Como podemos comparar dois numeros inteiros

A reta numérica também pode nos auxiliar a comparar dois ou mais números inteiros.

Veja, por exemplo, como comparar os números -5 e 2.

Fig. 2 (p. 13)

Tamires Azevedo

← sentido negativo ------ -5 ---------------0-------2----------- sentido positivo →

Ao observar os números representados na reta numérica, percebemos que o número 2 está à direita do número -5, portanto:

• -5 é menor que 2, isto é, -5 < 2 (lê-se: menos cinco é menor que dois).

De modo geral, para comparar dois números inteiros, basta observar qual deles está representado mais à direita na reta numérica: esse será o maior. Assim, podemos afirmar que:

Ao comparar dois números negativos, o maior deles será o que estiver mais próximo ou mais distante da origem? Por quê?

Resposta esperada: Mais próximo da origem, porque assim ele estará representado à direita do outro número. Retome o extrato bancário da página anterior e peça aos alunos que registrem os valores em uma reta numérica. Oriente-os caso tenham dificuldade em localizar esses números na reta.

Page 2

Assistência de produção Paulo Ricardo M. Krzyzanowski

Leitura técnica Diego B. Prestes

Projeto gráfico Marcela Pialarissi, Dayane Ferreira

Capa Marcela Pialarissi, Rafael Vianna Leal

Imagem de capa Relógio de parede “Ball”, George Nelson, 1947.

Edição de ilustrações Eduardo dos Santos, Ingridhi F. B.

Cartografia E. Bellusci, Paula Radi, Renan Fonseca

Iconografia Soraya Pires

Tratamento de imagens José Vitor E. Costa

Diagramação Carlos Ferreira, Leandro Pimenta

Preparação de texto Viviane Mendes

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Os números positivos e os números negativos podem ser representados em uma reta numérica.

Para construir uma reta numérica com números positivos e números negativos, representamos uma reta e destacamos uma origem, que corresponderá ao número zero. Em seguida, determinamos o sentido negativo e positivo a partir da origem.

Fig. 2 (p. 12)

← sentido negativo ------------------0--------------------- sentido positivo →

Depois, escolhemos uma unidade de medida qualquer, que pode ser 1 cm, por exemplo, e realizamos marcações na reta utilizando sempre essa unidade.

Fig. 3 (p. 12)

Ilustrações: Tamires Azevedo

← sentido negativo ---------------------0------------------ sentido positivo →
Página 13

Por fim, registramos em cada marcação da reta um número positivo ou negativo, tomando como referência a origem.

Fig. 1 (p. 13)

Tamires Azevedo

← sentido negativo -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6--- sentido positivo →

Observando a reta numérica podemos perceber, por exemplo, que 5 é o sucessor de 4, pois 4 + 1 = 5. Por outro lado, o antecessor de 4 é 3, pois 4 - 1 = 3. Outra maneira de analisar é verificando que 5 está imediatamente depois do número 4. Logo, 5 é o sucessor de 4. Do mesmo modo, 3 está imediatamente antes do número 4. Logo, 3 é o antecessor do número 4.

Page 4

15. Observe no gráfico a seguir a temperatura mínima registrada durante uma semana em Bom Jardim da Serra.

Fig. 1 (p. 18)

Temperatura mínima registrada em Bom Jardim da Serra (SC) de 21/07/2013 a 25/07/2013

Fonte de pesquisa: Inmet. Disponível em: . Acesso em: 16 mar. 2015.

ID/BR

Temperatura (°C)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Dia

21 jul.: 5

22 jul.: -2

23 jul.: -8

24 jul.: -7

25 jul.: -1

a) Em quais dias a temperatura esteve abaixo de zero?

Nos dias 22, 23, 24 e 25 de julho.

b) Dos dias apresentados, em qual deles a temperatura mínima foi a mais baixa?

23 de julho.

c) Em qual dia a temperatura mínima esteve mais próxima de zero? Qual foi essa temperatura?

25 de julho; - 1 °C

16. A fim de prolongar a validade do leite e garantir um produto isento de microrganismos que podem causar doenças ao ser humano, foi criado um processo chamado pasteurização, que consiste em um tratamento térmico do leite. Existem três tipos de pasteurização: a lenta, a rápida e a muito rápida. A lenta é usada para pequenas quantidades de leite, como a pasteurização do leite de cabra, que consiste em elevar a temperatura do leite até 65 °C por 30 minutos e em seguida resfriá-lo a 5 °C. A pasteurização rápida é mais utilizada para leite de vaca do tipo A, B e C embalado em saco plástico. Nesse caso a temperatura do leite é elevada a 75 °C durante 15 a 20 segundos e depois ele é resfriado a 4 °C.

Já na pasteurização muito rápida, também conhecida como UHT (Ultra High Temperature), a temperatura do leite é elevada de 130 °C a 150 °C durante 3 a 5 segundos, depois o leite é resfriado até 22 °C e embalado assepticamente em embalagem (caixinha) que protege contra a luz e o gás oxigênio.

Fig. 2 (p. 18)

Após a pasteurização, o prazo de validade do leite que sofreu o processo de pasteurização rápida é três dias, enquanto no processo muito rápido é quatro meses.

Fernando Favoretto/Criar Imagem

Leite

150 °C; 4 °C

b) Em qual dos processos apresentados ocorre a maior diferença de temperatura durante o processo de pasteurização? De quantos graus Celsius é essa diferença?

