Show Uma das mais usuais raízes na radiciação é a raiz quadrada. É muito comum encontrá-la em exercícios, dos mais diversos conteúdos da matemática. Podemos definir que a raiz quadrada de um número “n” é um número não negativo. Este número, por sua vez, quando multiplicado por si próprio, é igual a “n”. \(\sqrt[2]{n}=a\) , com “n” e “a” \(\geq n=a^{2}\) Na raiz acima, temos o radical \(\sqrt{ }\), o índice do radical (que no caso da raiz quadrada será sempre igual a 2) e o radicando (número “n”). Quando nos deparamos com uma raiz quadrada, é comum observarmos que o índice 2 não é escrito na raiz. Isso se justifica porque ficou definido na matemática que quando se trata de uma raiz quadrada, não há a necessidade de indicar o índice 2. Vamos ver alguns exemplos:
É importante ressaltar que, mesmo que os números negativos -2 e -3 satisfaçam as expressões \((-2)^{2}=4\) e \((-3)^{2}=9\), eles não devem ser admitidos como respostas válidas, a fim de que a concepção geométrica do símbolo radical não seja contrariada. Neste sentido, a expressão \(\sqrt{25}=\pm 5\), por exemplo, está errada! O correto seria \(\sqrt{25}=5\). Note que esta situação é diferente de \(x^{2}=25\), pois nesse caso, temos uma equação quadrática, onde o “x” pode, sim, assumir tanto o valor de 5, quanto o valor de -5. A raiz quadrada pode ser manipulada de algumas formas que podem nos ajudar a resolver determinados exercícios, vamos ver como isso funciona! Atenção! As propriedades a seguir podem ser vistas com maiores detalhes no tópico de radiciação! A raiz quadrada pode ser modificada das seguintes maneiras quando estamos tratando com divisão e multiplicação: \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\) Contudo, quando estamos operando com soma e subtração, note que as expressões a seguir são diferentes: \(\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \qquad \sqrt{a-b}\neq \sqrt{a}-\sqrt{b}\) Assim, é preciso tomar cuidado com as raízes, a fim de que não seja feito algum cálculo errado envolvendo elas. Caso uma raiz quadrada esteja dentro de outra raiz quadrada, basta multiplicarmos o índice 2 das duas raízes para obtermos somente uma raiz: \(\sqrt[2]{\sqrt[2]{a}}=\sqrt[2\cdot 2]{a}=\sqrt[4]{a}\) Muitos exercícios demandam que o aluno saiba como transformar um valor em radiciação para potenciação. Vamos ver como se dá esse processo (não se preocupe, é bem fácil!). \(\sqrt{x^{p}}=x^{\frac{p}{2}}\) Tranquilo, né? Essa é a relação entre as duas operações matemáticas. Para ficar mais fácil de lembrar, pense que o número que está “fora” na raiz fica “dentro” na potência (neste caso, o 2) e o número que está “dentro” na raiz fica “fora” na potência (neste caso, o “p”). Em muitas situações, você vai se deparar com uma raiz cujo resultado não é encontrado mentalmente e de forma fácil (como é o caso das raízes \(\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{25}\) por exemplo). Dessa forma, é interessante saber calcular o valor da raiz quadrada a fim de que você consiga resolver completamente os exercícios. Assim, o passo a passo do cálculo da raiz é: 1º passo: Dividir seu radicando somente por números primos até obter o número 1. Como exemplo, vamos usar \(\sqrt{400}\).
2º passo: Multiplicar de dois em dois os números de mesmo valor: Obs. 1: Caso fosse raiz cúbica, multiplicar de três em três e assim por diante.
Obs. 2: Caso algum número primo “n” estivesse sozinho, ou seja, não fosse possível multiplicar ele com outro número de mesmo valor, adotar ele como raiz de “n”. Exemplo: \(\sqrt{10}\).
Muitos alunos se perguntam o porquê de aprender sobre radiciação e raízes quadradas, enquanto eles não sabem o quão importante é este instrumento. As raízes são utilizadas nos mais diversos cálculos matemáticos, desde o Teorema de Pitágoras, passando pelas equações de segundo grau (com Bhaskara) até em problemas de engenharia, onde diversas fórmulas envolvem raízes. Nesse sentido, prova-se a relevância desta operação. É importante lembrar que todo estudo tem alguma função e, com as raízes, não é diferente!
