Como comparar solução numérica com analítica

Revista Eletrônica

Paulista de Matemática

Fonte: Myriad Semi-bold modicada

ISSN 2316-9664

Volume 17, fev. 2020

Edição Ermac

Gabriel de Oliveira Almeida

Faculdade de Ciências e Tecnologia

UNESP – Universidade Estadual

Paulista “Júlio de Mesquita Filho”

Rafael de Lima Sterza

Faculdade de Ciências e Tecnologia

UNESP – Universidade Estadual

Paulista “Júlio de Mesquita Filho”

Analice Costacurta Brandi

Faculdade de Ciências e Tecnologia

UNESP – Universidade Estadual

Paulista “Júlio de Mesquita Filho”

Solução numérica de problemas de valor de

fronteira por diferenças finitas e Shooting linear

Numerical solutions of boundary value problems by finite

difference and linear Shooting

Resumo

As equações diferenciais ordinárias aparecem com frequên-

cia em modelos que descrevem fenômenos em diversas áreas

como, engenharia, biologia, economia, biomedicina, entre ou-

tros. Apesar das classes dessas equações serem amplamente

estudadas, seus resultados dependem fortemente dos métodos

numéricos uma vez que podem sanar as dificuldades presentes

na resolução analítica, já que estas nem sempre admitem so-

luções. Nesse contexto, o propósito deste trabalho é estudar

e implementar os métodos numéricos na linguagem Matlab,

denominado método de diferenças finitas e método Shooting,

para encontrar soluções numéricas de problemas de valor de

fronteira de equações diferenciais ordinárias lineares, a fim de

comparar os resultados numéricos com a solução analítica para

verificar a eficiência do método utilizado.

Palavras-chave: Métodos Numéricos e Aplicações. Equações

Diferenciais Ordinárias. Problema de Valor de Fronteira.

Abstract

The ordinary differentials equations appear frequently in mo-

dels which describe phenomena in several areas like enginee-

ring, biology, economy, biomedicine, among others.

Although the classes of these equations are widely studied, their

results depend on strongly numerical methods since they can

solve the difficulties present in the analytical resolution, since

they do not always admit solutions. Thus, the purpose of this

paper is study and implement the numerical methods on Matlab

language, denominate finite difference method and Shooting

method, in order to find numerical solutions to boundary value

problems of linear ordinary differential equations in order to

compare the numerical results with the analytical solution to

verify the efficiency of the method used.

Keywords: Numerical Methods and Applications. Ordinary

Differential Equation. Boundary Value Problem.

Artigo recebido em set. 2019 e aceito em jan. 2020

1 Introdução

A teoria de equações diferenciais ordinárias (EDOs) é objeto de intensa atividade de pesquisa,

pois além da utilidade de tais equações na modelagem de diversos fenômenos que ocorrem nas mais

diversas áreas do conhecimento, seu estudo é motivado pelo interesse intrinsecamente matemático

que possuem. As equações diferenciais ordinárias são importantes representações teóricas de

processos de evolução em que a taxa de variação do estado do processo em cada instante de tempo

depende do processo nesse instante (ARENALES; DAREZZO, 2013).

Há métodos que resolvem analiticamente uma equação diferencial ordinária, todavia nem sempre

é possível obter uma solução analítica. Neste caso, os métodos numéricos são ferramentas eficazes

para se encontrar uma solução aproximada, podendo ser aplicado aos Problemas de Valor de Fronteira

(PVF), no qual têm-se uma equação diferencial e o valor da função no início e fim do domínio. O

cálculo computacional é possível somente através da discretização, que reduz o problema contínuo

em discreto. Além disso, há diversos tipos de métodos numéricos para encontrar a solução de

uma equação diferencial, tal como o método de diferenças finitas (KREYSZIG, 2006). Neste

contexto, o objetivo deste trabalho é tratar do estudo, da implementação e comparação de métodos

numéricos para a solução de equações diferencias ordinárias, em específico, para problemas de valor

de fronteira.

