Como calcular dominio de uma função com raiz quadrada

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Ciência2022

Contente:

Em matemática, o domínio de uma função informa para quais valores de x a função é válida. Isso significa que qualquer valor dentro desse domínio funcionará na função, enquanto qualquer valor que estiver fora do domínio não funcionará. Algumas funções (como funções lineares) têm domínios que incluem todos os valores possíveis de x. Outros (como equações em que x aparece no denominador) excluem certos valores de x para evitar a divisão por zero. As funções de raiz quadrada têm domínios mais restritos do que algumas outras funções, já que o valor dentro da raiz quadrada (conhecido como radicand) deve ser um número positivo.

TL; DR (muito longo; não leu)

O domínio de uma função de raiz quadrada é todos os valores de x que resultam em um radicando igual ou maior que zero.

Funções de raiz quadrada

Uma função de raiz quadrada é uma função que contém um radical, que é mais comumente chamado de raiz quadrada. Se você não tem certeza de como isso se parece, f (x) = √x é considerada uma função raiz quadrada básica. Nesse caso, x não pode ser um número positivo; todos os radicais devem ser iguais ou maiores que zero ou produzem um número irracional.

Isso não significa que todas as funções de raiz quadrada são tão simples quanto a raiz quadrada de um único número. Funções de raiz quadrada mais complexas podem ter cálculos dentro do radical, cálculos que modificam o resultado dos radicais ou mesmo um radical como parte de uma função maior (como aparecer no numerador ou denominador de uma equação). Exemplos dessas funções mais complexas se parecem com f (x) = 2√ (x + 3) ou g (x) = √x - 4.

Domínios de funções de raiz quadrada

Para calcular o domínio de uma função de raiz quadrada, resolva a desigualdade x ≥ 0 com x substituído pelo radicand. Usando um dos exemplos acima, você pode encontrar o domínio de f (x) = 2√ (x + 3) definindo o radicando (x + 3) igual a x na desigualdade. Isso fornece a desigualdade de x + 3 ≥ 0, que você pode resolver subtraindo 3 pelos dois lados. Isso fornece uma solução de x ≥ -3, o que significa que seu domínio tem todos os valores de x maiores ou iguais a -3. Você também pode escrever isso como [-3, ∞), com o colchete à esquerda mostrando que -3 é um limite específico, enquanto os parênteses à direita mostram que ∞ não é. Como o radicando não pode ser negativo, você só precisa calcular valores positivos ou zero.

Gama de funções de raiz quadrada

Um conceito relacionado ao domínio de uma função é seu alcance. Enquanto um domínio de funções é todos os valores de x válidos dentro da função, seu intervalo é todos os valores de y nos quais a função é válida. Isso significa que o intervalo de uma função é igual a todas as saídas válidas dessa função. Você pode calcular isso definindo y igual à própria função e resolvendo para encontrar quaisquer valores que não sejam válidos.

Para funções de raiz quadrada, isso significa que o intervalo da função é todos os valores produzidos quando x resulta em um radicando igual ou maior que zero. Calcule o domínio da sua função de raiz quadrada e insira o valor do seu domínio na função para determinar o intervalo. Se sua função é f (x) = √ (x - 2) e você calcula o domínio com todos os valores de x maiores ou iguais a 2, qualquer valor válido que você colocar em y = √ (x - 2) fornecerá a você um resultado maior ou igual a zero.Portanto, seu alcance é y ≥ 0 ou [0, ∞).

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A função raiz é identificada quando na lei de formação da função a variável se encontra dentro de um radical. A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz. Como a maioria dos valores da imagem de uma raiz é um número irracional, a função raiz é considerada uma função irracional.

O conjunto do domínio da função possui restrição quando o índice da função for par, pois o radicando necessariamente tem que ser positivo para que exista raiz. No estudo das funções, é sempre possível realizar sua representação gráfica.

Veja também: Função polinomial — função em que a lei de formação pode ser descrita por um polinômio

Resumo sobre função raiz

• A função raiz possui em sua lei de formação uma variável dentro do radical.

• É preciso analisar o índice do radical da raiz para encontrar seu domínio.

• Quando a função raiz possui índice par, o seu radicando é necessariamente positivo.

• Não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

• A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz, sendo a primeira a mais comum.

Função raiz: o que é?

