√49 = 7, porque 7² = 49 No conjunto dos números inteiros, a raiz quadrada de 49 pode ser: +7, poque (+7)² = 49. -7, porque (-7)² = 49. Como o resultado de uma operação, deve ser único, vamos adotar o seguinte critério: Exemplos: a) +√16 = +4 b) - √16 = -4 c) √9 = 3 d) -√9 = -3 Os números negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z Veja: a) √-9 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -9 b) √-16 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -16 EXERCÍCIOS 1) Determine as raízes: a) √4 = (R: 2) b) √25 = (R: 5) c) √0 = (R: 0) d) -√25 = (R: -5) e) √81 = (R: 9) f) -√81 = (R: -9) g) √36 = (R: 6) h) -√1 = (R: -1) i) √400 = (R: 20) j) -√121 = (R: -11) k) √169 = (R: 13) l) -√900 = (R: -30) 2) Calcule caso exista em Z: a) √4 = (R: 2) b) √-4 = (R: não existe) c) -√4 = (R: -2)d) √64 = (R: 8)e) √-64 = (R: não existe) f) -√64 = (R: - 8) g) -√100 = (R:-10) h) √-100 = (R: não existe) 3) Calcule: a) √25 + √16 = (R:9) b) √9 - √49 = (R:-4) c) √1 + √0 = (R:1) d) √100 - √81 + √4 =(R: 3) e) -√36 + √121 + √9 = (R:8) f) √144 + √169 -√81 = (R:16) Calcular a raiz quadrada de um número natural x consiste em determinar o número que elevado ao quadrado resulta em x. Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta em 9? Acertou quem respondeu 3, pois 32 = 9. Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta em 25? Acertou quem respondeu 5, pois 52 = 25. As potenciações e as raízes quadradas aparecem nas expressões numéricas. Veja exemplos de como efetuá-las:
O cálculo da raiz quadrada de um número pode ser realizado de diferentes maneiras, ficando a critério do professor qual metodologia utilizar. 1ª situação O professor pode realizar uma listagem de números quadrados perfeitos, pois são eles que possuem raiz quadrada exata. Essa listagem deve começar a partir do número 1. Observe: Note que a listagem dos números quadrados perfeitos é infinita. Portanto, esse método possui eficácia quando se envolve números de valores pequenos. 2ª situação Decomposição em fatores primos 3ª situação
Podemos relacionar a raiz quadrada de um número natural com a área e a medida do lado de um quadrado. Observe o exemplo: Se um quadrado possui área de 625 m², a medida de seu lado é igual a 25, pois 25 x 25 = 625. Portanto, a raiz quadrada de 625 é igual a 25.
NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais: 0² = 0 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 7² = 49 Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.RAIZ QUADRADA APROXIMADA Vamos calcular a raiz quadrada do número 23. Esse número compreendido entre os quadrados perfeitos 16 e 25 Veja: 16 é menor 23 é menor 25. Extraindo a raiz quadrada desses números, temos: √16, √23, √25. 4 é menor que √23 é menor que 5. Dizemos então que: 4 é raiz quadrada aproximada, por falta, de 23. E 5 é a raiz quadrada aproximada por excesso de 23 1) Determine cada raiz, justificando o resultado: Exercício resolvido : √25 = 5 porque 5² = 25a) √4 = (R: 2)b) √64 = ( R: 8) c) √81 = (R: 9)d) √49 = (R: 7)e) √0 = ( R: 0)f) √1 = (R: 1)g) √100 = (R: 10)h) √121 = (R: 11)i) √169 = ( R: 13)j) √400 = (R: 20)k) √900 = (R: 30)l) √225 = (R:15) 2) Calcule a) √1 + √0 = (R: 1) b) √64 - √49 = ( R: 1) c) 15 + √81 = (R: 24)d) 2 + √4/9 = (R: 8/3) e) -3 + √16 = ( R: 1) f) -5 - √36 = (R: -11) g) 3√16 – 9 = (R: 3) 3) Calcule a) √81 = (R: 9) b) √36 = (R: 6) c) √144 = (R: 12) d) √196 = (R: 14) e) √1600 = (R: 40) f) √100 = (R:10) g) -√100 = (R: -10) h) √121 = (R: 11) i) -√121 = (R: -11) j) √400 = (R: 20) k) -√400 = (R: -20) l) √4/9 = (R: 2/3) m) √1/16 = ( R: 1/4) n) √64/81 = (R: 8/9) o) √49/25 = (R: 7/5) 4) Calcule a) 10.√4 = (R: 20) b) 3 + √25 = (R: 8) c) 1 - √4/9 = ( R: 2/3) d) √81-√9 = ( R: 6) e) √100 - √25 = (R: 5) f) √25/36 - √1/9 = (R:3/6) g) 4 . √4/100 = (R:8/10 ou 4/5) 5) Se √x = 30, então o valor de x é: a) 60 b) 90 c) 600 d) 900 (X) 6) O valor de expressões √0 + √1 - √1/4 é: a) 1/4 b) 3/2c) 1/2 (X)d) 3/4 7) O valor da expressão 7² - √64 + 3² é: a) 42 b) 51c) 50 (x)d) 38 Teste seus conhecimentos com esta lista de exercícios sobre raiz quadrada aproximada e verifique seus acertos por meio da resolução das questões.
