As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos. Elementos do triângulo retângulo A figura a seguir é um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto é Â e é cortado pela altura AD:  Nesse triângulo, observe que:
Teorema de Pitágoras: primeira relação métrica O teorema de Pitágoras é o seguinte: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos e pode ser escrito da seguinte maneira: a2 = b2 + c2 *a é hipotenusa, b e c são catetos. Exemplo: Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20 cm e o lado menor mede 10 cm? Solução: A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos. Essa diagonal fica sendo a hipotenusa, como mostra a figura a seguir: Para calcular a medida dessa diagonal, basta usar o teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 a2 = 202 + 102 a2 = 400 + 100 a2 = 500 a = √500 a = 22,36 cm, aproximadamente. Segunda relação métrica A hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa, ou seja: a = m + n Terceira relação métrica O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa. Matematicamente: h2 = m·n Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Assim, se for necessário descobrir a medida da hipotenusa conhecendo apenas as medidas das projeções, poderemos usar essa relação métrica. Exemplo: Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura? h2 = m·n h2 = 10·40 h2 = 400 h = √400 h = 20 centímetros. Quarta relação métrica É usada para descobrir a medida de um cateto quando as medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa são conhecidas: c2 = an e b2 = an Perceba que b é a medida do cateto AC, e n é a medida de sua projeção sobre a hipotenusa. O mesmo vale para c. Exemplo: Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 16 centímetros e que uma de suas projeções mede 4 centímetros, calcule a medida do cateto adjacente a essa projeção. Solução: O cateto adjacente a uma projeção pode ser encontrado a partir de qualquer uma dessas relações métricas: c2 = am ou b2 = an, pois o exemplo não especifica o cateto em questão. Assim: c2 = a·m c2 = 16·4 c2 = 64 c = √64 c = 8 centímetros. Quinta relação métrica O produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos. ah = bc Exemplo: Qual é a área de um triângulo retângulo cujos lados possuem as seguintes medidas: 10, 8 e 6 centímetros? Solução: 10 centímetros é a medida do maior lado, portanto, esse é a hipotenusa e os outros dois são catetos. Para encontrar a área, é necessário saber a altura, logo, usaremos essa relação métrica para encontrar a altura desse triângulo e depois calcularemos sua área. a·h = b·c 10·h = 8·6 10·h = 48 h = 48 h = 4,8 centímetros. A = 10·4,8 A = 48 A = 24 cm2 Por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática
afirmar que o maior cateto mede: a) 17 cm b) 19 cm c) 20 cm d) 23 cm e) 27 cm 23. (Unirio 95) Considere um cilindro eqüilátero de raio R. Os pontos A e B são pontos da secção meridiana do cilindro, sendo A o ponto médio da aresta. Se amarrarmos um barbante esticado do ponto A ao ponto B, sua medida deverá ser: a) RË5 b) RË(1+™£) c) RË(1+4™£) d) RË(4+™£) e) 2RË2 24. (Unirio 95) Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 2cm, construímos um segundo triângulo retângulo onde um dos catetos está apoiado na hipotenusa do primeiro e o outro cateto mede 2cm. Construímos um terceiro triângulo com um dos catetos medindo 2cm e o outro apoiado na hipotenusa do segundo triângulo. Se continuarmos a construir triângulos sempre da mesma forma, a hipotenusa do 15 triângulo medirá: a) 15 cm. b) 15Ë2 cm. c) 14 cm. d) 8 cm. e) 8Ë2 cm. 7 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 25. (Unesp 90) O telhado de um edifício é formado por 4 planos, dos quais 2 são visíveis na figura, a saber, ABCD e EFGH. Os triângulos FGI e ADJ situam-se em planos verticais, são eqüiláteros e seus lados medem "a" metros. As paredes que se interceptam, o fazem em ângulos retos. Calcule o comprimento do segmento XY situado sobre a intersecção dos planos ABCD e EFGH em função de a. 26. (Unaerp 96) Um triângulo, inscrito num semicírculo de raio igual a 5cm, possui um dos lados que mede 10cm. A soma dos quadrados dos outros dois lados é: a) 50 cm£ b) 75 cm£ c) 100 cm£ d) 125 cm£ e) 150 cm£ 27. (Ufpe 95) Os pontos A (2, 3), B (2, 8) e C (5, 8) são vértices de um triângulo retângulo no plano Oxy. Quanto mede a hipotenusa deste triângulo? a) Ë9 b) 5 c) Ë34 d) Ë68 e) Ë89 28. (Uece 96) Na figura a seguir, MNPQ é um retângulo e S é um ponto de base MQ tal que SP=NP. Se NS=2Ë7cm, NP=(12-k•)cm, SQ=k•cm e MN=K‚cm, então k£+k‚£ é igual a: a) 34 b) 45 c) 49 d) 60 29. (Mackenzie 96) No triângulo retângulo em A da figura a seguir, h pode ser: a) 2a/3. b) 3a/4. c) 4a/5. d) 3a/5. e) 2a/5. 