Quando uma função possui uma ou mais variáveis dentro de um radical, a chamamos de função raiz. Ela sempre terá uma raiz de índice n, sendo que a função raiz mais comum é a função raiz quadrada. Veja a lei de formação de algumas funções raiz a seguir:

➝ Lei de formação de algumas funções raiz

• \(f\left(x\right)=\sqrt x\)

• \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}\)

• \(h\left(x\right)=1+\sqrt[3]{x-2}\)

• \(i\left(x\right)=\sqrt[4]{\frac{x}{3}}\)

Para calcular o valor numérico de uma função raiz, basta realizarmos a substituição da sua variável pelo valor desejado. Vale ressaltar que em muitos casos, o valor numérico de uma função raiz é um número irracional.

➝ Exemplos de cálculo da função raiz

Dada a função \(f\left(x\right)=\sqrt{x-4}\), calcule:

a) \(f\left(13\right)\)

b) \(f\left(7\right)\)

Resolução:

a) \(f\left(13\right)\)

Quando x = 13, temos:

\(f\left(13\right)=\sqrt{13-4}=\sqrt9=3\)

b) \(f\left(7\right)\)

Quando x = 7, temos:

\(f\left(7\right)=\sqrt{7-4}=\sqrt3\)

Como a \(\sqrt3\) é um número irracional, podemos afirmar que \(f\left(7\right)=\sqrt3\). Caso seja necessário calcular a raiz quadrada, utilizamos uma aproximação para essa raiz, como 1,7.

Dada a função \(g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2x\), calcule \(g\left(8\right)\).

Resolução:

\(g\left(8\right)=\sqrt[3]{8}+2\cdot8\)

\(g\left(8\right)=2+16\)

\(g\left(8\right)=18\)

Domínio de uma função raiz

No estudo de uma função raiz, conhecendo a sua lei de formação, é importante compreender que nem sempre o domínio de uma função é o conjunto dos números reais, pois existe uma restrição na radiciação quando o índice da função é par. Sabemos que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

Considere a função a seguir:

\(f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}\)

Qual é o conjunto domínio dessa função quando a analisamos no conjunto dos números reais?

Resolução:

Para que exista imagem para um determinado valor de x, temos:

\(3x\ +\ 4\ \geq\ 0\ \)

\(3x\ \geq\ -\ 4\ \)

\(x\geq-\frac{4}{3}\)

Assim, o domínio dessa função é:

\({\ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -\frac{4}{3}}\)

Saiba também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função — qual a diferença?

Gráfico da função raiz

O gráfico da função raiz é sempre crescente.

Quando a função raiz possui um índice par, seu gráfico estará somente no 1º quadrante:

Quando a função possui índice ímpar, o gráfico da função raiz estará tanto no 1º quanto no 3º quadrante.

Leia também: Como é o gráfico de uma função exponencial?

Exercícios resolvidos sobre função raiz

Questão 1

Analisando a função \(\ f:\ A\ \rightarrow B\ \), com lei de formação \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-4}\), julgue as afirmativas a seguir:

I) O domínio dessa função é necessariamente os valores de x, tal que \(x\geq\ 4\).

II) \(f\left(-4\right)=-2\)

III) Essa função é uma função raiz.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é falsa.

B) Somente a afirmativa II é falsa.

C) Somente a afirmativa III é falsa.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa A

I) Falsa

Como o índice da raiz é igual a 3, um número ímpar, o domínio dessa função pode ser o conjunto dos números reais, não havendo uma restrição para o valor de x.

II) Verdadeira

Calculando \(f\left(-4\right)\), temos:

\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-4-4}\)

\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-8}\)

\(f\left(-4\right)=-2\)

III) Verdadeira

Como a variável está dentro do radical, essa função é de fato uma função raiz.

Questão 2

Analisando a função \(f\left(x\right)=\sqrt{2x+6}\) no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:

A) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 2}\)

B) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -6}\)

C) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -3}\)

D) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 4}\)

Resolução:

Alternativa C

Analisando a lei de formação, temos:

\(2x\ +\ 6\ \geq\ 0\)

\(2x\ \geq\ -6\)

\(x\geq\frac{-6}{2}\)

\(x\ \geq\ -3\ \)

Portanto:

\(D\ =\ x\ \in\ R\ |\ x\ \geq\ -3\)