Questão 1
A raiz quadrada de 72 está entre: A) 4 e 5 B) 5 e 6 C) 6 e 7 D) 7 e 8 E) 8 e 9
Questão 2
A área de um quadrado é igual à multiplicação dos seus lados, ou seja, A = l². Se determinado quadrado possui área igual a 30 cm², então, utilizando aproximação de duas casas decimais, o valor da medida do lado desse quadrado é igual a: A) 5,46 B) 5,48 C) 5,49 D) 5,51 E) 5,53
Questão 3
Um triângulo retângulo possui catetos medindo 1 cm. Nesse caso, podemos afirmar que o valor aproximado que melhor representa a medida da hipotenusa em centímetros é: A) 1,2 B) 1,3 C) 1,4 D) 1,5 E) 1,6
Questão 4
Durante a resolução de uma equação do 2º grau, um engenheiro constatou que o discriminante dessa equação era um número que não possui raiz quadrada exata. Foi nesse momento então que ele decidiu utilizar uma aproximação para essa raiz. Se o valor do discriminante é 37, então a melhor aproximação para a raiz desse número é: A) 6,0 B) 6,1 C) 6,2 D) 6,3 E) 6,4
Questão 5
O valor que mais se aproxima da expressão \(\sqrt{8^2-6^2}\) é: A) 5,1 B) 5,2 C) 5,3 D) 5,4 E) 5,5
Questão 6
O número 6,48 é a aproximação por falta da raiz quadrada de: A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44
Questão 7
Sobre a \(\sqrt{120}\), podemos afirmar que: I. Essa raiz quadrada é exata. II. Ela está entre os números inteiros 10 e 11. III. Sua aproximação é 10,95. Marque a alternativa correta: A) Todas as afirmativas são verdadeiras. B) Somente a afirmativa I é falsa. C) Somente a afirmativa II é falsa. D) Somente a afirmativa III é falsa.
Questão 8
Quando a raiz quadrada não é exata, os babilônicos utilizavam a fórmula \(\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}\) para encontrarem uma aproximação do valor dela. Nessas condições, utilizando a = \(\frac{3}{2}\) e \(\frac{3}{4}\), podemos afirmar que: A) \( \sqrt3\approx\frac{7}{2}\) B) \( \sqrt3\approx\frac{2}{7}\) C) \( \sqrt3\approx\frac{7}{4}\) D) \( \sqrt3\approx\frac{4}{7}\)
Questão 9
Utilizando aproximação com uma casa decimal, encontre o valor da expressão: \(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt7\) A) 0,5 B) 0,4 C) 0,3 D) 0,2
Questão 10
Um retângulo possui lados medindo \(\sqrt{18}\) cm e \(\sqrt{12}\) cm. Utilizando 2,45 como aproximação para \(\sqrt6\), então a área desse retângulo é de, aproximadamente: A) 44,1 cm² B) 42,8 cm² C) 44,0 cm² D) 45,4 cm² E) 46,7 cm²
Questão 11
Para calcular o volume do cilindro, utilizamos a fórmula V= πr2⋅h. Sabendo que um cilindro tem 12 cm de altura e volume igual a 264π cm³, podemos afirmar que o raio r dele está entre: A) 3 cm e 4 cm B) 4 cm e 5 cm C) 5 cm e 6 cm D) 6 cm e 7 cm E) 7 cm e 8 cm
Questão 12
Analisando os números a seguir, marque a alternativa que contém uma aproximação na raiz. A) \( \sqrt4=2\) B) \( \sqrt{1,21}=1,1\) C) \( \sqrt{15,5}=3,94\) D) \( \sqrt{16}=4\)
Resposta - Questão 1
Alternativa E Sabemos que os quadrados perfeitos mais próximos de 72 são 64 e 81, logo, temos que: \(\sqrt{64}<\sqrt{72}<\sqrt{81}\) \(8<\sqrt{72}<9\) A raiz quadrada de 72 está entre 8 e 9.
Resposta - Questão 2
Alternativa B Por aproximação, sabemos que 30 está entre os quadrados perfeitos 25 e 36, ou seja: \(25<30<36\) Calculando a raiz quadrada, temos que: \(\sqrt{25}<\sqrt{30}<\sqrt{36}\) \(5<\sqrt{30}<6\) Então sabemos que a parte inteira da raiz é 5, agora encontraremos a primeira casa decimal. 5,1² = 26,01 5,2² = 27,04 5,3² = 28,09 5,4² = 29,16 5,5² = 30,25 Note então que 5,5² é maior que 30, logo, a primeira casa decimal é 4, então temos que: \(5,4<\sqrt{30}<5,5\) Faremos: 5,41² = 29,2681 5,42² = 29,3764 5,43² = 29,4849 5,44² = 29,5936 5,45² = 29,7025 5,46² = 29,8116 5,47² = 29,9209 5,48² = 30,0304 Então: \(5,47<\sqrt{30}<5,48\) Note que não há nas alternativas a opção 5,47, então utilizamos a aproximação por excesso: 5,48.
