Todos os elementos do conjunto c tem algum correspondente no conjunto desse não qual não tem

A motivação para o estudo das operações entre conjuntos vem da facilidade que elas trazem para a resolução de problemas numéricos do cotidiano. Utilizaremos algumas ferramentas gráficas, como o diagrama de Venn-Euler, para definir as principais operações entre dois ou mais conjuntos, sendo elas: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença de conjuntos e conjunto complementar.

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União de conjuntos

A união entre dois ou mais conjuntos será um novo conjunto constituído por elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos em questão. Formalmente o conjunto união é dado por:

Sejam A e B dois conjuntos, a união entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

Em outras palavras, basta unir os elementos de A com os de B.

Exemplo:

a) Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:

A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

b) A = {x | x é um número par natural} e B {y | y é um número ímpar natural}

A união de todos os pares naturais e todos os ímpares naturais resulta em todo o conjunto dos números naturais, logo, temos que:

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Intersecção de conjuntos

A intersecção entre dois ou mais conjuntos também será um novo conjunto formado por elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a todos os conjuntos envolvidos. Formalmente temos:

Sejam A e B dois conjuntos, a intersecção entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Desse modo, devemos considerar somente os elementos que estão em ambos os conjuntos.

Exemplo

a) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3}

A ∩ B = {2, 4, 6}

A ∩ C = { }

B ∩ C = {0}

O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de conjunto vazio e pode ser represento de duas formas.

Leia também: Definição de conjunto

Diferença de conjuntos

A diferença entre dois conjuntos, A e B, é dada pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

No diagrama de Venn-Euler, a diferença entre os conjuntos A e B é:

Exemplo

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e C = { }. Vamos determinar as seguintes diferenças.

A – B = {5}

A – C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

C – A = { }

Observe que, no conjunto A – B, tomamos inicialmente o conjunto A e “tiramos” os elementos do conjunto B. No conjunto A – C, tomamos o A e “tiramos” o vazio, ou seja, nenhum elemento. Por último, em C – A, tomamos o conjunto vazio e “tiramos” os elementos de A, que, por sua vez, já não estavam lá.

Leia também: Notações importantes sobre conjuntos

Conjuntos complementares

Considere os conjuntos A e B, em que o conjunto A está contido no conjunto B, isto é, todo elemento de A também é elemento de B. A diferença entre os conjuntos, B – A, é chamada de complementar de A em relação a B. Em outras palavras, o complementar é formado por todo elemento que não pertence ao conjunto A em relação ao conjunto B, em que ele está contido.

Exemplo

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

O complementar de A em relação a B é:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determine (A – B) U (B – A).

Solução

Inicialmente determinaremos os conjuntos A – B e B – A e, em seguida, realizaremos a união entre eles.

A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}

A – B = {a, b, c}

B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}

B – A = {g, h, i}

Logo, (A – B) U (B – A) é:

{a, b, c} U {g, h, i}

{a, b, c, g, h, i}

Questão 2 – (Vunesp) Suponhamos que A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}, então:

a) B = {f, g, h}

b) B = {d, e, f, g, h}

c) B = { }

d) B = {d, e}

e) B = {a, b, c, d, e}

Solução

Alternativa b.

Dispondo os elementos no diagrama de Venn-Euler, segundo o enunciado, temos:

Portanto, o conjunto B = {d, e, f, g, h}.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

A compreensão de conjuntos é a principal base para o estudo da álgebra e de conceitos de grande importância na Matemática, como funções e inequações. A notação que usamos para conjuntos é sempre uma letra maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B).

Em se tratando da representação dos conjuntos, ela pode ser feita pelo diagrama de Venn, pela simples descrição das características dos seus elementos, pela enumeração dos elementos ou pela descrição das suas propriedades. Ao trabalhar com problemas que envolvem conjuntos, existem situações que exigem a realização de operações entre os conjuntos, sendo elas a união, a intersecção e a diferença. Vamos estudar tudo isso detalhadamente?

