Como fazer raiz quadrada aproximada e exata

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Fórmula de extração de raiz quadrada aproximada
Raiz quadrada aproximada de 2
Raiz quadrada aproximada de 3
Raiz quadrada aproximada de 5
Tabela de raízes quadradas aproximadas
Números quadrados perfeitos e intervalos
Raízes quadradas e intervalos
Terminações, classe e ordens de quadrados perfeitos
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Extrair a raiz quadrada de determinados números inteiros as vezes são cálculos rápidos que podemos fazer mentalmente, outras vezes, temos que se valer de algoritmos como da Decomposição em Fatores Primos, algoritmo este também utilizado para se determinar o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) e MDC (Máximo Divisor Comum) e que é ensinado a partir do 6o ano do ensino fundamental.

Quando se tem que se extrair a raiz quadrada de números irracionais, fazemos também o uso de algoritmos que nos dão números decimais aproximados.

Um desses algoritmos, se encontra publicado na Coleção Lisa - Biblioteca da Matemática Moderna - volume 1 e aqui é apresentado fazendo-se estudo de como as raízes quadradas aproximadas obtidas por meio deste algoritmo se relacionam com raízes e números quadrados pefeitos.

√2 é um número irracional assim como todos os números que são representados por um número decimal infinito e não periódico.

Fórmula de extração de raiz quadrada aproximada

		N + Q
√N	=	__________
		2. √Q

Q	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

√Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Raiz quadrada aproximada de 2

√2 é um número irracional

Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado.

2 está próximo de Q=4 e √4

		2 + 4
√2	=	__________
		2. √4

Raiz quadrada aproximada de 3

√3 é um número irracional

Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado.

3 está próximo de Q=4 e √4

		3 + 4
√3	=	__________
		2. √4

Raiz quadrada aproximada de 5

√5 é um número irracional

Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado.

5 está próximo de Q=4 e √4

		5 + 4
√5	=	__________
		2. √4

Tabela de raízes quadradas aproximadas

A partir da fórmula apresentada acima, construiu-se a seguinte tabela de raízes quadradas aproximadas de alguns números que não são quadrados perfeitos e analizando mais detalhadamente observamos certas regularidades numéricas com a sequência dos números quadrados perfeitos, vejamos:

Tabela de raízes quadradas aproximadas

No	Quadrado			Q				2. √Q	Raiz
									aproximada

1	1
2		2	+	4	=	6	:	4	1,5
3		3	+	4	=	7	:	4	1,75
4	4
5		5	+	4	=	9	:	4	2,25
6		6	+	4	=	10	:	4	2,5
7		7	+	9	=	16	:	6	2,66
8		8	+	9	=	17	:	6	2,83
9	9
10		10	+	9	=	19	:	6	3,16
11		11	+	9	=	20	:	6	3,33
12		12	+	9	=	21	:	6	3,5
13		13	+	16	=	29	:	8	3,62
14		14	+	16	=	30	:	8	3,75
15		15	+	16	=	31	:	8	3,87
16	16
17		17	+	16	=	33	;;	8	4,12
18		18	+	16	=	34	;	8	4,25
19		19	+	16	=	35	:	8	4,37
20		20	+	16	=	36	:	8	4,5
21		21	+	25	=	46	:	10	4,6
22		22	+	25	=	47	:	10	4,7
23		23	+	25	=	48	:	10	4,8
24		24	+	25	=	49	:	10	4,9
25	25

2a) todo número elevado ao quadrado ou multiplicado por ele mesmo tem como resultado um número quadrado perfeito:

12 = 1

22 = 4

32 = 9

2b) Nem todo número é um quadrado perfeito:

1 é quadrado perfeito, pois tem raiz quadrada exata

2 não é quadrado perfeito

3 não e quadrado perfeito

4 é quadrado perfeito, pois tem raiz quadrada exata

2c) A diferença entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é um número ímpar:

4 - 1 = 3

9 - 4 = 5

16 - 9 = 7

2d) O intervalo entre dois números quadrados perfeitos consecutivos é um número par:

entre os quadrados 1 e 4 há um intervalo de 2 números

1	1
2		2	+	4	=	6	:	4	1,5
3		3	+	4	=	7	:	4	1,75
4	4

entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números

4	4
5		5	+	4	=	9	:	4	2,25
6		6	+	4	=	10	:	4	2,5
7		7	+	9	=	16	:	6	2,66
8		8	+	9	=	17	:	6	2,83
9	9

entre os quadrados 9 e 16 há um intervalo de 6 números

9	9
10		10	+	9	=	19	:	6	3,16
11		11	+	9	=	20	:	6	3,33
12		12	+	9	=	21	:	6	3,5
13		13	+	16	=	29	:	8	3,62
14		14	+	16	=	30	:	8	3,75
15		15	+	16	=	31	:	8	3,87
16	16

Números quadrados perfeitos e intervalos

Entre dois quadrados perfeitos consecutivos há sempre uma quantidade par de números que não são quadrados perfeitos, e de uma forma prática é só subtrair uma unidade da diferença entre dois quadrados perfeitos.

exemplo

9 - 4 = 5

5 - 1 = 4

Entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números.

