Quando passo um número raiz quadrada para o outro lado

Eai galera, neste post irei ensinar sobre os Expoentes e as Raízes, e como usá las numa equação

Para entender este conteúdo, você deve saber sobre:

•Equações de primeiro grau de uma incógnita (Aprenda aqui)

•Números negativos e parênteses (Aprenda aqui)

Vamos lá:

Introdução à potência

Bom, para começar, vamos entender o que é uma potência;

Supondo que há um número qualquer sendo multiplicado por ele várias vezes, neste exemplo vou usar o 3

Caso eu tiver 3 • 3 , eu posso deixar isso em forma de potência , e como faz isso? A potência é nada mais que um número que fica acima do outro em escala Menor , representando o número de vezes que esse número foi multiplicado por si mesmo , veja:

Veja que há um número "2" em pequena escala acima do "3", então temos uma potenciação

Ao invés de colocar um número acima do outro para representar a potência, alguns matemáticos colocam este sinal (^) para representa la, como por exemplo , aquela potência que foi mostrada acima pode ser representada por 3^2 , que é lido como [I]3 elevado à 2, no qual, o número 2 que é a potência (ou expoente) significa quantas vezes a base (o número que está em baixo da potência, neste exemplo, o 3) será multiplicada por ela mesma

Então teremos que 3^2 equivale a 3•3, que resulta em 9

3^3 equivale a 3•3•3 , resulta em 27

3^4 equivale a 3•3•3•3, resulta em 81

10^2 equivale a 10•10, resulta em 100

E assim vai por diante...

Exemplos

Antes de fazer alguma conta , sempre lembre se da ordem de resolver as operações:

1º resolve expoentes e raizes

2º resolve multiplicação e divisão

3º resolve adição e subtração

(Veja mais detalhadamente aqui)

Vamos fazer alguns exemplos:

Ex1:

3^2 • 4 + 50

( 3 • 3 ) • 4 + 50

9 • 4 + 50

36 + 50 = 86

Ex2:

5^2 + 5^3 • 10

( 5 • 5 ) + ( 5 • 5 • 5 ) • 10

25 + 125 • 10

25 + 1250 = 1275

Algumas propriedades

O expoente tem suas variantes e formas diferentes de fazer, vamos ver algumas delas:

•Expoente negativo

Para resolver um expoente negativo, você precisa transformar ele em fração, colocando o número "1" como denominador , e a potência inteira no denominador , com o expoente positivo

Veja:

E então é só resolver a potência do denominador e dividir

•Potência do expoente

Às vezes os expoentes podem fazer papel de base para outros expoentes, sendo assim uma potência múltipla, um exemplo de potência múltipla é 3^3^2

Como se resolve? Você tem que resolver de cima para baixo (ou direita para esquerda) ou seja, no exemplo, você deve resolver primeiro 3^2 , que dá 9, este resultado vai ser o expoente da outra base, e então fica 3^9, que dá um número bem maior , veja:

Caso tenha mais cadeias de expoentes, você resolve de cima para baixo até achar o resultado (caso ele não seja tão enorme)

•Sinal alternado em bases negativas

Quando uma potência possui a base negativa, devemos tomar cuidado com qual sinal ela deve resultar (positivo ou negativo), para saber, devemos olhar para o expoente, se ele for par, o resultado será positivo, se ele for ímpar, será negativo

Veja:

-3^2 = -3 • -3 = 9

-5^3 = -5 • -5 • -5 = -125

-2^5 = -2 • -2 • -2 • -2 • -2 = -32

•Decomposição de expoente

Podemos decompor um expoente e separa los em mais de uma potência diferente , veja:

2^4 = 2^(2+2) = 2^2 • 2^2 = 4 • 4 = 16

2^6 = 2^(3+3) = 2^3 • 2^3 = 8 • 8 = 64

3^(2+3) = 3^2 • 3^3 = 9 • 27 = 243

Caso haja uma subtração, ao invés de multiplicar as potências, devemos dividir

3^(3-1) = 3^3 : 3^1 = 27 : 3 = 9

5^3 = 5^(4-1) = 5^4 : 5^1 = 625 : 5 = 125

•Expoente decimal

Caso você tenha um expoente decimal, você pode fazer e resolver de várias maneiras, porém vou mostrar a maneira mais fácil na minha opinião: transformando em raiz

Vamos supor que você tenha:

16^0,5

Como podemos resolver isto?

Primeiro temos que transformar o expoente decimal em fração, que esta, equivale a 1/2

Então teremos 16^(1/2)

Como resolver isto? Pela lógica , a metade da multiplicação de 8 , é a mesma coisa de você estar tentando procurar a raiz quadrada do número , então

16^(1/2) = √16 = 4

Outro exemplo:

8^(1/3) = (3)√8 = 2

Veja esta situação:

8^2,5

Para resolver uma potência de expoente decimal maior que 1, deve se decompor primeiro, ficando:

8^(2 + 0,5) = 8^2 • 8^0,5

Substituindo o expoente decimal em fração, temos:

8^2 • 8^(1/2) = 64 • √8 = 64√8

•Expoente composto

Caso você tenha uma potência em parênteses sendo potêncializada por um expoente , você deve multiplicar os expoentes:

2^(2^3)

2 • 3 = 6

2^6 = 64

Outro exemplo

4^(3^2)

4 • 2 = 8

3^8

Introdução à raiz

A raiz é o oposto da potenciação,é representada pelo sinal (√) ,ao invés de indicar quantas vezes você deve multiplicar o mesmo número, ele indica quantas vezes um número deve ser multiplicado para dar o número que está na raiz, por exemplo

√9

Qual número deve ser multiplicado por ele mesmo para dar 9? A resposta é 3

√16

Qual Número deve ser multiplicado por ele mesmo para dar 16? A resposta é 4

E assim por diante

Índice da raiz

Quando a raiz ela está sendo representada somente assim (√) ela terá obrigatoriamente o índice 2, o que é o índice?

