Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo que possui vértices a 3 8 B 6 4 ec 3 3

Baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas do triângulo. Geralmente, é representado pela letra G. Para encontrar o baricentro, é necessário traçar as três medianas do triângulo e, assim, localizar o ponto de encontro entre elas.

O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo e possui propriedades importantes. Para encontrar o baricentro quando estudamos o triângulo representado em um plano cartesiano, calculamos a média aritmética entre as coordenadas dos vértices do triângulo.

Leia também: Propriedades do triângulo isósceles e do equilátero

Resumo sobre baricentro do triângulo

• O baricentro é um ponto notável do triângulo.

• É o ponto de encontro das três medianas do triângulo, geralmente representado por G.

• Para calcular as coordenadas do baricentro do triângulo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), utilizamos a fórmula:

O que é o baricentro?

O triângulo é o sólido geométrico mais simples de todos, mas que é estudado a fundo na geometria. A partir do estudo do triângulo, foram encontrados quatro pontos notáveis, sendo um deles o baricentro. Os demais são denominados incentro, circuncentro e ortocentro.

O baricentro, em específico, é o ponto de encontro das três medianas do triângulo. Portanto, para encontrar o lugar geométrico que o baricentro ocupa, traçamos as três medianas do triângulo e marcamos o ponto de encontro entre elas, que é comumente representado pelo ponto G. Vejamos a seguir a representação do baricentro de um triângulo.

A mediana é o segmento de reta que vai do ponto médio de um lado do triângulo até o vértice oposto a esse lado. Traçaremos as medianas do triângulo ABC, começando pela mediana em relação ao vértice A:

Agora, traçaremos mais uma mediana, a relativa ao vértice B:

Por último, vamos traçar a mediana relativa ao vértice C e encontrar o baricentro.

Dessa forma, demarca-se o baricentro desse triângulo, representado por G.

Leia também: Condição de existência de um triângulo

Propriedades do baricentro

O baricentro possui duas propriedades importantes. Vejamos cada uma delas a seguir.

• 1ª propriedade: o baricentro é um ponto interno do triângulo.

Ao traçar as medianas, o segmento de reta sempre estará na parte interna do triângulo, como consequência de sua definição, pois a mediana liga o vértice ao ponto médio. Sendo assim, o baricentro sempre será um ponto interno, independentemente do formato do triângulo.

• 2ª propriedade: o baricentro divide qualquer uma das medianas em dois segmentos, sendo que o comprimento destes estão em uma razão de 1 para 2.

Como calcular o baricentro

A partir dos estudos da geometria analítica, foi possível realizar a representação de um triângulo no plano cartesiano. Com a representação do triângulo, conhecendo as coordenadas de seus vértices, é possível calcular as coordenadas do baricentro do triângulo.

Dado um triângulo cujos vértices são os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), com baricentro possuindo coordenadas G(xG, yG), basta calcularmos a média aritmética dos valores de x e y para encontrar as coordenadas do baricentro desse polígono.

Exemplo:

Um triângulo possui vértices localizados nos pontos A(2, 3), B(5, – 4) e C(– 1, – 2). Qual são as coordenadas de seu baricentro?

Resolução:

Para encontrar suas coordenadas, começaremos por xG.

Agora, encontraremos yG:

Portanto, o baricentro desse triângulo é o ponto G(2, – 1).

Leia também: Bissetriz e incentro de um triângulo

Questão 1

Um triângulo possui baricentro com as coordenadas G(– 1, 2). Sabendo que as coordenadas dos vértices A, B e C são, respectivamente, (4, 2), (– 2, 3) e (x, y), a diferença de y – x é igual a

A) 3.

B) 4.

C) 5.

D) 6.

E) 7.

Resolução:

Alternativa D

Sabemos que:

xA = 4

xB = – 2

xG = – 1

Então, calcula-se o seguinte:

Além disso, sabemos que:

yA = 3

yB = – 4

yG = 2

Agora, basta calcular a diferença entre y e x:

y – x = 1 – (– 5) = 1 + 5 = 6

Questão 2

Marque a alternativa que descreve de forma correta o que é o baricentro.

A) O baricentro é um segmento de reta notável do triângulo, formado pelo encontro das medianas.

B) O baricentro é um ponto notável do triângulo, formado pelo encontro das alturas.

C) O baricentro é um ponto notável do triângulo, formado pelo encontro das bissetrizes.

