Qual e o intervalo que corresponde ao conjunto imagem dessa função

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O domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D=A. Se um elemento x

A estiver associado a um elemento y

B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y=f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).

Observe o domínio e a imagem na função abaixo.

Outro exemplo: se f é uma função de IN em IN (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y=x+2, então temos que:

• A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1)=1+2=3;
• A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2)=2+2=4;

De modo geral, a imagem de x através de f é x+2, ou seja: f(x)=x+2.

Em uma função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f. Segundo o conceito de função, existem duas condições para que uma relação f seja uma função:

1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função.

2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não é função.

Observações:

• Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.
• A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.
• Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y=f(x).

Exercícios resolvidos

1) Considere a função f: A

B representada pelo diagrama a seguir:

Determine:

a) o domínio (D) de f; b) f(1), f(-3), f(3) e f(2); c) o conjunto imagem (Im) de f;

d) a lei de associação

Resolução:

a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4. c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: Im = {1,4,9}.

d) Como 12=1, (-3)2=9, 32=9 e 22=4, temos y=x2.

2) Dada a função f: IR

IR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x2-5x+6, calcule:

a) f(2), f(3) e f(0);
b) o valor de x cuja imagem vale 2.

Resolução:

a) f(2)= 22-5(2)+6 = 4-10+6 = 0
f(3)= 32-5(3)+6 = 9-15+6 = 0
f(0)= 02-5(0)+6 = 0-0+6 = 6

b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x)=2, ou seja, x2-5x+6=2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. Nessa definição, o conjunto A é chamado de domínio, o conjunto B é o contradomínio, e existe ainda um subconjunto do conjunto B chamado imagem.

Uma função determina, para todo elemento x do conjunto A, qual elemento y do conjunto B está relacionado a ele. Em outras palavras, todos os elementos do conjunto A são relacionados a algum elemento do conjunto B, e para cada elemento do conjunto A existe um único “correspondente” no conjunto B.

A forma algébrica de representar a definição da função corresponde, considerados os conjuntos A e B, à regra em que a função f é:

f: A → B
y = f(x)

Observe que essa função é denominada “f”, o que pode ser feito com qualquer letra. Os símbolos A → B indicam que cada elemento do conjunto A, aplicado na função f, tem como resultado um elemento do conjunto B. É por isso que o conjunto A é chamado de domínio. Os resultados em B serão determinados a partir dos valores de A. Por esse motivo, seja x um elemento qualquer do conjunto A, x é chamado variável independente, e seja y um elemento qualquer do conjunto B, y é a variável dependente.

Domínio

Dada a função f de A em B, definida como y = f(x) (modo como deve ser lida a simbologia usada anteriormente), já sabemos que seu domínio é o conjunto A e que um elemento qualquer de A, representado pela letra x, é chamado variável independente.

O domínio é formado por todos os elementos que “dominam” os possíveis resultados encontrados para y em uma função. Esse conjunto é chamado por esse nome porque cada um dos seus valores determina um único resultado no outro conjunto.
Exemplo:

f: N → Z
y = 2x + 1

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais, ou seja:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Portanto, esses são os valores que podem substituir a variável x na função.

Contradomínio

Dada a função f de A em B, definida como y = f(x), já sabemos que o conjunto B é chamado contradomínio. A definição de função garante que cada elemento do domínio (conjunto A) é relacionado a um único elemento do contradomínio (conjunto B). Note que a palavra “cada” garante que todos os elementos do domínio são usados em uma função, mas a expressão “um único elemento do conjunto B” não garante que todos os elementos do contradomínio serão relacionados a elementos do domínio.

Utilizando o mesmo exemplo anterior:

f: N → Z
y = 2x + 1

Note que o contradomínio dessa função é definido no conjunto dos números inteiros. Entretanto, sabemos que “2x + 1” terá como resultado apenas números ímpares. Portanto, o conjunto Z contém todos os elementos que se relacionam a elementos do domínio, não sendo necessariamente seus únicos elementos.