Processo UHT. De 108 °C a 128 °C.

c) Quantos dias de diferença têm os prazos de validade do leite que sofre o processo de pasteurização muito rápida em relação ao leite que sofre o processo de pasteurização rápida?

Cerca de 117 dias.

d) Em sua opinião, é importante pasteurizar o leite? Justifique.

Resposta pessoal.

17. (Saresp) Leia a notícia abaixo.

Uma onda de frio já causou 46 mortes nos últimos dias nos países da Europa Central. No centro da Romênia, a temperatura chegou a -32 °C na noite passada. No noroeste da Bulgária, a temperatura era de -22 °C e as ruas ficaram cobertas por uma camada de 10 cm de gelo. Foram registradas as marcas de -30 °C na República Tcheca e de - 23 °C na Eslováquia.

Segundo a notícia, o país em que a temperatura estava mais alta é:

Page 5

unidade 1

capítulo 2 - Operações com números inteiros

Fig. 1 (p. 22)

Nesta fotografia podemos observar a torre 2 do Elevador Lacerda, em Salvador (BA), em 2013. Devido à sua importância histórica, é reconhecido pelo Instituto do Patrimônio Histórico e Artístico Nacional (IPHAN). Ele recebeu esse nome em homenagem a seu idealizador Antônio Francisco de Lacerda.

Antonino Bartuccio/Terra/Corbis/Latinstock
Página 23

Painel do elevador

O painel do elevador do prédio, representado ao lado, tem um botão com um número negativo. Em sua opinião, o que representa esse botão? Esse elevador permite o acesso a quantos andares do prédio?

Fig. 1 (p. 23)

Ilustranet

3

2

1

0

-1

Resposta esperada: Representa um andar no subsolo ou um andar abaixo do andar térreo. De acordo com o painel, o elevador permite o acesso a cinco andares.

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Representação da tartaruga e do quadrado mágico de Lo-Shu.

Ilustrações: Ronaldo Lucena

a) No quadrado mágico de Lo-Shu, cada bolinha representa uma unidade. Reescreva esse quadrado mágico no caderno, substituindo os desenhos das bolinhas por números. Em seguida, determine a constante mágica desse quadrado.

b) Efetue os cálculos e verifique se o quadrado a seguir é mágico. Caso seja mágico, determine a constante mágica.

10. A balança comercial representa as importações e exportações de bens e serviços entre países. Para saber qual é o saldo da balança comercial, temos que efetuar o seguinte cálculo:

Saldo da Balança Comercial = Valor recolhido com exportações - Valor gasto com importações

Se o saldo for positivo, temos o chamado superávit, demonstrando que o país exporta (vende) mais do que importa (compra). Porém, se o saldo da balança comercial for negativo, temos um déficit, demonstrando que o país importa mais do que exporta. Veja na tabela a seguir algumas informações acerca da balança comercial de janeiro a outubro de 2014.

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b) (-20) : (-10) _= 16 : 8

c) (-28) : (-7) _> - 14 : 2

d) 56 : (-8) _> 121 : (-11)

24. As marcações indicadas em cada reta numérica a seguir têm as mesmas distâncias.

Determine os números que as letras representam em cada uma delas.

a)

Fig. 1 (p. 34)

-35

B

C

D

E

13

b)

Fig. 2 (p. 34)

-325

G

-121

H

F: -257; G: -189; H: -53

c)

Fig. 3 (p. 34)

I

-276

J

K

L

M

-31

d)

Fig. 4 (p. 34)

Ilustrações: Tamires Azevedo

N

-571

P

-25

Q

N: -753; O: -389; P: -207; Q: 157

25. Calcule as potências a seguir.

a) (-9)2

81

b) 110

1

c) - 53

-125

36

e) (-1 ⋅ 7)3

-343

f) (-1 ⋅ 4)4

256

a) (-18)2

324

-5832

-16807

10000

-59049

-128

a) (-6) elevado ao cubo

(-6)3 = -216

b) base (-14) e expoente 2

(-14)2 = 196

c) expoente 0 e base (-19)

(-19)0 = 1

d) (-8) ao quadrado

(-8) 2 = 64

28. Verifique, em cada item, se o resultado da potência é negativo ou positivo.

a) (-5)4

Positivo.

b) -186

Negativo.

c) -187

Negativo.

d) (-9)3

Negativo.

e) -(-11)2

Negativo.

f) -(-6)7

Positivo.

29. Para resolver uma expressão numérica que contenha operações de potenciação, adição, subtração, multiplicação e divisão, efetuamos primeiro a potenciação. Em seguida, resolvemos a multiplicação e a divisão, na ordem em que elas aparecem, e depois a adição e a subtração, também na ordem em que aparecem. Observe um exemplo:

Se julgar necessário, reforce aos alunos que, em uma expressão numérica em que aparecem parênteses, as operações que estão dentro deles devem ser efetuadas primeiro.