2 Formulação matemática

Um problema de valor de fronteira envolve uma equação diferencial de segunda ordem e condi-

ções da fronteira, isto é, a partir do primeiro valor da função que é conhecido, a solução é propagada

para último ponto do domínio, que seu valor também é explícito ao problema. Desse modo, o PVF

é dado por quatro constantes 𝑎, 𝑏, 𝛼 e𝛽com 𝑎 < 𝑏,

















𝑦00(𝑥)=𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦0(𝑥)),

𝑦(𝑎)=𝛼,

𝑦(𝑏)=𝛽.

(1)

Supondo que 𝑓é contínua no domínio 𝐷, tal que

𝐷={(𝑥, 𝑦, 𝑦0)| 𝑎6𝑥6𝑏, −∞ < 𝑦 < ∞,−∞ < 𝑦0<∞}.

Tem-se que 𝜕 𝑓

𝜕𝑦 e𝜕 𝑓

𝜕𝑦0também são contínuas em 𝐷se,

•𝜕 𝑓

𝜕𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑦0)>0,para todo (𝑥, 𝑦, 𝑦0) ∈ 𝐷.

•Existe uma constante M, tal que,

𝜕 𝑓

𝜕𝑦0(𝑥, 𝑦, 𝑦0)6𝑀, para todo (𝑥, 𝑦, 𝑦0) ∈ 𝐷 .

Desse modo, é possível afirmar que o problema de valor de fronteira possui uma única solução

(BURDEN; FAIRES, 2011), com 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦0)=𝑦00 (𝑥), onde a equação diferencial é linear, assumindo

a seguinte forma

𝑦00(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑦0+𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) + 𝑟(𝑥).

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3 Formulação numérica

O problema em estudo é formulado por uma equação diferencial e por condições auxiliares espe-

cíficas. Considerando o fato de que nem sempre existe solução analítica, já que essa é completamente

restrita a problemas lineares, que podem ser impossíveis de resolver, faz-se necessária a resolução do

problema de modo numérico. Os métodos numéricos são capazes de resolver problemas de alto nível

de complexidade, porém sempre sujeito a erros, independente do método utilizado, já que o modelo

matemático é uma adaptação do mundo real e é necessário impor restrições. Outro fator é que erros

de truncamento surgem dos meios numéricos e também são compostos por erros computacionais,

uma vez que computadores utilizam apenas números finitos para representar o conjunto dos reais, no

entanto, tais erros podem ser amenizados com o estudo da convergência, consistência e estabilidade

do método numérico, os quais, se respeitadas garantem a conformidade dos resultados numéricos à

solução analítica.

A primeira etapa para resolução de qualquer método numérico envolvendo equações diferenciais

é discretizar a região onde se procura a solução, desse modo, define-se uma malha, que representa

um conjunto finito de pontos pertencentes ao domínio, uniformemente espaçados por ℎ, os quais,

são conhecidos como nós da malha (CUNHA, 2000). Diante disso, a partir de 𝑥0+𝑛ℎ, para

𝑛=0,1, . . . , 𝑁 pode-se definir qualquer ponto na malha computacional, sabendo que 𝑥0define o

ponto inicial e 𝑥𝑁o ponto final.

4 Método de diferenças finitas

O desenvolvimento do método de diferenças finitas é com base na expansão da série de Taylor.

Supondo uma função 𝑓indefinidamente derivável e contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], esta pode ser

representada da seguinte forma

𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0) + ℎ 𝑓 0(𝑥0) + ℎ2𝑓00 (𝑥0)

2!

2

+ · · · + ℎ(𝑛−1)𝑓(𝑛−1)(𝑥0)

(𝑛−1)!+ℎ𝑁𝑓(𝑁)(𝜉)

𝑁!,(2)

sendo que ℎ=𝑥−𝑥0e𝜉∈ [𝑎, 𝑏]. O último quociente da equação é conhecido como resto 𝑅𝑛,

no qual corresponde aos termos restantes da série. A partir da Equação (2), pode ser estudados

diferentes tipos de aproximações para as derivadas, tais como diferenças progressivas e regressivas.