Resposta - Questão 3
Alternativa C Aplicando o teorema de Pitágoras, seja x a medida da hipotenusa, temos que: x² = 1² + 1² x² = 1 + 1 x² = 2 x = \(\sqrt2\) Sabemos que \(\sqrt2\) está entre \(\sqrt1=1 \) e \(\sqrt4=2\). 1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96 1,5² = 2,25 Note que o valor que mais se aproxima de 2 é 1,4², então 2 ≈ 1,4.
Resposta - Questão 4
Alternativa B Sabemos que o 37 está entre os quadrados perfeitos 36 e 49. Como a raiz de 36 é 6, temos que: 6,0² = 36,00 6,1² = 37,21 Note que o valor com uma casa decimal que mais se aproxima da raiz de 37 é 6,1. Então temos que: \(\sqrt{37}\cong6,1\)
Resposta - Questão 5
Alternativa D Sabemos que 8² = 64 e que 6² = 36, logo, temos que: \(\sqrt{8^2-6^2}\) \(\sqrt{64-36}\) \(\sqrt{29}\) A raiz quadrada de 29 está entre 5 e 6, pois sabemos que 5² = 25 e 6² = 36. 5,1² = 26,01 5,2² = 27,04 5,3² = 28,09 5,4² = 29,16 Note que o valor que mais se aproxima da raiz de 29 é 5,4.
Resposta - Questão 6
Alternativa C Calculando, 6,48² = 41,9904. Como se trata de uma aproximação por falta, então 6,48 é aproximadamente \( \sqrt{42}\).
Resposta - Questão 7
Alternativa B I. Essa raiz quadrada é exata. (falsa) Essa raiz quadrada não é exata. Para saber seu resultado, utiliza-se raiz quadrada aproximada como estratégia. II. Ela está entre os números inteiros 10 e 11. (verdadeira) Sabemos que 120 está entre 100 e 121, cujas raízes são, respectivamente, 10 e 11, logo, a raiz de 120 está entre 10 e 11. III. Sua aproximação é 10,95. (verdadeira) Com duas casas decimais, a melhor aproximação para \(\sqrt{120}\) é 10,95.
Resposta - Questão 8
Alternativa C Substituindo na fórmula, temos que: \(\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\approx\frac{3}{2}+\frac{\frac{3}{4}}{2\cdot\frac{3}{2}}\) \(\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}\approx\frac{3}{2}+\frac{\frac{3}{4}}{3}\) \(\sqrt{\frac{12}{4}}\approx\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}\) \(\sqrt3\approx\frac{3}{2}+\frac{3^{:3}}{{12}_{:3}}\) \(\sqrt3\approx\frac{3}{2}+\frac{1}{4}\) \(\sqrt3\approx\frac{6+1}{4}\) \(\sqrt3\approx\frac{7}{4}\)
Resposta - Questão 9
Alternativa A Primeiro encontraremos as aproximações de cada uma das raízes com uma casa decimal: \(\sqrt2\approx1,4\) \(\sqrt3=\ \approx1,7\) \(\sqrt7\approx2,6\) Agora, substituindo na expressão, temos que: \(1,4+1,7-2,6=0,5\)
Resposta - Questão 10
Alternativa A Para calcular a área do retângulo, temos que: \(A=\sqrt{18}\cdot\sqrt{12}\) \(A=\sqrt{3^2\cdot2}\cdot\sqrt{2^2\cdot3}\) \(A=9\sqrt2\cdot2\sqrt3\) \(A=9\cdot2\sqrt{2\cdot3}\) \(A=18\sqrt6\) Utilizando aproximação para 6, temos que: \(A = 18\cdot2,45\) \(A = 44,1 cm²\)
Resposta - Questão 11
Alternativa B Sabemos que V = πr2⋅h e temos que V = 264π e h = 12. Então temos que: \(264\pi=\pi r^2\cdot12\) \(\frac{264\pi}{12\pi}=r^2\) \(22=r^2\) \(r=\sqrt{22}\) Sabemos que os quadrados perfeitos próximos de 22 são 4² = 16 e 5² = 25, logo, o raio está entre 4 cm e 5 cm.
Resposta - Questão 12
Alternativa C Analisando as alternativas, vamos verificar se o quadrado da raiz é igual ao radicando, assim, temos que: A) 2² = 4 (não é uma aproximação) B) 1,1² = 1,21 (não é uma aproximação) D) 3,94² = 15,5236 (é uma aproximação) E) 4² = 16 (não é uma aproximação) Então podemos afirmar que a única raiz quadrada para a qual foi usada uma aproximação é a da alternativa C. |
Raiz quadrada de números naturais exercícios
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