Quantos lados tem um polígono que possui 5 diagonais

A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "D" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte:

D = n ( n − 3 ) 2 {\displaystyle D={n(n-3) \over 2}}

É necessário realçar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.

Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono.

Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior:

Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A.

P = n − 3 {\displaystyle P={n-3}}

Onde 'n' é o número de vértices do polígono.

Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: P = 4 − 3 {\displaystyle P=4-3}   portanto, para o vértice A uma só diagonal.

Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja:

d = n ( n − 3 ) {\displaystyle d=n(n-3)}

d = 4 ( 4 − 3 ) = 4 {\displaystyle d=4(4-3)=4}

Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então:

d = n ( n − 3 ) 2 {\displaystyle d={n(n-3) \over 2}}

ou ainda:

d = n 2 − 3 n 2 {\displaystyle d={n^{2}-3n \over 2}}

Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes.

Combinatoriamente, também é possível calcular o número de diagonais mediante o seguinte raciocínio:

Para cada par de pontos, existe um segmento de reta que os contém. Assim, a combinação de n vértices dois a dois fornece o número de segmentos possíveis entre dois vértices do polígono - há de se retirar, obviamente, o número de lados do polígono, pois estes também são segmentos possíveis entre dois vértices. Assim, temos:

d = C n , 2   − n = n ! 2 ! ( n − 2 ) ! − n = n 2 − 3 n 2 {\displaystyle d=C_{n,2}\ -n={n! \over 2!(n-2)!}-n={n^{2}-3n \over 2}}