Para determinar a primeira derivada de uma função 𝑓, no ponto 𝑥𝑛=𝑛ℎ, deve-se expandir

𝑓(𝑥𝑛+ℎ)em série de Taylor em torno do ponto 𝑥𝑛, tem-se que

𝑓(𝑥𝑛+ℎ)=𝑓(𝑥𝑛) + ℎ 𝑓 0(𝑥𝑛) + ℎ2𝑓00 (𝑥𝑛)

2! +𝑂(ℎ3).

Desse modo, ao isolar a primeira derivada, obtém-se

𝑓0(𝑥𝑛)=

𝑓(𝑥𝑛+ℎ) − 𝑓(𝑥𝑛)

ℎ−ℎ2

2! 𝑓00(𝜉𝑛),(3)

onde 𝜉𝑛∈ [𝑥𝑛, 𝑥𝑛+ℎ].

A primeira derivada é dada pelo primeiro quociente e o termo restante ocorre devido a utilização

de um número finito de termos na série de Taylor, e é conhecido como erro de truncamento local

(ETL). O termo dominante no ETL, isto é, aquele que possui a menor potência, corresponde a ordem

do método que indica a variação do erro conforme o valor do espaçamento da malha, desse modo,

o método de diferença progressiva, dado pela Equação (3) é de primeira ordem (expressa por O(h)),

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ou seja, varia linearmente conforme o refinamento de ℎ(FORTUNA, 2012). O método é conhecido

como progressivo, pois utiliza um ponto adiante na malha para o cálculo da primeira derivada.

De modo análogo, é possível determinar a aproximação regressiva, no qual utiliza um ponto

atrás na malha para o cálculo da primeira derivada, também de primeira ordem, dada por

𝑓0(𝑥)=

𝑓(𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛−ℎ)

ℎ+ℎ

2𝑓00(𝜉𝑛).(4)

Para derivadas de alta ordem deve-se manipular as expansões de Taylor, assim como para a

derivada de 𝑓de segunda ordem, basta apenas somar as Equações (3) e (4), de maneira a eliminar a

primeira derivada, mantendo a segunda expressão total, logo

𝑓(𝑥𝑛+ℎ) + 𝑓(𝑥𝑛−ℎ)=2𝑓(𝑥𝑛) + ℎ2𝑓00(𝑥𝑛) + ℎ4

4! 𝑓(4)(𝜁1) + 𝑓(4)(𝜁2).

Utilizando o Teorema do Valor Intermediário para o erro de truncamento e realizando algumas

manipulações algébricas, tem-se

𝑓00(𝑥𝑛)=

𝑓(𝑥𝑛+ℎ) − 2𝑓(𝑥𝑛) + 𝑓(𝑥𝑛−ℎ)

2ℎ−ℎ2

12 𝑓(4)(𝜁),(5)

sendo essa aproximação de segunda ordem 𝑂(ℎ2)e é a mais utilizada para determinar a segunda

derivada de uma função (FORTUNA, 2012).

A partir do PVF (1), torna-se necessário substituir suas derivadas pelo método de diferenças

finitas e diferentes fórmulas podem ser obtidas, sendo que o primeiro utiliza-se a Equação (3) e o

segundo a Equação (4) para substituir a derivada de primeira ordem, já a derivada de segunda ordem

utiliza-se a Equação (5) para ambos os métodos.

4.1 Fórmula progressiva

Considerando o PVF (1), realiza-se as substituições das derivadas pelas aproximações dada pelo

método de diferenças finitas, tem-se que

𝑦𝑛+1−2𝑦𝑛+𝑦𝑛−1

ℎ2+𝑦𝑛+1−𝑦𝑛

ℎ𝑝(𝑥𝑛) + 𝑦𝑛𝑞(𝑥𝑛)=𝑟(𝑥𝑛).