Exercício de fixação UEMA O valor da raiz quadrada \(\sqrt[2]{0,444...}\) é: A radiciação é uma operação matemática que possui várias aplicações, dominá-la é importante para resolver-se problemas envolvendo potenciação, já que essas operações são inversas. Calcular a raiz enésima de um número x é encontrar qual número que, elevado a n, é igual a x. A radiciação possui propriedades importantes que servem para facilitar as contas e realizar simplificações de radicais. Para realizar operações com radiciação, é importante o domínio de cada uma das suas propriedades e compreender o significado de cada um dos seus termos. Leia também: Como fazer a racionalização com raízes enésimas?  Representação de uma radiciaçãoPara representar a raiz de um número, utilizamos um símbolo conhecido como radical (√ ), a raiz de um número qualquer é representada pela seguinte operação: √ → radical a→ radicando b→ raiz n→ índice Observação: quando n = 2, chamamos de raiz quadrada, e, nesse caso, escrever o número 2 no índice torna-se opcional. Para calcular-se a raiz de um número, é fundamental entender que a radiciação é a operação inversa da potenciação, então dominar potenciação é essencial para calcular-se a raiz de um número. Ao escrever a raiz enésima de a e afirmar que ela é igual a b, ou seja: estamos dizendo que, quando calculamos bn, encontramos o número representado pela letra a. Portanto é essencial entender que quando se fala que um número é raiz enésima de um outro número, isso significa que a raiz elevada ao índice é igual ao radicando. Exemplos: Veja também: Propriedades das potências – quais são e como as utilizar? Propriedades da radiciaçãoAs propriedades da radiciação são meios para facilitar-se o cálculo de problemas que envolvem tal operação. Existe um total de sete propriedades, e dominar cada uma delas é de grande importância para resolução de problemas sobre o tema. A raiz enésima de um número a elevado a n é igual ao próprio número a, ou seja, calculando a raiz de um número cujo o índice da raiz é igual ao expoente do radicando, encontraremos como resposta o próprio radicando. A raiz enésima do produto é igual ao produto de duas raízes enésimas. Se o radicando for o produto entre dois números, podemos separar como a multiplicação da raízes enésimas de cada uma de suas parcelas. A raiz enésima de uma divisão é igual ao quociente entre duas raízes enésimas. Se o radicando for uma divisão entre dois números, podemos separar como a raiz enésima do dividendo, dividido pela raiz enésima do divisor. Podemos multiplicar ou dividir (simplificar) o índice da raiz, desde que a mesma operação seja feita com o expoente do radicando. Quando encontramos a raiz de uma raiz, podemos multiplicar seus índices e representar essa operação com um único radical. A potência de uma raiz enésima pode ser reescrita como a raiz enésima do radicando elevada a essa potência. A raiz enésima pode ser transformada em uma potência com expoente racional. O índice da raiz corresponde ao denominador, e o expoente da base corresponde ao numerador: Acesse também: Como aplicar as propriedades da radiciação? Simplificação de radicaisQuando estamos trabalhando com um valor que não possui uma raiz exata, podemos fazer a simplificação desse radical. Para isso, é necessário algum método para decompor o número em fatores primos. Exemplo: Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360. Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas. 360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360; 180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180; 90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90; 45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45; 15|3 → 3 é o menor número primo que divide 15; 5|5 → 5 é o menor número primo que divide 5. 1| Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 360 como: 360= 2² · 2 · 3² · 5 Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical: Operações com radicaisA adição e a subtração de dois radicais são operações que, muitas vezes, são feitas de forma errada. Acontece que não podemos somar ou subtrair o radical de uma raiz com o radical de outra, ainda que o índice seja o mesmo: √2 + √3 ≠ √5 Na busca por não cometer esse erro, o que deve ser feito é deixar representada a adição como no primeiro membro da equação. Vale lembrar que se trata de raízes. Realizar a soma ou a subtração de duas raízes e representá-las de forma mais simples só é possível se estivermos falando da mesma raiz, por exemplo: √2 + √2 = 2√2 Nesse caso sempre somaremos os coeficientes, ou seja, o número que acompanha a raiz, lembrando que não se pode somar o radicando de cada uma delas. Quando necessário, podemos simplificar as raízes para que elas tenham os mesmos radicandos, e aí sim realizar a operação: √72 - √50 Sabemos que 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 72 = 2² · 2 · 3² e também podemos reescrever o 40 como: 50 = 2 · 5 · 5 50 = 2 · 5² Então teremos: Para realizar a multiplicação, é necessário que o índice seja o mesmo para todas as raízes. Quando isso ocorre, acabamos recorrendo à 2ª e à 3ª propriedade. Somente nesses casos é possível realizar-se a operação. Exemplo: Exercícios resolvidosQuestão 1 - Sendo “a” e “b” números reais positivos e “n” e “m” números inteiros maiores do que 1, assinale a alternativa incorreta: Resolução Alternativa B. Analisando-se as alternativas, a única que não corresponde a uma das propriedades da radiciação é a B, não podemos separar a soma da forma que foi feito. a) → 2ª propriedade b) → Não é uma propriedade da radiciação. c) → 5ª propriedade d) → 1ª propriedade Questão 2 - (IFG 2010) O resultado do cálculo da expressão é: Resolução Alternativa C. Note que todas as frações possuem mesmo índice, o que permite que seja feita a multiplicação, então, primeiro, faremos a propriedade distributiva e, posteriormente, faremos as simplificações necessárias. Para facilitar, escreveremos 25 como 5². |
Como fazer conats com um numero multiplicando uma raiz quadrada
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