Fig. 5 (p. 34)

(8 2 - 4) ⋅ 6 + (-4) 2

(64 - 4) ⋅ 6 + 16

60 ⋅ 6 + 16

360 + 16

376

a) 15 : (-5) + 24 ⋅ ( 33 - 13 ⋅ 2)

21

b) (1 + 72) : (-5)2 - (86 + 7)

-91

c) (12 : 2) - (4 ⋅ 5) + 102

86

d) 8 ⋅ [56 : (7 + 260) ]

56

30. Copie as sentenças no caderno e depois insira parênteses ou colchetes nos locais adequados a fim de torná-las verdadeiras.

a) 75 : 5 - 30 = -3

75 : (5 - 30) = -3

b) (-4)2 - 8 ⋅ 2 = 16

[ (-4)2 -8] ⋅ 2 = 16

c) 12 : 4 - 3 + 5 ⋅ 3 = - 21

12 : 4 - (3 + 5) ⋅ 3 = - 21

d) 36 - 24 - 18 ⋅ 3 2 + 6 = 168

36 - (24 - 18 ⋅ 3 2 + 6) = 168

31. De acordo com o padrão apresentado, escreva os quatro números que completam cada sequência.

a)

Fig. 6 (p. 34)

: 3 ⋅ ( -6) : 3 ⋅ ( -6) : 3 ⋅ ( -6) : 3 ⋅ ( -6)

-6 -2 +12 +4 - 24

-8 48 16 -96

b)

Fig. 7 (p. 34)

⋅ 4 : ( -2) ⋅ 4 : ( -2) ⋅ 4 : ( -2) ⋅ 4 : ( -2)

6 24 -12 -48 2 4

96 -48 -192 96

Conectando ideias

32. Na Rússia, mais especificamente na cidade de Mirny, existe uma mina que já foi considerada a maior jazida de diamantes do mundo.

Fig. 1 (p. 35)

ASK Images/Dnepwu Alamy/Latinstock

Mina de Mirny, em 2011.

Construída a céu aberto, essa mina teve sua exploração iniciada em 1957, e atualmente possui profundidade de cerca de 530 m abaixo do nível do mar. Sabendo que outra mina tem a metade da profundidade da mina de Mirny, qual é a profundidade, em metros, dessa mina? Dê sua resposta utilizando um número inteiro.

-265 m

Fig. 2 (p. 35)

Ronaldo Lucena

nível do mar

-530 m

-530 m

Fig. 3 (p. 35)

A temperatura hoje deve estar em torno de -3 °C.

Segundo o site da previsão do tempo, para ficar -3 °C a temperatura precisa cair pela metade e ainda diminuir 5 °C.

De acordo com a tira, qual era realmente a temperatura naquele momento?

4 °C

34. Em toda a extensão do litoral brasileiro há vários navios naufragados. No gráfico estão representados alguns deles com a medida máxima de profundidade de cada um em relação ao nível do mar.

Fig. 4 (p. 35)

Page 8

Verificando rota

Capítulo 1 • Números positivos e negativos

1. Para indicar um número negativo, geralmente utilizamos qual notação?

Sinal de menos.

2. Você considera importante o surgimento dos números negativos? Justifique.

Resposta pessoal.

3. Cite algumas situações do seu dia a dia em que são utilizados números negativos.

Resposta pessoal.

4. Você concorda com a afirmação de Luíza? Por quê?

Fig. 1 (p. 40)

leungchopan/Shutterstock.com/ID/BR

Para obtermos os números inteiros, basta reunirmos os números inteiros positivos com os inteiros negativos.

Resposta esperada: Não, porque os números inteiros incluem o zero, que não é positivo nem negativo.

5. Escreva no caderno, com suas palavras, como podemos comparar dois números inteiros na reta numérica.

Resposta esperada: Entre dois números inteiros na reta numérica, o maior é aquele que está mais à direita na reta numérica.

6. É possível que o resultado do módulo de um número inteiro seja negativo? Justifique.

Não, pois o módulo de um número é sempre positivo se ele for diferente de zero. Caso o número seja zero, o módulo é igual a zero.

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*Esse item possui várias respostas. Algumas delas são: ,123,123123123..., .

Note que em todos eles o denominador da fração é igual a 9, e o número que se repete na representação decimal é igual ao numerador da fração, que possui apenas um algarismo.

A forma fracionária de uma dízima periódica é chamada fração geratriz.

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Porcentagem (%) 0 5 10 15 20 25

Região metropolitana

Belém 9

Fortaleza 11

Rio de Janeiro 22

São Paulo 22

Porto Alegre 6

a) Em quais regiões metropolitanas a porcentagem de trabalhadores que gastam mais de uma hora no translado para o trabalho é igual?

Nas regiões metropolitanas do Rio de Janeiro e de São Paulo.

b) Podemos afirmar que a quantidade de trabalhadores das regiões metropolitanas citadas no item anterior é igual?

Não, pois apesar de as porcentagens serem iguais, estas dependem da quantidade total de trabalhadores.

c) Escreva as porcentagens apresentadas no gráfico em forma de fração decimal e de números decimais.

d) Pergunte às pessoas que moram com você e que trabalham fora quanto tempo elas demoram para chegar ao trabalho.

Resposta pessoal.

Page 11

Fonte de pesquisa: BM&FBovespa. Disponível em: . Acesso em: 31 out. 2014.

ID/BR

Dia

27

28

29

30

Porcentagem (%)

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2,77

3,62

-2,45

a) Qual é a diferença entre os índices negativos?

0,32%

1,1%

Fig. 3 (p. 57)

Ilustrações: Tamires Azevedo

ao sair de casa 0

ao chegar ao destino 0

A fração indica tanque de combustível cheio e o número 0 indica tanque de combustível vazio.