Basta multiplicar por ℎ2para eliminar as frações, obtém-se

(𝑦𝑛−1−2𝑦𝑛+𝑦𝑛+1)+ℎ(𝑦𝑛+1−𝑦𝑛)𝑝(𝑥𝑛) + ℎ2𝑦𝑛𝑞(𝑥𝑛)=ℎ2𝑟(𝑥𝑛).

E, ainda, equivale a seguinte equação

𝑦𝑛−1+−2−ℎ𝑝(𝑥𝑛) + ℎ2𝑞(𝑥𝑛)𝑦𝑛+(1+ℎ 𝑝 (𝑥𝑛))𝑦𝑛+1=ℎ2𝑟(𝑥𝑛).

Têm-se

𝑎𝑛=−2−ℎ𝑝(𝑥𝑛) + ℎ2𝑞(𝑥𝑛),

𝑏𝑛=1,

𝑐𝑛=1+ℎ𝑝(𝑥𝑛).

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4.2 Fórmula regressiva

De maneira análoga a fórmula progressiva, considerando o PVF (1) e substituindo as derivadas

pelas aproximações dadas pelo método de diferenças finitas, tem-se que

𝑦𝑛+1−2𝑦𝑛+𝑦𝑛−1

ℎ2+𝑦𝑛−𝑦𝑛−1

ℎ𝑝(𝑥𝑛) + 𝑦𝑛𝑞(𝑥𝑛)=𝑟(𝑥𝑛).

Basta multiplicar por ℎ2para eliminar as frações, obtém-se

(𝑦𝑛−1−2𝑦𝑛+𝑦𝑛+1)+ℎ(𝑦𝑛−𝑦𝑛−1)𝑝(𝑥𝑛) + ℎ2𝑦𝑛𝑞(𝑥𝑛)=ℎ2𝑟(𝑥𝑛).

E, ainda, equivale a seguinte equação

(1−ℎ𝑝(𝑥𝑛))𝑦𝑛−1+−2+ℎ𝑝(𝑥𝑛) + ℎ2𝑞(𝑥𝑛)𝑦𝑛+𝑦𝑛+1=ℎ2𝑟(𝑥𝑛).

Têm-se

𝑎𝑛=−2+ℎ𝑝(𝑥𝑛) + ℎ2𝑞(𝑥𝑛),

𝑏𝑛=1−ℎ𝑝(𝑥𝑛),

𝑐𝑛=1.

4.3 Sistema de equações lineares

É notável que ambos métodos possuem formas equivalentes 𝑏𝑛𝑦𝑛−1+𝑎𝑛𝑦𝑛+𝑐𝑛𝑦𝑛+1=ℎ2𝑟(𝑥𝑛),

porém os cálculos das variáveis 𝑎𝑛,𝑏𝑛e𝑐𝑛são diferentes, desse modo, torna-se possível montar um

sistema de equações lineares de modo genérico, que pode ser escrito na forma matricial, junto as

condições de fronteira, dado por

𝐴𝑌 =𝑅.

©«

𝑎1𝑐10. . . 0

𝑏2𝑎2𝑐2. . . 0

.

.

...........

.

.

0. . . 𝑏𝑁−1𝑎𝑁−1𝑐𝑁−1

0 0 . . . 𝑏𝑁𝑎𝑁

ª®®®®®®¬

| {z }

𝐴

©«

𝑦1

𝑦2

.

.

.

𝑦𝑁−1

𝑦𝑁

ª®®®®®®¬

| {z }

𝑌

=©«

ℎ2𝑟(𝑥1) − 𝛼𝑏1

ℎ2𝑟(𝑥2)

.

.

.

ℎ2𝑟(𝑥𝑁−1)

ℎ2𝑟(𝑥𝑁) − 𝛽𝑐𝑁

ª®®®®®®¬

| {z }

𝑅

.(6)

Nota-se que a matriz 𝐴é tridiagonal, desse modo, deve-se utilizar um método para sistemas

lineares que melhor aproveite a esparsidade da matriz, tais como os métodos iterativos, em que não

realizam o preenchimento da matriz durante os cálculos, provendo maior aproveitamento compu-

tacional (CUNHA, 2000). Nesse trabalho, foi considerado o método de Gauss-Seidel descrito na

Seção 4.3.1.