Imagem

O conjunto imagem é formado por todos os elementos do contradomínio que estão relacionados a algum elemento do domínio. No exemplo anterior:

f: N → Z
y = 2x + 1

Os resultados obtidos substituindo elementos do domínio na função são:

Se x = 0, y = 1

se x = 1, y = 3

se x = 2, y = 5

…

Isso significa que os valores de y sempre pertencem ao conjunto dos números ímpares não negativos. Portanto, a imagem dessa função é o conjunto dos números ímpares a partir de 1.

Cada um dos valores de y obtidos é chamado de imagem, assim, se x = 10, sua imagem é y = 21 na função dada como exemplo.

O intervalo de uma função é o conjunto de números que a função pode produzir. Em outras palavras, é o conjunto de valores (y) que você obtém quando conecta todos os possíveis valores de x para a função. Este conjunto de valores possíveis de x é chamado domínio. Se você quer saber como encontrar o intervalo de uma função, basta seguir estes passos.

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   Escreva a fórmula. Digamos que você está trabalhando com a fórmula seguinte: f (x) = 3 x 2 + 6 x-2. Isto significa que quando você colocar qualquer x na equação, você obterá o valor de y . Esta é a função de uma parábola. [1] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Encontre o vértice da função, caso seja quadrática. Se você estiver trabalhando com uma linha reta ou qualquer função com um polinômio de número ímpar, como f (x) = 6 x 3 + 2 x + 7, você pode pular este passo. Mas se você estiver trabalhando com uma parábola, ou qualquer equação na qual a coordenada x seja elevada ao quadrado ou elevada a uma potência, você vai precisar delinear o vértice. Para fazer isso, basta usar a fórmula -b/2a para chegar a coordenada x da função 3 x 2 + 6 x-2, onde 3 = a, 6 = -2 e b = c. Neste caso -b é -6, e 2a é 6, então a coordenada x é -6/6 ou -1. [2] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • Agora, coloque -1 na função para obter a coordenada y. f(-1) = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
   • O vértice é (-1, -5). Faça um gráfico desenhando um ponto no qual a coordenada x é -1 e a coordenada y é -5. Deve ficar no terceiro quadrante do gráfico.

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   Encontre alguns outros pontos na função. Para ter uma noção da função, você deve relacionar algumas outras coordenadas de x, para que você possa ter uma noção de como a função é antes de começar a procurar o intervalo. Uma vez que é uma parábola e a coordenada de 2 x é positiva, vai estar apontando para cima. Mas, apenas para cobrir as suas bases, vamos ligar as coordenadas de x para ver as coordenadas de y: [3] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

   • f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. Um ponto no gráfico é (-2, -2)
   • f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Outro ponto no gráfico é (0, -2)
   • f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Um terceiro ponto no gráfico é (1, 7).

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   Encontre o intervalo do gráfico. Agora, olhe para as coordenadas de y no gráfico e encontre o ponto mais baixo no qual o gráfico toca uma coordenada y. Neste caso, a menor coordenada y fica no vértice, -5, e o gráfico se estende infinitamente acima deste ponto. Isto significa que o intervalo da função é y = todos os números reais ≥ -5 .[4] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Encontre o mínimo da função. Procure a menor coordenada y da função. Digamos que a função atinge seu ponto mais baixo no -3. Esta função também pode ficar menor e infinitamente menor, de modo que não tem um ponto mais baixo definido — é simplesmente infinito.

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   Encontre o máximo da função. Digamos que a coordenada y mais alta atinge da função seja 10. Esta função também pode ficar infinitamente maior, por isso não tem um ponto mais alto definido — é simplesmente infinito.

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   Determine o intervalo. Isto significa que o intervalo da função, ou o intervalo das coordenadas y, varia de -3 a 10. Então, -3 ≤ f(x) ≤ 10. Esse é o intervalo da função.

   • Mas digamos que o gráfico atinge seu ponto mais baixo em y = -3, porém sobre indefinidamente. Então, o intervalo é f (x) ≥ -3.
   • Digamos que o gráfico atinge seu ponto mais alto em 10, mas desce indefinidamente. Então, o intervalo é f (x) ≤ 10.