D) O baricentro é um ponto notável do triângulo, formado pelo encontro das medianas.

E) O baricentro é um segmento de reta notável do triângulo, formado pelo encontro das mediatrizes.

Resolução:

Alternativa D

O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo.

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Conhecemos como baricentro do triângulo o centro de gravidade do triângulo. O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, o ponto de encontro quando traçamos as suas três medianas. Ao traçar a mediana de cada um dos vértices do triângulo, o baricentro é o ponto de encontro das três medianas.

Quando conhecemos as coordenadas de cada um dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, para calcular o seu baricentro, basta calcular a média aritmética dos valores de x e dos valores de y.

Leia também: Quais são as propriedades do triângulo equilátero?

Resumo sobre baricentro de um triângulo

• O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas do triângulo.

• O baricentro é conhecido também como centro de gravidade do triângulo.

• O baricentro divide qualquer uma das medianas na razão 1 para 2.

• Para calcular a posição do baricentro de um triângulo no plano cartesiano, utilizamos a fórmula:

No estudo dos triângulos, existem os pontos conhecidos como notáveis, os pontos específicos de um triângulo, são eles:

• o baricentro

• o incentro

• o circuncentro

• o ortocentro

Cada um possui propriedades específicas e é encontrado de maneira diferente. O baricentro, em específico, é o ponto de encontro das medianas do triângulo. Todo triângulo possui três medianas, e mediana é o segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto, como na imagem a seguir:

Quando traçamos as três medianas do triângulo simultaneamente, é possível encontrar o ponto de encontro delas, denotado por G, o baricentro do triângulo:

Propriedades do baricentro

Dada qualquer uma das medianas do triângulo, o baricentro divide-a em dois novos segmentos cujos comprimentos estão em razão 1 para 2.

Em todo triângulo, o baricentro é um ponto interno.

Como as medianas são segmentos que ligam de forma interna o vértice ao ponto médio do lado oposto, ou seja, são sempre segmentos internos do triângulo, consequentemente, o baricentro é um ponto interno do triângulo.

Passo a passo de como se calcula o baricentro

No estudo da geometria analítica, quando representamos o triângulo ABC, no plano cartesiano, em que os vértices possuem coordenadas A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e o seu baricentro, G(xG, yG), para calcular as coordenadas do baricentro, basta fazer a média aritmética entre os valores de x para os vértices A, B e C e os valores de y para os mesmos vértices.

Exemplo:

Um triângulo foi representado no plano cartesiano, sendo que os seus vértices são os pontos A (-1, -2), B (3, 5) e C (4, -3), calcule a coordenada do baricentro desse triângulo.

Para encontrar o baricentro desse triângulo, vamos calcular a soma das abscissas dos pontos A, B e C e dividir por três:

Faremos o mesmo processo com os valores da ordenada:

Então, o par ordenado que representa a localização do baricentro desse triângulo é o ponto G(2, 0).

Veja também: Como podemos classificar um triângulo?

Exercícios resolvidos sobre o baricentro de um triângulo

Questão 1 - (Seduc – CE) O baricentro de uma área plana é o ponto no qual está localizado o centro de gravidade da área considerada. Na matemática, define-se o baricentro de uma área limitada por um triângulo como sendo o ponto de interseção das medianas do triângulo. Se no plano cartesiano os pontos (1, 6) e (3, 2) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto (5/3, 3), então, o terceiro vértice desse triângulo é o ponto:

A) (2/3, 1)

B) (1, 1)

C) (1, 4/3)

D) (2/3, 4/3)

E (1, 2/3)

Resolução

Alternativa B

Nomeando os vértices do triângulo de A, B e C, seja A(1,6) e B (3,2), como não conhecemos as coordenadas do terceiro vértice, faremos sua representação por C(x,y).

Sabemos que o baricentro é o ponto (5/3, 3). Substituindo na fórmula os valores dos pontos A, B e do baricentro, temos que:

Agora, encontraremos o valor de y:

Então, as coordenadas do ponto C são (1, 1).

Questão 2 - As coordenadas do baricentro do triângulo a seguir são:

A) (3, 2)

B) (2, 3)

C) (-2, 3)

D) (6, 4)

E) (-4, -6)

Resolução

Alternativa B

Identificando as coordenadas de cada um dos pontos, temos que A(-1, 3), B(1, 2) e C(6, 4).

Agora, calcularemos o baricentro:

As coordenadas do ponto G são (2, 3).