Como simplificar raiz quadrada de cinco

Simplificar uma raiz quadrada não é tão difícil quanto parece. Para simplificar uma raiz quadrada, você só tem que fatorar o número e puxar as raízes de quaisquer quadrados perfeitos que encontrar a partir do sinal do radical. Depois de memorizar alguns quadrados perfeitos comuns e saber como fatorar um número, você estará no caminho certo para simplificar a raiz quadrada.

Passos

Método 1 de 3: Simplificando uma raiz quadrada por fatoração

Etapa 1. Compreenda a fatoração

O objetivo de simplificar uma raiz quadrada é reescrevê-la de uma forma que seja fácil de entender e usar em problemas matemáticos. A fatoração divide um grande número em dois ou mais fatores menores, por exemplo, transformando 9 em 3 x 3. Uma vez que encontramos esses fatores, podemos reescrever a raiz quadrada em uma forma mais simples, às vezes até transformando-a em um inteiro normal. Por exemplo, √9 = √ (3x3) = 3. Siga as etapas abaixo para aprender este processo para raízes quadradas mais complicadas.

Etapa 2. Divida pelo menor número primo possível

Se o número sob a raiz quadrada for par, divida-o por 2. Se o seu número for ímpar, tente dividi-lo por 3. Se nenhum deles fornecer um número inteiro, mova para baixo na lista, testando os outros primos até obter um resultado de número inteiro. Você só precisa testar os números primos, uma vez que todos os outros números têm os números primos como seus fatores. Por exemplo, você não precisa testar 4, porque qualquer número divisível por 4 também é divisível por 2, o que você já tentou.

Etapa 3. Reescreva a raiz quadrada como um problema de multiplicação

Mantenha tudo abaixo do sinal da raiz quadrada e não se esqueça de incluir os dois fatores. Por exemplo, se você está tentando simplificar √98, siga a etapa acima para descobrir que 98 ÷ 2 = 49, então 98 = 2 x 49. Reescreva "98" na raiz quadrada original usando esta informação: √98 = √ (2 x 49).

Etapa 4. Repita com um dos números restantes

Antes de simplificar a raiz quadrada, continuamos a fatorá-la até que a dividamos em duas partes idênticas. Isso faz sentido se você pensar sobre o que uma raiz quadrada significa: o termo √ (2 x 2) significa "o número que você pode multiplicar por si mesmo para ser igual a 2 x 2." Obviamente, esse número é 2! Com esse objetivo em mente, vamos repetir as etapas acima para nosso problema de exemplo, √ (2 x 49):

• 2 já está fatorado tão baixo quanto possível. (Em outras palavras, é um dos números primos da lista acima.) Vamos ignorar isso por enquanto e tentar dividir 49 em vez disso.
• 49 não pode ser dividido igualmente por 2, ou por 3 ou por 5. Você pode testar isso sozinho usando uma calculadora ou divisão longa. Como eles não nos fornecem bons resultados com números inteiros, vamos ignorá-los e continuar tentando.
• 49 pode ser dividido uniformemente por sete. 49 ÷ 7 = 7, então 49 = 7 x 7.
• Reescreva o problema: √ (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).

Etapa 5. Conclua a simplificação "retirando" um número inteiro

Depois de decompor o problema em dois fatores idênticos, você pode transformá-lo em um número inteiro regular fora da raiz quadrada. Deixe todos os outros fatores dentro da raiz quadrada. Por exemplo, √ (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).

Mesmo que seja possível continuar a fatorar, você não precisa fazer isso depois de encontrar dois fatores idênticos. Por exemplo, √ (16) = √ (4 x 4) = 4. Se continuarmos a fatorar, acabaremos com a mesma resposta, mas teremos que trabalhar mais: √ (16) = √ (4 x 4) = √ (2 x 2 x 2 x 2) = √ (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4

Etapa 6. Multiplique os inteiros juntos se houver mais de um

Com algumas raízes quadradas grandes, você pode simplificar mais de uma vez. Se isso acontecer, multiplique os inteiros para obter o problema final. Aqui está um exemplo:

• √180 = √ (2 x 90)
• √180 = √ (2 x 2 x 45)
• √180 = 2√45, mas isso ainda pode ser mais simplificado.
• √180 = 2√ (3 x 15)
• √180 = 2√ (3 x 3 x 5)
• √180 = (2)(3√5)
• √180 = 6√5

Etapa 7. Escreva "não pode ser simplificado" se não houver dois fatores idênticos

Algumas raízes quadradas já estão na forma mais simples. Se você continuar a fatorar até que cada termo sob a raiz quadrada seja um número primo (listado em uma das etapas acima) e não haja dois iguais, então não há nada que você possa fazer. Você pode ter recebido uma pergunta capciosa! Por exemplo, vamos tentar simplificar √70:

• 70 = 35 x 2, então √70 = √ (35 x 2)
• 35 = 7 x 5, então √ (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2)
• Todos os três números são primos, portanto, não podem ser fatorados mais. Eles são todos diferentes, então não há como "puxar" um número inteiro. √70 não pode ser simplificado.