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Deve-se cogitar a unicidade da solução numérica ao aplicar o método iterativo e, para isso, a

matriz 𝐴deve ser inversível, e exigir que seja diagonalmente dominante, de forma que

|𝑎1|>|𝑐1|,

|𝑎𝑛|>|𝑏𝑛|+|𝑐𝑛|,

|𝑎𝑁|>|𝑏𝑁|.

Vale lembrar que det(𝐴)  1, haverá instabilidade numérica para solução do sistema linear,

desse modo, quanto maior a dominância da diagonal, tenderá a maior estabilidade. (CUMINATO;

MENEGUETTE JUNIOR, 2013).

4.3.1 Método de Gauss-Seidel

Para aproveitar da estrutura de dados gerado na resolução do PVF, uma matriz esparsa, implementa-

se um método que tenha menor impacto computacional e maior precisão no resultado. Desse modo,

considere um sistema linear 𝑆𝑛de 𝑛equações e 𝑛incógnitas, dado por

𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+ · · · + 𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1,

𝑎21𝑥1+𝑎12𝑥2+ · · · + 𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2,

.

.

.

𝑎𝑛1𝑥1+𝑎𝑛2𝑥2+ · · · + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑛.

Podendo ser escrito sob a forma matricial

𝐴𝑥 =𝑏, (7)

em que 𝐴é uma matriz quadrada de ordem 𝑛,𝑥e𝑏são vetores colunas de 𝑛×1conhecidos como,

respectivamente, vetor solução e vetor de termo independente.

Sabe-se que o método de Gauss-Seidel é método iterativo que consiste em obter a solução a

partir de uma sequência de correções no vetor solução (FRANCO, 2006), podendo convergir para

solução do sistema, caso exista, após número infinito de passos. Por isso, há a necessidade de impor

uma condição de parada que pode ser dado ao atingir uma quantidade de iterações pré estabelecida

ou se assim que respeitada uma dada precisão 𝜉, o processo iterativo deve ser finalizado, isto é

|𝑥(𝑘)−𝑥(𝑘−1)|∞

|𝑥(𝑘)|∞

< 𝜉,

em que 𝑘refere-se a cada passo da solução do sistema. Outro fator presente nos métodos iterativos

é a independência em relação ao chute inicial, uma vez que, se solução do sistema existir, a má

escolha do chute inicial pode afetar apenas na quantidade de iterações até respeitar a precisão do

método, por isso são conhecidos como métodos que se autocorrigem (FRANCO, 2006).

No método de Gauss-Seidel, 𝑥(𝑘+1)

𝑖são utilizados imediatamente nos cálculos seguintes assim

que seus valores forem obtidos. Pode-se escrever o sistema de equações 𝑆𝑛em

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𝑥(𝑘+1)

1=

𝑦1− (𝑎12𝑥(𝑘)

2+ · · · + 𝑎1𝑛𝑥(𝑘)

𝑛)

𝑎11

,

𝑥(𝑘+1)

2=

𝑦2− (𝑎21𝑥(𝑘+1)

1+ · · · + 𝑎2𝑛𝑥(𝑘)

𝑛)

𝑎22

,

.

.

.

𝑥(𝑘+1)

𝑛=

𝑦𝑛− (𝑎𝑛1𝑥(𝑘+1)

1+ · · · + 𝑎𝑛,𝑛−1𝑥(𝑘+1)

𝑛−1)

𝑎𝑛𝑛

.

Por fim, fórmula geral do processo iterativo é dada por

𝑥(1)

𝑖=valor inicial,

𝑥(𝑘+1)

𝑖=©«𝑦𝑖−

𝑖−1

Õ

𝑗=1

𝑎𝑖 𝑗 𝑥(𝑘+1)

𝑗−

𝑛

Õ

𝑗=𝑖+1

𝑎𝑖 𝑗 𝑥(𝑘)

𝑗ª®¬,𝑎𝑖𝑖 .

