equivalente encontrada.

Exemplos

Exemplo 1

A área do triângulo representado abaixo é igual a 15 cm2. Considerando que sua base é igual a , encontre o valor da sua altura.

Solução

A área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e dividindo por 2, assim, temos:

Como o valor encontrado para a altura tem uma raiz no denominador, vamos racionalizar essa fração. Para isso, devemos encontrar o conjugado da raiz. Como a raiz é quadrada, o conjugado será a própria raiz.

Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por esse valor:

Para finalizar, podemos simplificar a fração dividindo em cima e embaixo por 5. Note que não podemos simplificar o 5 do radical. Assim:

Exemplo 2

Racionalize a fração

Solução

Vamos começar encontrando o conjugado da raiz cúbica de 4. Já sabemos que esse número deve ser tal que ao ser multiplicado pela raiz, dará como resultado um número racional.

Então, temos que pensar que se conseguirmos escrever o radicando como uma potência de expoente igual a 3, podemos eliminar a raiz.

O número 4 pode ser escrito como 22, então, se multiplicarmos por 2, o expoente passará para 3. Assim, se multiplicarmos a raiz cúbica de 4 pela raiz cúbica de 2, teremos como resultado um número racional.

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por essa raiz, temos:

Exercícios Resolvidos

1) IFCE - 2017

Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos

a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48.

e) 0,25.

2) EPCAR - 2015

O valor da soma

é um número

a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro.

d) irracional.

Veja a resolução comentada destas e de outras questões em Exercícios de Radiciação e Exercícios de Potenciação.

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

A racionalização de denominadores é um procedimento cujo objetivo é transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.

Utilizamos essa técnica pois o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor com muito pouca precisão.

Quando multiplicamos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obtemos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam um mesmo valor.

Sendo assim, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. O número escolhido para isso é chamado de conjugado.

Conjugado de um número

O conjugado do número irracional é aquele que ao ser multiplicado pelo irracional dará como resultado um número racional, ou seja, um número sem a raiz.

Quando for raiz quadrada, o conjugado será igual a própria raiz, pois a multiplicação do número por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Desta forma, pode-se eliminar a raiz.

Exemplo 1

Encontre o conjugado da raiz quadrada de 2.

Solução

O conjugado da

Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz, só que será necessário encontrar o expoente que, somado ao expoente do número inicial, dê como resultado um valor igual ao índice da raiz.

Exemplo 2

Qual o conjugado da raiz cúbica de 2?

Solução

Para encontrar o conjugado de , não é possível simplesmente multiplicarmos pela raiz cúbica de 2, pois o resultado será raiz cúbica de 4 e não dará para eliminar a raiz.

Note que o expoente do 2 é 1, assim, se somarmos o 2, teremos o novo expoente igual a 3, que é igual ao índice da raiz. Dessa forma, temos:

Portanto, o conjugado da raiz cúbica de 2 é a raiz cúbica de 4 (22 = 4).

Algumas vezes, pode aparecer no denominador uma soma ou subtração de raízes quadradas. Neste caso, o conjugado será igual às raízes com a operação inversa.

Exemplo 3

Qual o conjugado de ?

Solução

O conjugado será igual a , pois ao multiplicar esses números temos como resultado um número racional, ou seja:

Para saber mais, veja também:

• Radiciação
• Potenciação
• Potenciação e radiciação - resumo

Racionalizando um fração

Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:

• Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador.
• Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração.
• Simplificar a fração equivalente encontrada.

Exemplos

Exemplo 1

A área do triângulo representado abaixo é igual a 15 cm2. Considerando que sua base é igual a , encontre o valor da sua altura.

Solução

A área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e dividindo por 2, assim, temos:

Como o valor encontrado para a altura tem uma raiz no denominador, vamos racionalizar essa fração. Para isso, devemos encontrar o conjugado da raiz. Como a raiz é quadrada, o conjugado será a própria raiz.

Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por esse valor:

Para finalizar, podemos simplificar a fração dividindo em cima e embaixo por 5. Note que não podemos simplificar o 5 do radical. Assim:

Exemplo 2

Racionalize a fração

Solução

Vamos começar encontrando o conjugado da raiz cúbica de 4. Já sabemos que esse número deve ser tal que ao ser multiplicado pela raiz, dará como resultado um número racional.

Então, temos que pensar que se conseguirmos escrever o radicando como uma potência de expoente igual a 3, podemos eliminar a raiz.

O número 4 pode ser escrito como 22, então, se multiplicarmos por 2, o expoente passará para 3. Assim, se multiplicarmos a raiz cúbica de 4 pela raiz cúbica de 2, teremos como resultado um número racional.

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por essa raiz, temos:

Exercícios Resolvidos

1) IFCE - 2017

Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos

a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48.

e) 0,25.

2) EPCAR - 2015

O valor da soma

é um número

a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro.

d) irracional.

Veja a resolução comentada destas e de outras questões em Exercícios de Radiciação e Exercícios de Potenciação.