Que fração corresponde à quantidade de combustível utilizada no trajeto da casa ao destino?

Page 12

a)

b) (-1,1)3

- 1,331

d) (-0,4)4

0,0256

Página 62

unidade 2

capítulo 4 - Potências, notação científica e raízes

Fig. 1 (p. 62)

LorenzoArcobasso/Shutterstock.com/ID/BR

Na fotografia podemos observar o brócolis romanesco, um vegetal que chama a atenção pelo seu belo formato e por apresentar características dos fractais, objeto de estudo da geometria. Geralmente o brócolis romanesco é citado pelos pesquisadores por possuir a característica da autossimilaridade.

Brócolis romanesco: até aproximadamente 76 cm de altura.

Page 13

Potência de potência

Potência de potência refere-se a uma potência elevada a um expoente. Como nos outros casos, podemos reduzi-la a uma única potência. Observe os exemplos.

(6 3)3 = 63 ⋅ 63 ⋅ 63 = 63+3+3 = 69

[(-2)4]2 = (-2)4 ⋅ (-2)4 = (-2)4+4 = (-2)8

Observando os exemplos, podemos perceber que repetindo a base e multiplicando os expoentes, obtemos o mesmo resultado.

(63)3 = 63 ⋅ 3 = 69

[(-2)4 ]2 = (-2)4 ⋅ 2 = (-2)8

Ao efetuar potência de potência, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(an)m = an ⋅ m, com a ≠ 0 se n ≤ 0 ou m ≤ 0

Multiplicação de potências de mesmo expoente

Podemos representar, por meio de uma única potência, a multiplicação de potências de mesmo expoente. Veja os exemplos.

Se necessário, diga aos alunos que utilizamos a propriedade comutativa da multiplicação para afirmar que 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 4. O mesmo serve para o segundo exemplo.

(-3)2 ⋅ 52 = (-3) ⋅ (-3) ⋅ 5 ⋅ 5 = (-3) ⋅ 5 ⋅ (-3) ⋅ 5 = (-3 ⋅ 5) ⋅ (-3 ⋅ 5) = (-3 ⋅ 5)2 = (-15)2

De maneira resumida, representamos as divisões da seguinte forma:

Ao efetuar uma multiplicação de potências de mesmo expoente, multiplicamos os números da base e repetimos o expoente.

an ⋅ bn = (a ⋅ b)n, com ( a ⋅ b) ≠ 0 se n ≤ 0

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Potências com expoente negativo

No capítulo 2 estudamos o cálculo das potências cuja base é um número inteiro diferente de zero. Agora, vamos estudar um pouco mais a respeito das potências com expoente inteiro, mais especificamente com expoente inteiro negativo.

Observe os exemplos e as regularidades.

Exemplo 1

Fig. 1 (p. 64)

: 2

: 2

: 2

23 = 8

22 = 4

21 = 2

20 = 1

Exemplo 2

Fig. 2 (p. 64)

: (-3)

: (-3)

: (-3)

(-3) 0 = 1

Relembre os alunos de que : 2 = = . Da mesma forma, : ( - 3) =

Evidencie o fato de que elevando um número ao expoente 0, o resultado é 1 e quando o expoente é 1, o resultado é o próprio número da base.

No exemplo 1, perceba que conforme o expoente diminui uma unidade, dividimos as potências por 2. Do mesmo modo, no exemplo 2, quando diminuímos uma unidade do expoente, dividimos a potência por -3.

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b) 3,25 ⋅ 103 km

c) 3,25 ⋅ 104 km

d) 3,25 ⋅ 105 km

e) 3,25 ⋅ 106 km

Alternativa d.

Raízes

Vimos anteriormente que a raiz quadrada de um número positivo a é um número positivo que, elevado ao quadrado, resulta em a. Assim, dizemos, por exemplo, que:

Com o auxílio dos alunos, escreva na lousa outros exemplos de números quadrados perfeitos.

Um número cuja raiz quadrada é um número natural é chamado quadrado perfeito. O número 49 é quadrado perfeito.

Além da raiz quadrada, também podemos citar a raiz cúbica.

A raiz cúbica de um número a é um número que, elevado ao cubo, resulta em a. Para representar a raiz cúbica de 125, por exemplo, escrevemos , que lemos raiz cúbica de 125.

= 5, pois 53 = 125

Se julgar conveniente, diga aos alunos, neste momento, que existem outras raízes além da quadrada e da cúbica, como a raiz quarta e a raiz quinta, por exemplo. No entanto, essas raízes não serão estudadas neste volume.

Assim, a raiz cúbica de 125 é 5.

Veja outros exemplos:

• = 4, pois 43 = 64

•

• = -3, pois ( -3)3 = -27

Nos exemplos podemos notar que é possível definir a raiz cúbica de um número negativo.

Page 16

Vamos representar, por meio de uma única potência, a divisão de potências de mesmo expoente. Observe os exemplos.

= = = =

= = = =

De maneira resumida, representamos as multiplicações da seguinte forma:

= (10 : 2)3 = 53

Ao efetuar uma divisão de potências de mesmo expoente, dividimos os números da base e repetimos o expoente.

an : bn = (a : b)n, com b ≠ 0 e a ≠ 0 se n ≤ 0

Potências de base 10

Acompanhe os registros que Jerônimo fez no caderno ao desenvolver potências de base 10.