4	4
5		5	+	4	=	9	:	4	2,25
6		6	+	4	=	10	:	4	2,5
7		7	+	9	=	16	:	6	2,66
8		8	+	9	=	17	:	6	2,83
9	9

Os números 5, 6, 7 e 8 não são quadrados perfeitos e estão entre os quadrados 4 e 9.

Os números 5 e 6 são somados com o quadrado mais próximo: o 4

Os números 7 e 8 são somados com o quadrado mais próximo: o 9.

Então qualquer que seja o intervalo entre dois números quadrados perfeitos consecutivos, uma metade dos números não quadrados perfeitos e será somada com o quadrado de valor mais baixo e a outra com o quadrado de valor mais alto.

Raízes quadradas e intervalos

Observando a tabela de raízes quadradas aproximadas, a medida que os números quadrados aumentam, aumentam também as diferenças e os intervalos entre dois números quadrados perfeitos consecutivos.

Os intervalos que são em quantidades pares são o dobro da raiz quadrada de determinado número quadrado perfeito.

Entre os quadrados 4 e 9 há um intervalo de 4 números.

O intervalo é o dobro da raiz quadrada de 4 (2 x 2 = 4)

4	4
5		5	+	4	=	9	:	4	2,25
6		6	+	4	=	10	:	4	2,5
7		7	+	9	=	16	:	6	2,66
8		8	+	9	=	17	:	6	2,83
9	9

Entre os quadrados 9 e 16 há um intervalo de 6 números.

O intervalo é o dobro da raiz quadrada de 9 (3 x 3 = 6).

9	9
10		10	+	9	=	19	:	6	3,16
11		11	+	9	=	20	:	6	3,33
12		12	+	9	=	21	:	6	3,5
13		13	+	16	=	29	:	8	3,62
14		14	+	16	=	30	:	8	3,75
15		15	+	16	=	31	:	8	3,87
16	16

Na Tabela da diferença entre números quadrados perfeitos a seguir, temos os números de 10 a 20 com seus respectivos quadrados e diferenças.

Entre os quadrados 100 e 400 temos 9 quadrados perfeitos e suas raízes.

Entre os quadrados 100 e 121 há 20 números que não são quadrados perfeitos e portanto de raízes decimais infinitas e não periódicas.

Tabela da diferença entre números quadrados perfeitos de 100 a 400

NÚMERO	QUADRADO	ÍMPARES (Diferença entre os números quadrados)
10

100 21 11 121 23 12 144 25 13 169 27 14 196 29 15 225 31 16 256 33 17 289 35 18 324 37 19 361 39 20 400 41

Para se extrair a raiz quadrada, seja ela exata ou aproximada de determinado número, por exemplo, o número 120, devemos observar sua classe e ordem, se e formado por unidades, dezenas, centenas, milhares, etc. e verificar em que faixa ele se encontra.

O número 120 se encontra na faixa do quadrado 100.

Entre o quadrado 100 de raiz 10 e o quadrado 400 de raiz 20 há nove quadrados perfeitos: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 e suas respectivas raízes: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e 19.

Entre o quadrado 100 de raiz 10 e o quadrado 121 de raiz 11 há vinte números que não são quadrados perfeitos: 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120.

Então, o número 120 se encontra entre os quadrados 100 e 121 e mais próximo do quadrado 121.

√120 é um número irracional

Podemos exprimí-lo por meio de um número decimal aproximado

120 está próximo de Q=121 e √121

		120 + 121
√120	=	__________
		2. √121

		241
√120	=	__________
		2. 11

Efetuando os cálculos em uma Calculadora Digital, obtem-se um número com 30 casas decimais:

√120 = 10,954451150103322269139395656016

Terminações, classe e ordens de quadrados perfeitos

Os números quadrados perfeitos têm terminações que facilitam no seu reconhecimento, observando a tabela abaixo, vemos que os quadrados perfeitos terminam em 1, 4, 9, 6, 5 e 0 e sempre nesta sequência: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0; 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0 e assim infinitamente.

Não há quadrados perfeitos terminados em 2, 3, 7 e 8.

Outra regularidade é que as sequências de números quadrados perfeitos se organizam em classes e ordens a medida que vão aumentando a quantidade de algarismos.

Números quadrados perfeitos - terminaçoes, classe e ordem

Número	Quadrado
Raiz

1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
20	400
30	900
40	1.600
50	2.500
60	3.600
70	4.900
80	6.400
90	8.100
100	10.000
200	40.000
300	90.000
400	160.000
500	250.000
600	360.000
700	490.000
800	640.000
900	810.000
1000	1.000.000

Autor: Ricardo Silva - dezembro/2017

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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