Índice funciona como na exponenciação, porém ao contrário, se uma raiz tiver índice 3 ou mais, vamos ver exemplos:

Neste exemplo , a raiz tem o índice 4, pois tem um número 4 na parte traseira superior , que simboliza o valor do índice, se este espaço estiver vazio, representa que o índice é 2,

Uma raiz de índice 4 funciona do mesmo jeito da raiz de índice 2, porém ao invés de ter que achar um número que deva se multiplicar por ele mesmo (ou seja, 2 vezes) para dar o número da raiz , neste caso, você deve achar um número que se multiplique 4 vezes para dar este número da raiz de índice 4

A resposta deste exemplo é 3

Pois 3•3•3•3 (ou 3^4) é igual a 81

Neste exemplo, de índice 3, a resposta é 2

Pois 2•2•2 (ou 2^3) é igual a 8

E se a raiz tiver índice negativo? Como por exemplo, -3, Você terá que descobrir o número que , ao ser elevado a -3, resulte o número da raiz , reveja a regra de como calcular expoentes negativos caso tenha dúvida

Método de achar uma raiz quadrada rapidamente (Veja)

Expoente e raiz numa equação

Em equações, se resolve primeiro a potenciação e a raiz , e depois a multiplicação e divisão , e assim por diante

Mas já que eles são sinais opostos, eles podem seguir a regra de troca de termos da equação, onde que, para se trocar um termo, deve Trocar seu sinal, ou seja, se houver uma potência e você quiser passar esta potência para o outro lado, ela terá que vir em forma de raiz,

Se a potência tiver expoente 2, passará como raiz de índice 2; se a potência tiver expoente 3, passará como raiz de índice 3; se a potência tiver expoente 4, passará como raiz de índice 4

E assim por diante, vamos ver exemplos:

X^2 = 16

X = √16

X = 4

Vamos ver outro , mais complexo:

24 + X^3 = 51

Lembre se, que não pode passar o sinal de uma multiplicação, divisão, potência ou raiz para o outro lado caso não esteja isolado, como se pode ver, possui um 24 somando com a potência , então deve se livrar primeiro deste 24 antes de passar o expoente para o outro lado como forma de raiz

X^3 = 51 - 24

X^3 = 27

X = (3)√27

X = 3

Algumas observações

•Se caso você veja uma divisão ou fração com expoente, por exemplo , 5/3, lembre se que (5/3)^2 é igual a 5/3 • 5/3

Que isso equivale a 25/9

•Estes termos são diferentes:

Veja que 3√27 significa √27 + √27 + √27

E o outro trata se de uma raiz de índice 3

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Então é isso, se estiver com alguma dúvida, como sempre, comente abaixo

Obrigado o/

Equações irracionais apresentam uma incógnita dentro de um radical, ou seja, há uma expressão algébrica no radicando.

Confira alguns exemplos de equações irracionais.

Como resolver uma equação irracional?

Para resolver uma equação irracional a radiciação deve ser eliminada, transformando-a em uma equação racional mais simples para encontrar o valor da variável.

1º passo: isole o radical no primeiro membro da equação.

2º passo: eleve ambos os membros da equação ao número que corresponde ao índice do radical.

Por se tratar de uma raiz quadrada, deve-se elevar os dois membros ao quadrado e, com isso, elimina-se a raiz.

3º passo: encontre o valor de x resolvendo a equação.

4º passo: verifique se a solução é verdadeira.

Para a equação irracional, o valor de x é – 2.

Exemplo 2

1º passo: elevar ambos os membros da equação ao quadrado.

2º passo: resolva a equação.

3º passo: encontre as raízes da equação do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

4º passo: verificar qual a solução verdadeira para a equação.

Para x = 4:

Para a equação irracional, o valor de x é 3.

Para x = – 1.

Para a equação irracional, o valor x = – 1 não é uma solução verdadeira.

Veja também: Números Irracionais

Exercícios sobre equações irracionais (com gabarito comentado)

1. Resolva as equações irracionais em R e verifique se as raízes encontradas são verdadeiras.

a)

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: x = 3.

1º passo: elevar os dois termos da equação ao quadrado, eliminar a raiz e resolver a equação.

2º passo: verificar se a solução é verdadeira.

b)

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta: x = – 3.

1º passo: isolar o radical em um lado da equação.

2º passo: elevar ambos os termos ao quadrado e resolver a equação.

3º passo: aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.

4º passo: verificar qual solução é verdadeira.

Para x = 4:

Para x = – 3:

Para os valores de x encontrados, apenas x = – 3 é a verdade solução da equação irracional.

Veja também: Fórmula de Bhaskara

2. (Ufv/2000) Sobre a equação irracional é CORRETO afirmar que:

a) não possui raízes reais. b) possui apenas uma raiz real. c) possui duas raízes reais distintas. d) é equivalente a uma equação do 2º grau.

e) é equivalente a uma equação do 1° grau.