Fig. 1 (p. 67)

Tamires Azevedo

Nos registros de Jerônimo, podemos perceber que nas potências de base 10 cujo expoente é um número natural, a quantidade de zeros após o algarismo 1 é igual ao expoente.

Fig. 2 (p. 67)

expoente

quantidade de zeros

No caso das potências de base 10 com expoente inteiro negativo, a quantidade de algarismos à direita da vírgula é igual ao módulo do expoente.

Fig. 3 (p. 67)

o módulo de - 5 é 5

cinco algarismos à direita da vírgula

O módulo de -5 é igual a 5, ou seja, |-5| = 5.

Page 17

Nos exemplos acima vimos que

Lembre-se de que o inverso de 2 é .

Se julgar necessário, explique aos alunos que:

Esta propriedade será formalizada no tópico seguinte deste capítulo, ou seja, Propriedades das potências.

Um número diferente de zero elevado a um expoente inteiro negativo é igual ao inverso da base elevado ao oposto do expoente. Considerando a um número diferente de zero e n um número natural, temos:

Page 18

2; -2

Podemos calcular a raiz quadrada de um número por meio de tentativa. Observe, por exemplo, como calcular a raiz quadrada de 2 916, ou seja, .

Devemos determinar o número que, elevado ao quadrado, dê 2 916. Primeiramente vamos calcular os quadrados das dezenas de 10 a 90, a fim de encontrar o intervalo em que o número procurado está.

está entre 50 e 60, pois 502 = 2500 e 602 = 3600. Assim, vamos calcular o quadrado dos números naturais compreendidos entre 50 e 60.

• 512 = 2601

• 522 = 2704

• 532 = 2809

• 542 = 2916

Portanto, = 54, pois 542 = 2916.

É correto afirmar que está entre 20 e 30? Justifique.

Sim, pois 202 = 400 e 302 = 900.

Outra maneira de calcular é decompondo o número 2916 em fatores primos e, depois, simplificar o resultado da decomposição.

Fig. 1 (p. 72)

2916

729

81

27

9

3

1

2

2

3

3

3

3

Lembre-se que os números primos possuem apenas dois divisores diferentes: o número 1 e o próprio número.

Portanto, = 54, pois

Ainda utilizando a decomposição em fatores primos, vamos calcular

Fig. 2 (p. 72)

216

54

27

9

3

1

2

2

2

3

3

3

Portanto, = 6, pois = 216.

Agora, veja o cálculo de

Fig. 3 (p. 72)

Portanto, = 135, pois 1353 = 2 460 375.

2 460 375

820 125

273 375

30 375

3 375

375

25

5

1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

5

5

Página 73

Cálculo da raiz quadrada aproximada de um número natural

Nem sempre a raiz quadrada de um número natural é outro número natural. Se considerarmos a raiz quadrada do número 58, por exemplo, não obtemos um número natural, pois não há um número natural que elevado ao quadrado seja igual a 58. Dessa maneira, dizemos que o número 58 não é um número quadrado perfeito. Nesse caso, podemos calcular a raiz quadrada aproximada do número 58, ou seja, . Veja uma maneira de realizar esse cálculo.

Primeiramente verificamos entre quais números quadrados perfeitos o 58 está. Para isso, escrevemos os quadrados dos números de 1 a 10.

Em seguida, calculamos os quadrados dos números entre 7 e 8, com uma casa decimal.

Resultados menores que 58.

• (7,1)2 = 50,41

• (7,2)2 = 51,84

• (7,3)2 = 53,29

• (7,4)2 = 54,76

• (7,5)2 = 56,25

• (7,6)2 = 57,76

Resultados maiores que 58.

• (7,7)2 = 59,29

• (7,8)2 = 60,84

• (7,9)2 = 62,41

De acordo com o quadro acima, podemos observar que 7,6 < < 7,7. Como (7,6)2 está mais próximo de 58, temos que:

≃ 7,6

Lê-se: raiz quadrada de 58 é aproximadamente 7,6.

Agora, vamos calcular a raiz aproximada de 58 com duas casas decimais. Para isso, vamos calcular o quadrado de alguns números entre 7,6 e 7,7 com duas casas decimais.

Resultado menor que 58.

• (7,61)2 = 57,9121

Resultado maior que 58.

• (7,62)2 = 58,0644

Podemos observar que 7,61 < √58 < 7,62. Como (7,62)2 está mais próximo de 58, temos que:

≃ 7,62

De maneira semelhante, podemos fazer o cálculo aproximado de uma raiz quadrada para mais casas decimais.

Page 19

Em 2014, a estimativa da população do estado de Sergipe era de 2 219 574 pessoas.

Qual é a população da cidade onde você mora? Realize uma pesquisa no site do IBGE e escreva o número que representa a população da sua cidade utilizando potências de base 10.

Resposta pessoal.

Fig. 4 (p. 67)

Fonte de pesquisa: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012.

Paula Radi

Estado de Sergipe

OCEANO ATLÂNTICO

MARANHÃO

PIAUÍ

CEARÁ RIO GRANDE

DO NORTE

PARAÍBA

ALAGOAS

0 270 540 km

45° O 40° O

5° S

Página 68

Notação científica

Observe as imagens.

Fig. 1 (p. 68)

A distância média da Terra ao Sol é de aproximadamente 149 500 000 km.