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   Escreva a relação. Uma relação é um conjunto de pares ordenados com coordenadas x e y. Você pode olhar para uma relação e determinar o seu domínio e intervalo. Digamos que você está trabalhando com a seguinte relação: {(2, – 3), (4, 6), (3, – 1), (6, 6), (2, 3)}. [5] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Liste as coordenadas y da relação. Para encontrar o intervalo da relação, basta escrever todas as coordenadas y de cada par ordenado: {-3, 6, -1, 6, 3}. [6] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

3. 3

   Remova quaisquer coordenadas duplicadas para que você só tenha uma de cada coordenada y. Você vai notar que listou "6" duas vezes. Remova um e sobrará {-3, -1, 6, 3}. [7] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Escreva o intervalo da relação em ordem crescente. Agora, reordene os números do conjunto, mudando do menor para o maior, e você obterá o intervalo. O intervalo da relação {(2, – 3), (4, 6), (3, – 1), (6, 6), (2, 3)} é {-3, -1, 3, 6}. Pronto. [8] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Certifique-se de que a relação seja uma função. Para uma relação ser uma função, cada vez que você colocar um número de uma coordenada x, a coordenada y tem de ser a mesma. Por exemplo, a relação {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} não é uma função, porque quando você coloca em 2 como x na primeira vez, você tem um 3, mas na segunda vez, se você colocar um 2, obterá um quatro. Para uma relação ser uma função, se você colocar uma mesma entrada, você sempre deve obter o mesmo produto. Se você colocar em um -7, você deve obter a mesma coordenada de y (qualquer que seja) sempre. [9] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

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   Leia o problema. Digamos que você está trabalhando com o seguinte problema: “Roberta está vendendo ingressos para o show de talentos da escola por 5 Reais cada. A quantidade de dinheiro que ela recolhe é uma função de quantos bilhetes que ela vende. Qual é o alcance da função?”

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   Escreva o problema como uma função. Neste caso, M representa a quantidade de dinheiro que ela recolhe, e T representa a quantidade de bilhetes que ela vende. No entanto, uma vez que cada bilhete custará 5 Reais, você terá que multiplicar a quantidade de bilhetes vendidos por 5 para encontrar a quantidade de dinheiro. Portanto, a função pode ser escrita como M(t) = 5 t.

   • Por exemplo, se ela vender 2 bilhetes, você terá que multiplicar 2 por 5 para obter 10, a quantidade de Reais que ela terá.

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   Determine o domínio. Para determinar o intervalo, você deve primeiro encontrar o domínio. O domínio é de todos os possíveis valores de t que funcionam com a equação. Neste caso, Roberta pode vender bilhetes de 0 ou mais - ela não pode vender bilhetes negativos. Como não sabemos o número de lugares em seu auditório da escola, podemos assumir que ela teoricamente pode vender um número infinito de bilhetes. E ela só pode vender ingressos inteiros; ela não pode vender 1/2 bilhete, por exemplo. Portanto, o domínio da função é T = qualquer número inteiro não-negativo.

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   Determine o intervalo. O intervalo é a quantidade possível de dinheiro que Roberta pode fazer com sua venda. Você tem que trabalhar com o domínio para encontrar o intervalo. Se você sabe que o domínio é qualquer número inteiro não-negativo e que a fórmula é M(t) = 5t, então você sabe que pode usar esta função para obter o resultado, ou o intervalo de qualquer número inteiro não-negativo. Por exemplo, se ela vender 5 bilhetes, então, M(5) = 5 x 5 ou 25 Reais. Se ela vender 100, então, M(100) = 5 x 100, ou R$ 500. Portanto, o intervalo da função é qualquer inteiro não-negativo que é um múltiplo de 5.

   • Isso significa que qualquer número inteiro não-negativo que é um múltiplo de cinco é um produto possível para a entrada da função.

• Veja se você pode encontrar a função inversa. O domínio da função inversa de uma função é igual ao intervalo dessa função.
• Verifique se a função se repete. Qualquer função que se repita ao longo do eixo x terá o mesmo intervalo para a função inteira. Por exemplo, f (x) = sen (x) tem um intervalo entre -1 e 1.