Veja também: Expressões numéricas – aprenda a resolvê-las!

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Notação e representação de conjuntos

Para representação de um conjunto, utilizamos sempre uma letra maiúscula do alfabeto, e os elementos estão sempre entre chaves e são separados por vírgula. Para representar o conjunto dos números pares maiores que 1 e menores que 20, por exemplo, usamos a seguinte notação: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.

1. Representação por enumeração: podemos enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma lista, sempre entre chaves. Veja um exemplo:

A = {1,5,9,12,14,20}

1. Descrevendo as características: podemos simplesmente descrever a característica do conjunto. Por exemplo, seja X um conjunto, temos que X = {x é um número positivo múltiplo de 5}; Y: é o conjunto dos meses do ano.

2. Diagrama de Venn: os conjuntos também podem ser representados na forma de um diagrama, conhecido como diagrama de Venn, que é uma representação mais eficiente para a realização das operações.

Exemplo:

Dado o conjunto A = {1,2,3,4,5}, podemos representá-lo no diagrama de Venn a seguir:

Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto ou não pertente a esse conjunto. Para representar essa relação de pertinência de forma mais rápida, utilizamos os símbolos  ​

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Igualdade de conjuntos

É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim, podemos afirmar que dois conjuntos são iguais ou não verificando cada um dos seus elementos. Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, ainda que os elementos estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os conjuntos A e B são iguais: A = B.

Relação de inclusão

Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas relações, e uma delas é a relação de inclusão. Para essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos:

⊃ → contém ⊂ → está contido

⊅ → não contém ⊄ → não está contido

Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a um conjunto B, dizemos que A ⊂ B ou que A está contido em B. Por exemplo, A= {1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6}. É possível também fazer a representação pelo diagrama de Venn, que ficaria assim:

A ⊂ B

Quando acontece uma relação de inclusão, ou seja, o conjunto A está contido no conjunto B, podemos dizemos que A é subconjunto de B. O subconjunto continua sendo um conjunto, e um conjunto pode ter vários subconjuntos, construídos a partir dos elementos pertencentes a ele.

Por exemplo: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} tem como subconjuntos os conjuntos B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} e, até mesmo, o conjunto A {1,2,3,4,5,6,7,8}, ou seja, A é subconjunto dele mesmo.

Conjunto unitário

Como o nome já sugere, é aquele conjunto que possui somente um elemento, como o conjunto D: {1} mostrado anteriormente. Dado o conjunto B: {1,2,3}, temos os subconjuntos {1}, {2} e {3}, que são todos conjuntos unitários.

ATENÇÃO: O conjunto E: {0} também é um conjunto unitário, pois ele possui um único elemento, o “0”, não se tratando de um conjunto vazio.

Leia também: Conjunto dos números inteiros – elementos e características

Conjunto vazio

Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio não possui nenhum elemento e é subconjunto de qualquer conjunto. Para representar o conjunto vazio, há duas representações possíveis, sendo elas V: { } ou o símbolo Ø.

Conjuntos das partes

Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos possíveis de um determinado conjunto. Seja A: {1,2,3,4}, podemos listar todos os subconjuntos desse conjunto A começando com os conjuntos que possuem nenhum elemento (vazios) e, depois, os que possuem um, dois, três e quatro elementos, respectivamente.

• Conjunto vazio: { };

• Conjuntos unitários: {1}; {2};{3}; {4}.

• Conjuntos com dois elementos: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.

• Conjuntos com três elementos: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.

• Conjunto com quatro elementos: {1,2,3,4}.

Sendo assim, podemos descrever o conjunto das partes de A desta forma:

P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }

Para saber a quantidade de partes em que é possível dividir um conjunto, usamos a fórmula:

n[ P(A)] = 2n

O número de partes de A é calculado por uma potência de base 2 elevada a n, em que n é a quantidade de elementos do conjunto.