Método 2 de 3: conhecendo os quadrados perfeitos

Etapa 1. Memorize alguns quadrados perfeitos

Quadrar um número, ou multiplicá-lo por ele mesmo, cria um quadrado perfeito. Por exemplo, 25 é um quadrado perfeito porque 5 x 5 ou 52, é igual a 25. Memorizar pelo menos os dez primeiros quadrados perfeitos pode ajudá-lo a reconhecer e simplificar rapidamente as raízes quadradas perfeitas. Aqui estão os dez primeiros quadrados perfeitos:

• 12 = 1
• 22 = 4
• 32 = 9
• 42 = 16
• 52 = 25
• 62 = 36
• 72 = 49
• 82 = 64
• 92 = 81
• 102 = 100

Etapa 2. Encontre a raiz quadrada de um quadrado perfeito

Se você reconhecer um quadrado perfeito sob um símbolo de raiz quadrada, poderá imediatamente transformá-lo em sua raiz quadrada e se livrar do sinal radical (√). Por exemplo, se você vir o número 25 sob o sinal da raiz quadrada, saberá que a resposta é 5 porque 25 é um quadrado perfeito. Aqui está a mesma lista acima, indo da raiz quadrada à resposta:

• √1 = 1
• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √49 = 7
• √64 = 8
• √81 = 9
• √100 = 10

Etapa 3. Fatore os números em quadrados perfeitos

Use os quadrados perfeitos a seu favor ao seguir o método do fator de simplificação das raízes quadradas. Se você observar uma maneira de fatorar um quadrado perfeito, poderá economizar tempo e esforço. Aqui estão algumas dicas:

• √50 = √ (25 x 2) = 5√2. Se os dois últimos dígitos de um número terminarem em 25, 50 ou 75, você sempre poderá fatorar 25.
• √1700 = √ (100 x 17) = 10√17. Se os dois últimos dígitos terminarem em 00, você sempre poderá fatorar 100.
• √72 = √ (9 x 8) = 3√8. Reconhecer múltiplos de nove costuma ser útil. Há um truque para isso: se todos os dígitos em um número somam nove, então nove é sempre um fator.
• √12 = √ (4 x 3) = 2√3. Não há nenhum truque especial aqui, mas geralmente é fácil verificar se um pequeno número é divisível por 4. Lembre-se disso ao procurar os fatores.

Etapa 4. Fatore um número com mais de um quadrado perfeito

Se os fatores do número contiverem mais de um quadrado perfeito, mova todos para fora do símbolo radical. Se você encontrou vários quadrados perfeitos durante o processo de simplificação, mova todas as suas raízes quadradas para fora do símbolo √ e multiplique-os. Por exemplo, vamos simplificar √72:

• √72 = √ (9 x 8)
• √72 = √ (9 x 4 x 2)
• √72 = √ (9) x √ (4) x √ (2)
• √72 = 3 x 2 x √2
• √72 = 6√2

Método 3 de 3: conhecendo a terminologia

Etapa 1. Saiba que o símbolo do radical (√) é o símbolo da raiz quadrada

Por exemplo, no problema, √25, "√" é o símbolo radical.

Etapa 2. Saiba que o radicand é o número dentro do símbolo do radical

Você precisará encontrar a raiz quadrada desse número. Por exemplo, no problema √25, "25" é o radicandinho.

Etapa 3. Saiba que o coeficiente é o número fora do símbolo do radical

Este é o número pelo qual a raiz quadrada está sendo multiplicada; ele fica à esquerda do símbolo √. Por exemplo, no problema, 7√2, "7" é o coeficiente.

Etapa 4. Saiba que um fator é um número que pode ser dividido igualmente em outro número

Por exemplo, 2 é um fator de 8 porque 8 ÷ 4 = 2, mas 3 não é um fator de 8 porque 8 ÷ 3 não resulta em um número inteiro. Como outro exemplo, 5 é um fator de 25 porque 5 x 5 = 25.

Etapa 5. Compreenda o significado de simplificar uma raiz quadrada

Simplificar uma raiz quadrada significa apenas fatorar quaisquer quadrados perfeitos do radical radicular, movendo-os para a esquerda do símbolo do radical e deixando o outro fator dentro do símbolo do radical. Se o número for um quadrado perfeito, o sinal do radical desaparecerá assim que você escrever sua raiz. Por exemplo, √98 pode ser simplificado para 7√2.

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Pontas

Uma maneira de encontrar quadrados perfeitos que são fatorados em um número é examinar a lista de quadrados perfeitos, começando com aquele que é o próximo menor em comparação com o seu radicando, ou o número sob o sinal de raiz quadrada. Por exemplo, ao procurar o quadrado perfeito que vai para o 27, você pode começar no 25 e descer na lista até o 16 e parar no 9, quando encontrar aquele que se divide em 27

Avisos

• Calculadoras podem ser úteis para grandes números, mas quanto mais você praticar por conta própria, mais fácil ficará.
• Simplificar não é o mesmo que avaliar. Em nenhum momento deste processo você deve obter um número com uma vírgula decimal!