O cálculo de raízes está profundamente ligado à multiplicação, mais especificamente à multiplicação em que os termos multiplicados são todos iguais. Quando isso acontece, costuma-se dizer que um número foi multiplicado por ele mesmo. Show Os números multiplicados por eles mesmos são chamados de potências. É uma potência, portanto, qualquer número que for multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidade de vezes. Esse número de vezes pode ser de 0 a infinito, dependendo do problema em questão e do tipo de estudo a ser realizado. Observe alguns exemplos de potências: 1·1·1 = 1 2·2·2 = 8 3·3 = 9 Como havia alguns casos em que essas potências eram multiplicações muito extensas, criou-se uma forma diferente de representar as potências. Por exemplo: 13 = 1·1·1 = 1 23 = 2·2·2 = 8 32 = 9 Portanto, para se representar a multiplicação do número 2 por ele mesmo seis vezes, podemos escrever, no lugar de 2·2·2·2·2·2, apenas 26. Essa operação é conhecida como potenciação. No exemplo seguinte, an = b a recebe o nome de base, n é o expoente e b é a potência (às vezes também chamamos an de potência). Dessa forma, potenciação é um tipo de multiplicação em que, dada uma base e um expoente, procura-se por uma potência, multiplicando-se essa base por ela mesma. Muitas vezes, contudo, deparamo-nos com a situação inversa, em que é necessário encontrar a base que gerou uma potência. Esse processo é conhecido como radiciação (calcular a raiz). Utilizando o exemplo anterior, é apresentado o número b, então, devemos procurar pelo número a que foi multiplicado por ele mesmo n vezes. Esse cálculo é representado pelo seguinte símbolo: Na imagem acima, procuramos a raiz enésima de b. Isso significa que buscamos um número a que, multiplicado por ele mesmo n vezes, tenha como resultado b. Na imagem acima, a é chamado de raiz enésima, b é chamado de radicando e n é chamado de índice. Exemplo 1: Calcule a seguinte raiz: Procuramos por um número que, multiplicado por ele mesmo 3 vezes, tenha 27 como resultado. Observe que não procuramos um número que, multiplicado por 3, é igual a 27, mas, sim, um número que multiplicado por si 3 vezes é 27. Portanto, procuramos pelo número A, que cumpre: A·A·A = 27 Tentando realizar a multiplicação acima com o número 3 no lugar de A, obtemos: 3·3·3 = 27 Então, Observe que 27 é resultado da multiplicação 3·3·3, que pode ser escrito como 33. Substituímos 27 por 33 e escrevemos a seguinte expressão: Essa observação leva ao entendimento de que é possível tentar escrever o radicando utilizando a sua decomposição em fatores primos. Exemplo 2: Calcule a raiz quadrada de 576. Observe, primeiramente, a decomposição de 576 em fatores primos: 576 |2 288 |2 144 |2 72 |2 36 |2 18 |2 9 |3 3 |3 1 |22·22·22·32 Observe que o resultado foi agrupado dois a dois. Isso acontece porque estamos calculando a raiz quadrada. Se fosse raiz cúbica, agruparíamos três a três; raiz quarta, quatro a quatro etc. Agora basta calcular a raiz: Por Luiz Paulo Moreira
Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos. Exemplo: Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125? Por tentativa podemos descobrir que: 5 x 5 x 5 = 125, ou seja, Escrevendo na forma de raiz, temos:
Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando. Símbolo da RadiciaçãoPara indicar a radiciação usamos a seguinte notação:
Sendo, n é o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo. Exemplos de radiciação: (Lê-se raiz quadrada de 400) (Lê-se raiz cúbica de 27) (Lê-se raiz quinta de 32) Propriedades da RadiciaçãoAs propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Confira a seguir. 1ª propriedade:
Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência. Exemplo: 2ª propriedade:
Multiplicando-se ou dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera. Exemplos:
3ª propriedade: Na multiplicação ou divisão com radiciais de mesmo índice realiza-se a operação com os radicandos e mantém-se o índice do radical. Exemplos:
4ª propriedade:
A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada. Exemplo: Quando o índice e a potência apresentam o mesmo valor: . Exemplo: 5ª propriedade:
A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices. Exemplo: Radiciação e PotenciaçãoA radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação, que tem como resultado a raiz proposta. Observe: Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x. Exemplos: , pois sabemos que 92 = 81 , pois sabemos que 104 = 10 000 , pois sabemos que (–2)3 = –8 Saiba mais lendo o texto Potenciação e Radiciação. Simplificação de RadicaisMuitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical. Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:
Exemplo:Calcule 1º passo: transformar o número 243 em fatores primos
2º passo: inserir o resultado, na forma de potência, dentro da raiz 3º passo: simplificar o radical Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro. , note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical. Assim, . Veja também: Simplificação de radicais Racionalização de DenominadoresA racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração, que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional. 1º caso – raiz quadrada no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante . 2º caso – raiz com índice maior que 2 no denominador
Neste caso, o quociente com o número irracional no denominador foi transformado em um número racional ao utilizarmos o fator racionalizante , cujo expoente (3) foi obtido pela subtração do índice (5) do radical pelo expoente (2) do radicando. 3º caso – adição ou subtração de radicais no denominador Neste caso, utilizamos o fator racionalizante para eliminar a radical do denominador, pois . Operações com RadicaisSoma e SubtraçãoPara somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais. 1º caso – Radicais semelhantes Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes. Veja como fazer: Exemplos:
2º caso – Radicais semelhantes após simplificação Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior. Exemplo I: Portanto, . Exemplo II:
Portanto, . 3º caso – Radicais não são semelhantes Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração. Exemplos:
(valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais) Multiplicação e Divisão1º caso – Radicais com mesmo índice Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos. Exemplos:
2º caso – Radicais com índices diferentes Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos. Exemplo I:
Portanto, . Exemplo II:
Portanto, . Saiba também sobre
Exercícios resolvidos sobre radiciaçãoQuestão 1Calcule os radicais a seguir. a) b) c) d)
Resposta correta: a) 4; b) -3; c) 0 e d) 8. a) b) c) a raiz do número zero é o próprio zero. d) Questão 2Resolva as operações abaixo utilizando as propriedades da radiciação. a) b) c) d)
Resposta correta: a) 6; b) 4; c) 3/4 e d) 5√5. a) Por se tratar da multiplicação de radicais com o mesmo índice utilizamos as propriedades Portanto, b) Por se tratar do cálculo da raiz de uma raiz utilizamos a propriedade Portanto, c) Por se tratar da raiz de uma fração utilizamos a propriedade Portanto, d) Por se tratar da soma e subtração de radicais semelhantes utilizamos a propriedade Portanto, Veja também: Exercícios sobre simplificação de radicais Questão 3(Enem/2010) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, no 1, 2002 (adaptado). Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/kg1/3
Resposta correta: e) 40 cm/kg1/3. 1º passo: calcular a altura, em metros, utilizando a fórmula do IMC. 2º passo: transformar a unidade da altura de metros para centímetros.
3º passo: calcular o Recíproco do Índice Ponderal (RIP). Portanto, uma menina, com 64 kg de massa, apresenta RIP igual a 40 cm/kg1/3. (Enem/2013 - Adaptado) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a)
Resposta correta: d) . A relação entre as grandezas “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M” pode descrita da seguinte forma: , sendo k a constante de proporcionalidade. A área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
Através da propriedade reescrevemos a área S. , conforme a alternativa d. |