Triff/Shutterstock.com/ID/BR

Fig. 2 (p. 68)

O diâmetro do vírus causador da poliomielite mede aproximadamente 0,000028 mm. A imagem é uma fotografia obtida por meio de ampliação microscópica de 42 000 vezes.

BSIP SA/Alamy/Latinstock

Para representar a distância média do planeta Terra ao Sol utilizamos um número muito grande, e para indicar o comprimento do diâmetro do vírus causador da poliomielite, um número bem pequeno. Nesses casos, quando se usa grande quantidade de algarismos para representar os números, pode-se utilizar a notação científica.

km

mm

A notação científica apresenta a característica de ser formada pelo produto de dois fatores. O primeiro fator é um número racional cujo módulo é maior ou igual a 1 e menor que 10. Já o segundo fator é uma potência de base 10.

Fig. 3 (p. 68)

número racional cujo módulo é maior ou igual a 1 e menor que 10

potência de base 10

Agora, veja mais exemplos de números escritos em notação científica.

Page 20

Propriedades das potências

Agora, vamos estudar as propriedades decorrentes das definições de potências estudadas neste capítulo e em capítulos anteriores.

Multiplicação de potências de mesma base

Observe como resolvemos as multiplicações de potências de mesma base, reduzindo a uma única potência.

42 ⋅ 43 = ⋅ = 45

(-10)3 ⋅ (-10) ⋅ (-10)2 =

Nestes exemplos perceba que podemos repetir a base e realizar a adição dos expoentes, obtendo os mesmos resultados.

42 ⋅ 43 = 42+3 = 45

(-10)3 ⋅ (-10) ⋅ (-10)2 = (-10)3 ⋅ (-10)1 ⋅ (-10)2 = (-10)3+1+2 = (-10)6

Ao efetuar uma multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e realizamos a adição dos expoentes.

an ⋅ am = an+m, com a ≠ 0 se n ≤ 0 ou m ≤ 0

Page 21

O Tapete de Sierpinski é o conjunto resultante da remoção do quadrado do centro, quando se divide um quadrado em nove quadrados congruentes. Em seguida, para cada quadrado obtido, repete-se o processo.

Fig. 2 (p. 63)

Ilustrações: ID/BR

passo 0

passo 1

passo 3

Neste capítulo você vai trabalhar com cálculo de potências, vai estudar as potências com expoente inteiro negativo, vai perceber algumas regularidades e propriedades, além de estudar notação científica e raízes quadrada e cúbica.

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• Página 69 ATIVIDADES
• Glossário Caractere

Possíveis respostas: ; ;

ATIVIDADES

Responda no caderno.

1. Escreva cada item a seguir na forma de potência com expoente positivo.

a) 2-3

=

b)

c) (-3)-4

d)

2. Utilizando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base, escreva os cálculos por meio de uma única potência. Depois, resolva as potências.

a)

b)

c)

d)

e)

2. e) (-5)(-7) + (-8) +13 = (-5)-2 =

f) 54 ⋅ 5-6 ⋅ 5-1

54+ (-6) + (-1) = 5-3 =

3. Escreva os cálculos a seguir na forma de uma única potência utilizando a propriedade da divisão de potências de mesma base. Depois, resolva as potências.

a)

b)

c)

d)

=

e)

f)

4. Utilizando a propriedade da potência de potência, resolva as potências a seguir.

a) ( 22)3

22 ⋅ 3 = 26 = 64

b) ( 105)2

10 5 ⋅ 2 = 1010 = 10 000 000 000

c) ( 3 2)2

32 ⋅ 2 = 34 = 81

d) [(-5)1]3

( -5)1 ⋅ 3 = (-5)3 = -125

e) [(-2)3]-3

( -2)3 ⋅ (-3) = (-2)- 9 =

5. Sabendo que em cada item as letras indicadas representam um número inteiro, determine o valor de cada uma delas.

a) 23 ⋅ 2A ⋅ 2-8 = 22

A = 7

B = 45

C = 3

D = -3

Veja a resposta desta atividade no Manual do Professor.

7. Copie as sentenças no caderno, substituindo cada _ pelo símbolo = (igual) ou ≠ (diferente) de modo que as sentenças sejam verdadeiras.

a) 43 ⋅ 143 _ (4 ⋅ 14)3

=

b) 284 ⋅ 284 _ (28 ⋅ 16) 8

≠

c) 9-10 ⋅ 11-10 _ (9 ⋅ 10) -10

≠

d) (15 : 5)8 _ 158 : 58

=

e) 21-4 : 3-4 _ (21 : 3)0

≠

8. No caderno, escreva os cálculos a seguir na forma de uma única potência utilizando a propriedade da multiplicação de potências de mesmo expoente. Depois, resolva as potências.

a) 23 ⋅ 33

8. a) (2 ⋅ 3)3 = 63 = 216

b) 52 ⋅ 32

b) (5 ⋅ 3)2 = 152 = 225

c) 43 ⋅ 23

c) (4 ⋅ 2)3 = 83 = 512

d) 73 ⋅ 13

d) (7 ⋅ 1)3 = 73 = 343

e) 91 ⋅ 81

e) (9 ⋅ 8)1 = 721 = 72

9. A sentença matemática (a + b)n = an + bn é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta por meio de um exemplo.

Falsa, pois supondo que a = 4, b = 3 e n = 2, temos que (a + b)n = (4 + 3)2 = 72 = 49 e an + bn = 42 + 32 = 16 + 9 = 25.