Considere o conjunto A: {1,2,3,4}, que possui quatro elementos. O total de subconjuntos possíveis desse conjunto é 24 =16.

Leia também: O que é o conjunto dos números irracionais?

Conjunto finito e infinito

Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntos que são limitados (finitos) e aqueles que são ilimitados (infinitos). O conjunto dos números pares ou ímpares, por exemplo, é infinito e, para representá-lo, descrevemos alguns dos seus elementos em sequência, de forma que seja possível prever quais serão os próximos elementos, e colocamos reticências no final.

I: {1,3,5,7,9,11...}

P: {2,4,6,8,10, ...}

Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências no final, pois ele possui começo e final definidos.

A: {1,2,3,4}.

Conjunto universo

O conjunto universo, denotado por U, é definido como o conjunto formado por todos os elementos que devem ser considerados dentro de um problema. Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo conjunto está contido no conjunto universo.

Operações com conjuntos

As operações com conjuntos são: união, intersecção e diferença.

Ocorre uma intersecção quando os elementos pertencem simultaneamente a um ou mais conjuntos. Ao escrever A∩B, estamos procurando os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B.

Exemplo:

Considere A= {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6,7,8}, os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B são: A∩B = {2,4,6}. A representação dessa operação é feita da seguinte forma:

­­ A∩B

Quando os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum, são conhecidos como conjuntos disjuntos.

A∩B = Ø

• Diferença entre conjuntos

Calcular a diferença entre dois conjuntos é procurar os elementos que pertencem a somente um dos dois conjuntos. Por exemplo, A – B tem como resposta um conjunto composto por elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Exemplo: A: {1,2,3,4,5,6} e B: {2,4,6,7,8}. Note que A ∩ B ={2,4,6}, então temos que:

a) A – B = { 1,3,5 }

b) B – A = { 7,8 }

A união de dois ou mais conjuntos é a junção dos seus termos. Caso haja elementos que se repitam nos dois conjuntos, eles são escritos uma única vez. Por exemplo: A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,10,14}. Para representar a união, usamos o símbolo (lê-se: A união com B).

A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}

Para saber mais detalhes sobre essas operações e conferir vários exercícios resolvidos, leia: Operações com conjuntos.

Leis de Morgan

Sejam A e B dois conjuntos e seja U o conjunto universo, existem duas propriedades que são dadas pelas Leis de Morgan, sendo elas:

(A U B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac U Bc

Exemplo:

Dados os conjuntos:

• U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

• A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

• B: {5,10,15,20}

Vamos verificar que (A U B)c = Ac ∩ Bc . Assim, temos que:

A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}

Logo, (A U B)c={1,3,7,9,11,13,17,19}

Para verificar a veracidade da igualdade, vamos analisar a operação Ac ∩ Bc:

Ac:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

Bc:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}

Então, Ac ∩ Bc ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.

(A U B)c = Ac ∩ Bc

Exercícios resolvidos

01) Considere U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} e B: {4,5,6,7,8,9}. Mostre que (A ∩ B)c = Ac U Bc.

Resolução:

• 1º passo: encontrar (A ∩ B)c. Para isso, temos que A ∩ B = {4,5,6} , então (A ∩ B)c ={1,2,3,7,8,9,10}.

• 2º passo: encontrar Ac U Bc. Ac:{7,8,9,10} e Bc:{1,2,3,10}, então Ac U Bc = {1,2,3,7,8,9,19}.

Fica demonstrado que (A ∩ B)c = Ac U Bc.

02) Sabendo que A é o conjunto dos números pares de 1 até 20, qual é a quantidade total de subconjuntos que podemos construir a partir dos elementos desse conjunto?

Resolução:

Seja P o conjunto descrito, temos que P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Sendo assim, o número de elementos de P é 10.

Pela teoria do conjunto das partes, o número de subconjuntos possíveis de P é:

210=1024

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática