O número 32 está melhor representado pelo

O conjunto dos números irracionais é formado pelos números que não podem ser representados como frações. Em algumas situações, o conjunto dos números racionais não era suficiente para a resolução de problemas, foi quando se percebeu a existência dos números irracionais, como as raízes não exatas, as dízimas não periódicas, o π, entre outros.

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Conjunto dos números irracionais
Quais são os números irracionais?
Número racional e irracional
Exercícios resolvidos

Leia também: Qual o valor de um algarismo?

Conjunto dos números irracionais

No decorrer da história, na aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo de lados medindo 1, percebeu-se que a resposta era igual à raiz do número 2.

Acontece que essa resposta, aparentemente simples, tornou possível a descoberta de um novo conjunto numérico. Na tentativa de encontrar-se a resposta para essa raiz quadrada de 2, encontrou-se um número decimal conhecido como dízima não periódica, que é impossível de ser representada como uma fração. Isso fez necessária a criação de um novo conjunto, os irracionais, já que, até aquele momento, todos os números eram racionais (que podem escritos como fração).

O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não podem ser escritos na forma de uma fração.

Quais são os números irracionais?

Para que um número seja considerado irracional, ele precisa respeitar a definição, ou seja, ele não pode ser representado como uma fração. Esses números são as raízes não exatas, as dízimas não periódicas e alguns casos especiais, como a constante π (lê-se: pi) ou o número ɸ (lê-se: fi), entre outros.

Quando o número não é um quadrado perfeito, é conhecido como raiz não exata. Veja alguns exemplos:

Ao resolver-se essas raízes, a resposta sempre vai ser uma aproximação, o que chamamos de dízimas não periódicas.

Note que a parte decimal é infinita e que não existe um período, ou seja, uma sequência que faça com que a gente consiga prever o próximo número da parte decimal, e é por isso que chamamos esse número de dízima não periódica. Não só as dízimas geradas por raízes não exatas, mas qualquer dízima não periódica é um número irracional.

• Número π: é bastante comum para cálculos envolvendo curvas, como área e comprimento de circunferência ou volume de cilindros e cones, e é um dos mais conhecidos números irracionais. Pelo fato de ser irracional, utilizamos um símbolo para representá-lo, ainda assim, π é uma dízima não periódica, e seu valor é igual a 3,14159265358979323846… São conhecidas várias casas desse número, mas normalmente utilizamos uma aproximação, com o valor de 3,14.

• Número ɸ: é conhecido também como número de ouro e é estudado desde a Antiguidade, descrevendo vários fenômenos da natureza, como a reprodução de populações de coelhos. Há também relato do uso dessa proporção em obras artísticas. Ele também é um número irracional, e por isso é representado pelo símbolo ɸ, sendo seu valor de: 1,61803398875…

• Constante de Euler: é utilizada para fenômenos que envolvem matemática financeira, e nas áreas de biologia, astronomia, entre outras. Ela também é um número irracional e, por isso, é representada pelo símbolo e, sendo seu valor de: 2,718281828459045235360…

Veja também: Números primos – número natural que possui apenas dois divisores

Número racional e irracional

Acontece que um número qualquer pode ser classificado como racional ou irracional. De forma direta, o número racional é todo número que pode ser escrito como fração. São números racionais os decimais exatos, as dízimas periódicas, os números inteiros. Já os números irracionais são o oposto disso, ou seja, são os que não podem ser escritos como fração, como citamos, são eles as dízimas não periódicas e raízes não exatas.

A dízima 3,12121212… é periódica, note que na sua parte decimal existe um período, que é o número 12, que sempre se repete, logo, esse número é racional.

A dízima 6,1249375…. é não periódica, note que não há um período na sua parte decimal, o que faz com que esse número seja irracional.

O π é um número irracional útil para cálculos com círculo, circunferência, cilindros e cones.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Qual dos números a seguir pode ser classificado como irracional?

Resolução

Alternativa C.

a) Sabemos que 25 é um quadrado perfeito, ou seja, sua raiz quadrada é exatamente igual a 5, logo, esse é um número racional.

b) Ao calcular a raiz de 81, sabemos que seu resultado é 9, o que faz com que aquele número seja racional.

c) 10 não possui raiz quadrada exata, ou seja, ele é um número irracional, o que torna a alternativa C correta.

d) 5,1888 é um número decimal exato, logo, ele é racional.

e) 1,2323… é uma dízima com o período igual a 23, logo, trata-se de um número racional.

Questão 2 - Sobre os números irracionais, julgue as afirmativas seguintes como verdadeiras ou falsas:

I - Toda raiz quadrada é um número irracional.

II - Toda dízima não periódica é um número irracional.

III - O número ɸ e o número π são exemplos de números irracionais.

De acordo com o julgamento das sentenças, é correto afirmar que:

a) Somente a afirmativa I é verdadeira.

b) Somente a afirmativa II é verdadeira.

c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução

Alternativa C.

I - Falsa, pois somente a raiz quadrada não exata é um número irracional.

II - Verdadeira. Dízimas não periódicas são números irracionais.

III - Verdadeira, pois os números ɸ e π são dízimas não periódicas, logo, são números irracionais.

(M120397A8) Observe a reta numérica abaixo. O número 0,20 está representado pelo ponto A) A. B) B. C) C. D) D. E) E.

(M050280A8) A professora Clotilde pediu que seus alunos escrevessem um número que representasse meio ou metade. Geraldo Cássio Carla Fernando 1 2 0,5 1,2 0,005 Os alunos que acertaram o exercício foram A) Cássio e Carla. B) Geraldo e Cássio. C) Carla e Geraldo. D) Geraldo e Fernando.

(M120113A8) Uma pessoa pegou um empréstimo de R$ 4.000,00, na condição de pagar de juro 3,5%, ao final do período previsto para o empréstimo. Qual o valor desse juro? A) R$ 1,40 B) R$ 14,00 C) R$ 140,00 D) R$ 1400,00 E) R$ 14000,00

(M8D19I0060) Em uma fábrica, 2 máquinas produzem parafusos. Sabendo que uma máquina produz 350 parafusos por dia e que a outra produz a metade desse número no mesmo tempo, quantos parafusos serão produzidos em 10 dias por essas duas máquinas? A) 525 B) 3 500 C) 5 250 D) 10 500

(M110056CE) José aplicou R$ 1.000,00 à taxa de juro simples de 4% ao mês durante 2 meses. Qual é o montante no fim dessa aplicação? A) R$ 80,00 B) R$ 1.008,00 C) R$ 1.080,00 D) R$ 1.800,00 E) R$ 8.000,00

(M120109A8) O valor de A) 1 e 2 B) 2 e 3 C) 3 e 4 D) 4 e 5 E) 5 e 6 7 é um número irracional. Esse valor está localizado entre os números naturais

(M090259A8) O estacionamento de um supermercado possui 350 vagas no total, sendo 300 vagas para carros e 50 vagas para motos. Num determinado horário de um dia, uma placa luminosa informava que existiam apenas 100 vagas disponíveis nesse estacionamento. Passados alguns minutos, chegaram 3 motos no estacionamento, e as vagas de motos foram todas ocupadas. Quantos carros estavam estacionados? A) 197 B) 203 C) 253 D) 303

(M120228A8) Considere a reta de equação y = x 2. O gráfico que representa essa reta é A) B) C) D) E)

(M11276RJ) A Confecção de calças Veste Bem produz o número y de calças por mês em função do número x de funcionários, de acordo com a lei y = 100 x. Para a produção de calças, esta confecção conta com 225 funcionários. Qual é a produção mensal de calças da confecção Veste Bem? A) 150 calças. B) 250 calças. C) 1 500 calças. D) 2 500 calças. E) 5 000 calças.

(M11482SI) O esboço do gráfico que melhor representa a função do 2º grau definida por y = x 2 x 1 é A) B) C) D) E)

(M120031A8) O congelador de uma geladeira especial precisa, nas primeiras horas de funcionamento (t), ter sua temperatura (T) variando entre valores negativos e positivos, para que os alimentos não percam suas propriedades, de acordo com a função T(t) = t² - 4t + 3. Ao ligar a geladeira, o congelador atinge a temperatura de 0 C depois de A) 1 hora e 3 horas. B) 2 horas e 6 horas. C) 7 horas e 9 horas. D) 6 horas e 10 horas. E) 12 horas e 20 horas.

(M120191A8) O gráfico de uma função quadrática teve uma parte apagada, como representado abaixo. Para essa função, as coordenadas do ponto de mínimo são A) c3, - 1 m 2 4 B) c3 1, m 2 4 C) (3, 2) D) (2, 3) E) (5, 3)

(M120370A8) O gráfico que pode representar a função dada por y = 5 x é A) B) C) D) E)

(M120199A8) Denise precisa resolver exercícios de matemática. Para incentivá-la, sua professora montou um esquema diferente de estudo, como mostra o quadro abaixo. PROPOSTA DE ESTUDO - 1º dia: resolver 1 exercício. - 2º dia: resolver 3 exercícios. - 3º dia: resolver 9 exercícios. Continuar nos próximos dias, sempre multiplicando por três a quantidade de exercícios do dia anterior. Qual operação deve ser feita para determinar o número de exercícios que Denise resolverá no 10º dia de estudo? A) 3 x 11 B) 3 x 10 C) 3 x 9 D) 3 10 E) 3 9

(M100031CE) A figura abaixo representa o gráfico de uma função definida em R. A expressão que melhor define essa função é A) f(x) = a x B) f(x) = sen x C) f(x) = cos x D) f(x) = log a x E) f(x) = ax 2 + bx + c

(M090233A8) Um reservatório, contendo inicialmente 200 litros de água, recebe água de uma torneira, que despeja nele 20 litros de água por minuto. Todos os valores possíveis dos tempos, representados por t, em minutos, para os quais o volume de água no reservatório fica acima de 300 litros são dados pela desigualdade A) 20t > 300 B) 300 + 20t > 0 C) 500 + 20t > 0 D) 200 + 20t > 300

(M120328A8) O primeiro e o sétimo termos de uma progressão aritmética são, respectivamente, - 8 e 22. O quinto termo dessa progressão aritmética é A) 10 B) 12 C) 16 D) 17 E) 48

(M100013CE) Considere a função y = f(x), no intervalo [-6,6] A função y=f(x) é constante no intervalo A) [0,4] B) [-1,0] C) [-1,2] D) [2,4] E) [4,6]

(M100047CE) A figura ABCD abaixo é um retângulo e o segmento EF é paralelo ao lado AD. O comprimento do segmento EC, em metros, indicado por x é A) 5 B) 7 C) 11 D) 12 E) 17

(M120159A8) Um avião decola de um aeroporto formando um ângulo de 30 com o solo, como mostra a figura abaixo. Para atingir a altitude de 10 km, qual a distância que esse avião deverá percorrer? A) 10 km B) 20 km C) 35 km D) 50 km E) 60 km

(PAMA11206MS) Observe os pontos N, M, O, P e Q representados no plano cartesiano abaixo Um ponto que está situado no 2º Quadrante é A) N B) M C) O D) P E) Q

(M120339A8) O pátio de uma escola tem o formato da figura ABCDEFGH e possui dimensões CD = EF = 4m e AB = BC = DE = FG = 2m. O perímetro desse pátio, em metros, é A) 16 B) 30 C) 32 D) 36 E) 44

(M11487SI) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo, com 8,6 centímetros de comprimento e 4,2 centímetros de altura. A área, em cm 2, da superfície colorida de cinza é A) 12,80 B) 18,06 C) 25,60 D) 36,12 E) 53,76

(M120027A8) Ao fazer uma pesquisa a respeito do mês do nascimento dos 25 alunos da 3ª série de uma escola estadual, a professora obteve os resultados mostrados na tabela abaixo. Mês Número de alunos Janeiro 3 Março 2 Abril 6 Junho 1 Julho 3 Setembro 2 Novembro 6 Dezembro 2 A porcentagem desses alunos da 3ª série que nasceram no mês de abril é A) 44% B) 25% C) 24% D) 19% E) 6%

(M120445A8) Uma pesquisa foi realizada entre os 30 alunos da segunda série do colégio Estudar para saber a preferência deles por um dos seguintes esportes: futebol de campo, futebol de salão, vôlei, tênis e natação. Cada aluno escolheu somente um esporte e os resultados dessa pesquisa estão apresentados no gráfico abaixo. O quadro que apresenta esses mesmos resultados é A) Esporte Nº de alunos que preferem Vôlei 10 Tênis 4 Natação 8 Futebol de salão 2 Futebol de campo 6 B) C) D) E) Esporte Nº de alunos que preferem Vôlei 8 Tênis 4 Natação 10 Futebol de salão 2 Futebol de campo 6 Esporte Nº de alunos que preferem Vôlei 8 Tênis 6 Natação 2 Futebol de salão 4 Futebol de campo 10 Esporte Nº de alunos que preferem Vôlei 8 Tênis 2 Natação 6 Futebol de salão 4 Futebol de campo 10 Esporte Nº de alunos que preferem Vôlei 4 Tênis 2 Natação 6 Futebol de salão 8 Futebol de campo 10

3 (M090478A9) Qual é o número decimal correspondente a? 4 A) 0,25 B) 0,34 C) 0,43 D) 0,75

(M090003-PUB) Mauro efetuou a operação indicada abaixo. 2. 2 + 3 Qual resultado que Mauro encontrou? A) 3,1 B) 4,5 C) 5,1 D) 6,2

(M11278SI) Sobre a reta numérica abaixo estão marcados os pontos H e N. As coordenadas dos pontos H e N, nessa ordem, são A) 4 e 2. B) 4 e 2. C) 2 e 2. D) 0,2 e 0,2. E) 0,4 e 0,2.

(M120228A8) Considere a reta de equação y = x 2. O gráfico que representa essa reta é A) B) C) D) E)

(3M2D030) Observe o gráfico abaixo. A função trigonométrica representada nesse gráfico é A) y = sen x B) y = cos x C) y = tg x D) y = - sen x E) y = - cos x

(M120633A9) Resolva o sistema abaixo. * x+ 2y+ z = 4 x-z = -2 2x =-2 Qual é a solução desse sistema? A) (-1, 1, 3) B) (1, 0, 3) C) (-1, 3, 3) D) (0, 1, 2) E) (-1, 2,1)

(CE_JAAF3M26) Um restaurante oferece em seu cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. O número de maneiras diferentes para fazer seu pedido é A) 40 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120

(M11454SI) Caroline ganhou uma caixa de bombons. A caixa contém 7 bombons de caramelo, 5 de coco, 6 de morango e 2 de banana. Ela pegou, sem olhar, um bombom da caixa. A probabilidade desse bombom ser de coco é A) B) C) D) E) 1 20 1 5 5 20 6 20 7 20

(M120735A9) Veja, abaixo, o ciclo trigonométrico. y x 3r O ponto que corresponde ao arco rad é 4 A) P. B) Q. C) R. D) S. E) T.

(M090006A8) Veja a planificação do poliedro abaixo. Quantas arestas esse poliedro possui? A) 5 B) 7 C) 8 D) 12

(M100047CE) A figura ABCD abaixo é um retângulo e o segmento EF é paralelo ao lado AD. O comprimento do segmento EC, em metros, indicado por x é A) 5 B) 7 C) 11 D) 12 E) 17

(M120153A8) Para reforçar a estrutura PQR, foi colocada uma trave PM, como mostra a figura abaixo. Qual a medida do comprimento da trave PM? A) 1,0 m B) 2,4 m C) 3,0 m D) 3,5 m E) 5,0 m

(PAMA08096MS) Observe a figura abaixo, formada por seis pentágonos regulares e um losango. Nessa figura, a medida do ângulo x, em graus, é A) 36º B) 42º C) 48º D) 108º

(M090167A8) Observe, abaixo, a representação de um prisma e sua respectiva planificação, em que as faces estão numeradas. Nessa planificação, os pares de faces paralelas são A) 1 e 2, 4 e 6, 5 e 8. B) 1 e 2, 6 e 8, 7 e 4. C) 2 e 3, 4 e 7, 5 e 8. D) 3 e 6, 4 e 7, 5 e 8.

(M090404A9) Para preparar um suco, Carlos colocou no liquidificador 1L de suco de laranja, 150 ml de leite e 500 ml de água. Quantos mililitros desse suco Carlos preparou? A) 615 B) 750 C) 1 650 D) 2 100

(M120294A8) O trapézio ABCD, representado abaixo, tem as medidas dos lados AB = 6, BC = 5, CD = 2 e DA = 3. O perímetro desse trapézio é A) 11 B) 12 C) 13 D) 16 E) 18

(M11301MG) Para desenvolver a visão espacial dos alunos, o professor ofereceu-lhes uma planificação de uma pirâmide de base quadrada como a da figura: A área da base dessa pirâmide é 100 cm² e a área de cada face é 80 cm² A área total, no caso da pirâmide considerada é igual a A) 320 cm 2 B) 340 cm 2 C) 360 cm 2 D) 400 cm 2 E) 420 cm 2

(PAMA11043AC) Observe o paralelepípedo abaixo. O volume deste paralelepípedo será A) 320 cm³. B) 80 cm³. C) 40 cm³. D) 32 cm³. E) 22 cm³.