10. Resolva as expressões numéricas.

a) 42 + 23 ⋅ 71

72

b) 64 : 62 - 32

27

c) 103 - 82 ⋅ 2

872

11. (OBMEP) Qual é o valor da soma

v 920 + 920 + 920?

a) 920

b) 366

c) 923

d) 341

e) 323

Alternativa d.

Se necessário, auxilie os alunos na resolução desta atividade, mostrando que:

9 = 3 ⋅ 3 = 32

920 + 920 + 920 = 3 ⋅ 920

12. Resolva as potências.

a) 10-1

0,1

0,00001

0,01

-0,1

e)

1 000

10 000

-1 000

a) 112 635

b) 3 465 899

c) 74 663 007

d) 208 578 346

Veja a resposta desta atividade no gabarito.

14. Represente os números apresentados em cada item utilizando notação científica.

a) 800 000

8 ⋅ 105

b) 75 000

7,5 ⋅ 104

c) 0,000367

3,67 ⋅ 10-4

d) 6 617 000

6,617 ⋅ 106

Conectando ideias

15. A unidade básica para armazenar dados na memória de um computador é o bite.

• Uma sequência de 8 bites é chamada de baite e corresponde a um determinado caractere.

• Um quilobaite (KB) corresponde a 210 baites.

• Um megabaite (MB) corresponde a 210 quilobaites.

• Um gigabaite (GB) corresponde a 210 megabaites.

• Um terabaite (TB) corresponde a 210 gigabaites.

Determine a quantidade de caracteres que cada dispositivo indicado a seguir pode armazenar, de acordo com o tamanho de sua memória.

Glossário
Caractere: qualquer letra, algarismo, sinal, espaço, etc. que pode ser inserido em um computador por meio de um teclado ou outros dispositivos.

Diga aos alunos que as palavras bite, baite, quilobaite, megabaite, gigabaite e terabaite são aportuguesadas com base nas palavras de origem inglesa bit, byte, kilobyte, megabyte, gigabyte e terabyte, respectivamente.

Fig. 1 (p. 70)

Existem alguns dispositivos de memória que podem armazenar dados, e cada um deles é utilizado de acordo com a finalidade do arquivo armazenado. O pen drive, por exemplo, é utilizado geralmente para transportar arquivos de um computador para outro.

imanhakim/Shutterstock.com/ID/BR

a) CD de 700 MB

700 ⋅ 220 caracteres.

b) DVD de 4,7 GB

4,7 ⋅ 230 caracteres.

c) cartão de memória de 128 GB

128 ⋅ 230 caracteres.

d) pen drive de 512 GB

512 ⋅ 230 caracteres.

e) HD de 3 TB

3 ⋅ 240 caracteres.

16. Escreva os números que aparecem em cada item utilizando notação científica.

a) Lançada a quase 20000000000 m da Terra, a sonda Voyager 1 tornou-se o primeiro objeto construído pelo homem a entrar no chamado espaço interestelar.

b) As células bacterianas têm cerca de 0,0000003 cm por 0,0000008 cm até 0,00001 por 0,000025 cm.

c) Por meio de estudos, especialistas concluíram que o chamado núcleo externo da Terra é constituído de ferro derretido, atingindo temperaturas próximas a 5 500 °C.

Fig. 2 (p. 70)

Esquema artístico que mostra a estrutura interna da Terra.

Fotomontagem de Rafael Luís Gaion criada com a fotografia Alex Staroseltsev/Shutterstock.com/ID/BR

crosta

núcleo externo

núcleo interno

17. (Enem) A Agência Espacial Norte-Americana (Nasa) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.

*Explique aos alunos que esta imagem é uma representação artística da proximidade do asteroide em relação à Terra. As distâncias e as dimensões dos elementos não estão proporcionais entre si.

Fig. 3 (p. 70)

Fonte de pesquisa: Terra. Disponível em: (adaptado).

Rafael Luís Gaion

O asteroide se aproximará o suficiente para que os cientistas possam observar detalhes de sua superfície

Proximidade da Terra 325 mil km

Passagem: 8 de novembro às 21h 28min (horário de Brasília)

Asteroide YU 55

Tamanho: 400 m de diâmetro, equivalente ao tamanho de um porta-aviões

Asteroide YU 55

Terra

Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a:

Page 23

8-3 ⋅ 86 = 8-3+6 = 83

Divisão de potências de mesma base

Veja as divisões de potências de mesma base, diferente de zero, sendo reduzindas a uma única potência.

Fig. 1 (p. 65)

Fig. 2 (p. 65)

Ao efetuarmos estas divisões, note que repetimos a base e subtraímos os expoentes, obtendo os mesmos resultados.

75 : 73 = 75-3 = 72

(-5)3 : (-5) = (-5)3 : (-5)1 = (-5)3-1 = (-5)2

Ao efetuar uma divisão de potências de mesma base, diferente de zero, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

an : am = an-m, com a ≠ 0

Qual é o resultado de 97 : 97?

97 : 97 = 97-7 = 90 = 1

Aproveite a oportunidade para justificar o fato de que todo número não nulo elevado ao expoente zero tem como resultado o número 1. Isso ocorre porque qualquer número não nulo dividido por ele mesmo tem como resultado o número 1.