8 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 30. (Ufc 96) Considere a figura a seguir na qual os segmentos de reta AB e CD são perpendiculares ao segmento de reta BC. Se åæ=19cm, æè=12cm e èî=14cm, determine a medida, em centímetros, do segmento de reta AD. 31. (Udesc 96) DETERMINE as áreas dos triângulos ABM e BCM. COMENTE estes resultados comparados com a área total. 32. (Ufpe 95) Sejam ™ e ™‚ planos que se interceptam em uma reta Ø e formam um ângulo de 45°. Em ™ escolha pontos P, P‚, Pƒ, P„ e P… distando respectivamente 3cm, 7cm, 8cm, 15cm e 21cm de Ø. A reta perpendicular a ™ passando por P‹ intercepta ™‚ em um ponto Q‹. Qual o valor, em cm, de PQ + P‚Q‚ + PƒQƒ + P„Q„ + P…Q…? 33. (Ufpe 95) Seja r o raio, em cm, da circunferência inscrita em um triângulo retângulo com catetos medindo 6cm e 8cm. Quanto vale 24r? 34. (Ufpe 95) A figura a seguir ilustra a planificação da superfície de um cubo com arestas medindo 10cm. O ponto B é o centro de uma de suas faces e o ponto A está em outra face distando das arestas de 3cm, 5cm, 5cm e 7cm. Seja C a curva de menor comprimento ligando A e B e totalmente contida nas faces do cubo. Qual o comprimento, em cm de C? 35. (Ufpe 95) Seja ABC um triângulo tal que åæ=æè=5cm e åè=8cm. Quanto mede, em mm, a altura deste triângulo com relação ao lado AC? 36. (Fuvest 89) Dois pontos materiais A e B deslocam-se com velocidades constantes sobre uma circunferência de raio r=Ë8m partindo de um mesmo ponto O. Se o ponto A se desloca no sentido horário com o triplo da velocidade de B, que se desloca no sentido anti-horário, então o comprimento da corda que liga o ponto de partida ao ponto do primeiro encontro é a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 5 m 37. (Cesgranrio 93) As rodas de uma bicicleta, de modelo antigo, têm diâmetros de 110cm e de 30cm e seus centros distam 202cm. A distância entre os pontos de contacto das rodas com o chão é igual a: a) 198 cm b) 184 cm c) 172 cm d) 160 cm e) 145 cm 9 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 38. (Fei 96) Considere no plano cartesiano a circunferência com centro no ponto C = (1,0) e raio r = 9, e o ponto A = (16,0). Se o ponto B, sobre a circunferência, é tal que a reta AB é tangente à circunferência, então a medida do segmento AB é: a) 11 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 39. (Faap 97) O galpão da figura a seguir está no prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede. A altura da cumeeira desse gráfico (em metros) é: a) 3 b) 3 + Ë8 c) 3 + 2Ë3 d) 3 + Ë2 e) 3 + 4Ë2 40. (Faap 97) A figura a seguir mostra uma antena retransmissora de rádio de 72m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aços que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30m do pé da antena. A quantidade (em metros) aproximada de cabo que será gasta para sustentar a antena é: a) 234 b) 78 c) 156 d) 102 e) 306 41. (Cesgranrio 90) Os catetos b e c de um triângulo retângulo ABC medem 6 e 8, respectivamente. A menor altura desse triângulo mede: a) 4,0. b) 4,5. c) 4,6. d) 4,8. e) 5,0. 42. (Mackenzie 97) Num triângulo retângulo, um cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o maior e o menor dos segmentos determinados pela altura sobre a hipotenusa é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 3/2 e) Ë5 10 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 43. (Fuvest 97) No paralelepípedo reto retângulo mostrado na figura, AB=2cm e AD=AE=1cm. Seja X um ponto de segmento AB e x a medida do segmento AX. a) Para que valor de x, CX = XH? b) Para que valor de x, o ângulo CXH é reto? 44. (Cesgranrio 91) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é: a) 0,300. b) 0,325. c) 0,375. d) 0,450. e) 0,500. 45. (Uece 97) Na figura a seguir, MNQ e RPQ são triângulos retângulos, respectivamente, em N e P, NP=4cm, PQ=2cm e RQ=3cm. Se MN = k•cm e MR = k‚cm, então k + k‚ é igual a: a) 2(Ë5 + 2) b) 2(Ë5 + 3) c) 3(Ë5 + 2) d) 3(Ë5 + 3) 46. (Uece 97) Na figura a seguir, RST é um triângulo retângulo em S, SH é a altura relativa à hipotenusa, o segmento RH = 2cm e o segmento HT = 4cm. Se o segmento RS = xcm e o segmento ST = x‚cm, então x . x‚ é igual a: a) 6Ë2 b) 12Ë2 c) 14Ë2 d) 16Ë2 11 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 47. (Ufmg 97) Observe a figura. Se a medida de CE é 80, o comprimento de BC é: a) 20 b) 10 c) 8 d) 5 48. (Ufrs 97) As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética. Qual o valor da área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6? a) 12Ë2 b) 18 c) 20Ë2 d) 24 e) 30 49. (Ufrs 97) Dada a figura Qual o valor |
4 observe o triângulo MNQ reto em M a seguir A hipotenusa desse triângulo corresponde ao segmento
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