(M8D37I0185) A tabela, abaixo, mostra a preferência de algumas pessoas em relação a alguns jornais que circulam na cidade. JORNAL I II III IV NÚMERO DE PESSOAS 150 300 300 250 O gráfico de barras que corresponde a essa tabela é A) B) C) D)

3 (M090478A9) Qual é o número decimal correspondente a? 4 A) 0,25 B) 0,34 C) 0,43 D) 0,75

Sandro fez um empréstimo de R$ 1.000,00 em uma financeira, para ser pago, em uma única prestação, daqui a 2 meses. Essa financeira cobrou juros compostos de 9% ao mês. O valor a ser pago por Sandro, daqui a 2 meses, para quitar esse empréstimo, é A) R$ 1.018,00. B) R$ 1.180,00. C) R$ 1.188,10. D) R$ 2.180,00.

(M090041CE) Ao fatorar e simplificar a expressão algébrica a² + ab, a expressão obtida será a² b² A) b B) a b C) a a b D) a + b a b

(M120228A8) Considere a reta de equação y = x 2. O gráfico que representa essa reta é A) B) C) D) E)

(PAMA11166MS) Um polinômio p(x) de terceiro grau tem raízes iguais a - 3, 2 e 4. Qual das expressões abaixo pode representar p(x)? A) (x - 3) (x + 2) (x + 4) B) (x + 3) (x - 2) (x - 4) C) (x + 3) (x + 2) (x + 4) D) (x - 3) (x - 2) (x - 4) E) (x - 3) (x - 2) (x + 4)

(M100047CE) A figura ABCD abaixo é um retângulo e o segmento EF é paralelo ao lado AD. O comprimento do segmento EC, em metros, indicado por x é A) 5 B) 7 C) 11 D) 12 E) 17

(PAMA11260MS) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo, e AC sua diagonal. Qual é a distância x do vértice B até a diagonal? A) 4 cm B) 3,6 cm C) 4,8 cm D) 5 cm E) 10 cm

(PAMA08096MS) Observe a figura abaixo, formada por seis pentágonos regulares e um losango. Nessa figura, a medida do ângulo x, em graus, é A) 36º B) 42º C) 48º D) 108º

(M120008CE) Qual é a área de um triângulo cujos vértices são A(2,-3), B(-1,2) e C(4,5)? A) 4 B) 12 C) 14 D) 17 E) 21

(PAMA11218MS) Observe a função representada no gráfico abaixo. A função representada nesse gráfico é A) y = x B) y = x +1 C) y = 2 x D) y = -x +1 E) y = -2 x

(3M2D010) Observe a circunferência abaixo. Qual é a equação que representa essa circunferência? A) x² + y² + 6x + 6y + 9 = 0 B) x² + y² - 6x - 6y + 9 = 0 C) x² + y² + 6x + 6y + 27 = 0 D) x² + y² - 6x - 6y + 27 = 0 E) x² + y² - 6x - 6y + 18 = 0

(PAMA11207MS) Em qual das representações abaixo, o ponto N de coordenadas x = -1 e y = 2,5 está mais adequadamente representado? A) B) C) D) E)

(M1D23I0125) O gráfico que representa a função y = 2x 3 é A) y B) y 3-3 C) y D) y 3-3

(M120294A8) O trapézio ABCD, representado abaixo, tem as medidas dos lados AB = 6, BC = 5, CD = 2 e DA = 3. O perímetro desse trapézio é A) 11 B) 12 C) 13 D) 16 E) 18

(M120172A8) A figura abaixo representa um pátio em forma de trapézio. Para pavimentar esse pátio, quantos metros quadrados de cerâmica são necessários? A) 11 m 2 B) 14 m 2 C) 16 m 2 D) 20 m 2 E) 22 m 2

(M11301MG) Para desenvolver a visão espacial dos alunos, o professor ofereceu-lhes uma planificação de uma pirâmide de base quadrada como a da figura: A área da base dessa pirâmide é 100 cm² e a área de cada face é 80 cm²a área total, no caso da pirâmide considerada é igual a A) 320 cm 2 B) 340 cm 2 C) 360 cm 2 D) 400 cm 2 E) 420 cm 2

(PAMA11043AC) Observe o paralelepípedo abaixo. O volume deste paralelepípedo será A) 320 cm³. B) 80 cm³. C) 40 cm³. D) 32 cm³. E) 22 cm³.

(M11459SI) Lewis Hamilton piloto de Fórmula 1, obteve os seguintes pontos: 6, 8, 8, 8, 8, 10,10, 6 e 6, nas 9 primeiras provas do campeonato de 2007. A média de pontos por prova deste piloto é, aproximadamente, A) 2,9 B) 6,0 C) 7,5 D) 7,8 E) 8,0