Page 24

3

b)

4

c)

9

d)

11

e)

5

f)

8

22. Utilizando uma calculadora científica, calcule as raízes a seguir aproximando o resultado, quando necessário, para duas casas decimais.

a)

24,9

10,07

c)

-8,43

28,1

2,67

-7,37

23. Murilo representou, em uma cartolina, um quadrado com 36 cm 2 de área e a recortou obtendo uma forma quadrada. Para montar um mosaico, Murilo percebeu que precisava, de formas quadradas com dessa área. Assim, ele dividiu a cartolina em forma quadrada como mostra a sequência de imagens.

Fig. 2 (p. 74)

Rafael Luís Gaion

1º

2º

3º

a) Qual é a medida dos lados do quadrado representado na cartolina no 1º passo?

6 cm

9 cm 2

c) Após Murilo dividir em quadrados e recortá-los, conforme o 3º passo, ele obteve formas com a área de que necessitava? Justifique.

23. c) Não, pois ele dividiu o lado do quadrado em quatro e obteve quadrados com 1/16

da área do original, uma vez que 6 : 4 = 1,5 e 1,5 2 = 2,25, ou seja, 2,25 cm 2.

d) Qual deverá ser a medida dos lados dos quadrados para que Murilo consiga formas com daquela obtida no 1º passo?

3 cm

Page 25

7,621

ATIVIDADES

Responda no caderno.

18. Determine a medida do lado de um quadrado cuja área é igual a:

a) 81 cm2

9 cm

5 cm

7 cm

11 cm

4 cm

8 cm

a)

3

b)

-30

c)

21

d)

-6

e)

15

f)

20. Observe os números do quadro e responda.

19

4

8

a) Qual dos números apresentados no quadro está compreendido entre 9,1 e 9,5?

b) Organize os números apresentados no quadro em ordem crescente.

4, , , 8, , , , e 19

21. Veja como Ilda fez para determinar mentalmente o número inteiro mais próximo de √11.

Fig. 1 (p. 74)

JBryson/iStock/Getty Images

O número 11 está entre os quadrados perfeitos 9 e 16. Como 9 está mais próximo de 11, temos que: √11. ≃ √9 = 3

O número inteiro mais próximo de

Page 26

Vamos relembrar

Responda no caderno.

24. Calcule o valor das potências.

a)

b)

81

c) (-4)-3

d) (0,9)-3

25. Copie as sentenças no caderno, substituindo cada _ pelo número que as torna verdadeiras.

a)

-7

b) 58 : 5_ = 52

6

c) = 9_

5

d)

-1

26. Utilizando as propriedades das potências, classifique as sentenças em verdadeiras ou falsas. Depois, copie as sentenças falsas no caderno, corrigindo-as.

a) 211 ⋅ 411 = 611

Falsa. Possível resposta: 211 ⋅ 411 = 811.

b) ( 264)7 = 2628

Verdadeira.

c) = 212 ⋅ 312

Verdadeira.

d) 1015 : ( 310)5 =

Falsa. Possível resposta: 1015 : (33)5 = .

27. Observe os cálculos a seguir.

(0,8)4 = = = ( 22)4 ⋅

De maneira semelhante, escreva (0,75)5 como o produto de uma potência de base 2 com uma potência de base 3.

2 -10 ⋅ 35

28. Escreva cada número como uma potência de 10.

a) 10000

104

b) 1000000

106

c) 1

100

d) 0,00001

10 -5

e) 0,01

10-2

f) 0,1

10 -1

29. Em quais itens é adequado expressar o número descrito em notação científica?

a) A idade, em anos, do planeta Terra.

b) O tamanho, em milímetros, de um átomo de oxigênio.

c) A altura, em metros, do edifício mais alto do mundo.

d) A quantidade de telhas de uma casa.

e) A massa, em quilogramas, do planeta Júpiter.

Resposta esperada: nos itens a, b, e.

30. Verifique se os números a seguir estão escritos em notação científica. Em caso negativo, escreva um número equivalente em notação científica.

a) 52,1 ⋅ 108

5,21 ⋅ 109

b) 5 ⋅ 10-12

c) 0,825 ⋅ 10-22

8,25 ⋅ 10-23

d) 205 ⋅ 103

2,05 ⋅ 105

e) 9,851 ⋅ 1035

f) 0,003 ⋅ 1014

3 ⋅ 1011

Apenas nos itens b e e o número está em notação científica.

31. (OBMEP) Qual é a soma dos algarismos do número que se obtém ao calcular 2100 ⋅ 5103?

a) 7

b) 8

c) 10

d) 12

e) 13

Alternativa b.

32. Copie e complete as sentenças abaixo, substituindo cada pelo número natural mais próximo da raiz e que torna a sentença verdadeira.

a) _ _

8

9

b) _ _

4

5

c) _ _

10

11

d) _

14

15

33. Determine uma aproximação com duas casas decimais das raízes a seguir.

a)

3,46

6,71

c)

5,34

d)

1,05

Fig. 1 (p. 75)

ID/BR

área: 2500 m2

portão

990 m
Página 76

unidade 2

capítulo 5 - Medidas de volume e de capacidade

Fig. 1 (p. 76)

Håkan Jansson/Alloy/Corbis/Latinstock

O pluviômetro é um instrumento utilizado para coletar e medir a quantidade de chuva, granizo ou neve. Os registros dessas quantidades permitem conhecer melhor a quantidade e a frequência de chuva em determinada região em um período de tempo.