5 Método Shooting

O método Shooting para equações lineares é baseado em tornar o problema de valor de fronteira

em dois problemas de valores iniciais, dados por

















𝑦00(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑦0(𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) + 𝑟(𝑥), 𝑎 6𝑥6𝑏,

𝑦(𝑎)=𝛼,

𝑦0(𝑎)=0.

(8)

















𝑦00(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑦0(𝑥) + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥), 𝑎 6𝑥6𝑏,

𝑦(𝑎)=0,

𝑦0(𝑎)=1.

(9)

Seja a solução única de (8) e (9) concebida por 𝑦1(𝑥)e𝑦2(𝑥), respectivamente, então

𝑦(𝑥)=𝑦1(𝑥) + 𝛽−𝑦1(𝑏)

𝑦2(𝑏)𝑦2(𝑥),(10)

é solução única do PVF. Desse modo, deve-se encontrar as soluções 𝑦1(𝑥)e𝑦2(𝑥)utilizando métodos

numéricos para problemas de valor inicial (PVIs), tal como, o método de Runge-Kutta de 4ªordem.

Após a obtenção dos valores numéricos para (8) e (9) é possível defrontar-se com a solução numérica

reescrevendo a Equação (10) para percorrer toda a malha computacional, ou seja, a solução do PVF

é dada por

𝑦𝑛=𝑦1,𝑛 +𝛽−𝑦1(𝑏)

𝑦2(𝑏)𝑦2,𝑛, 𝑛 =0, . . . 𝑁.

O método de Runge-Kutta de 4ªordem foi aplicado para encontrar a aproximação 𝑦1(𝑥)e𝑦2(𝑥),

mas qualquer outro método que seja capaz de resolver um problema de valor inicial pode ser utilizado.

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6 Resultados numéricos

Considerando um problema de valor de fronteira

𝑦00(𝑥)=−4

𝑥𝑦0−2

𝑥2𝑦+2

𝑥2ln(𝑥),16𝑥62, 𝑦 (1)=

1

2, 𝑦(2)=ln(2),(11)

cuja solução analítica é dada por

𝑦(𝑥)=−1

𝑥2(2−4𝑥+3

2𝑥2−𝑥2ln(𝑥)).

Trata-se de um problema com equação diferencial linear que para os métodos de diferenças

finitas, têm-se 𝑝(𝑥)=4

𝑥,𝑞(𝑥)=2

𝑥2e𝑟(𝑥)=2

𝑥2ln(𝑥). E para o método Shooting 𝑝(𝑥)=−4

𝑥,

𝑞(𝑥)=−2

𝑥2e𝑟(𝑥)=2

𝑥2ln(𝑥), em que sua solução numérica é encontrada através de dois problemas

de valor inicial, dados por

𝑦00

1(𝑥)=−4

𝑥𝑦0

1(𝑥) − 2

𝑥2𝑦1+2

𝑥2ln(𝑥),16𝑥62, 𝑦1(1)=

1

2, 𝑦0

1(1)=0,

e

𝑦00

2(𝑥)=−4

𝑥𝑦0

2(𝑥) − 2

𝑥2𝑦2,16𝑥62, 𝑦2(1)=0, 𝑦0

2(1)=1.

A Figura 1(a) representa as soluções numéricas e analítica, onde é notável o afastamento da

solução numérica da fórmula regressiva perante a solução analítica. A Figura 1(b) representa o erro

absoluto dos métodos numéricos, calculado por 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑛=|𝑦(𝑥𝑛) − 𝑦𝑛|, em que 𝑦(𝑥𝑛)equivale a

solução analítica e 𝑦𝑛é a solução numérica, também nota-se que o eixo das ordenadas do gráfico

está em escala logarítmica e para o problema foi resolvido utilizando espaçamento fixo ℎ=0.1.

(a) Soluções numéricas e analítica. (b) Erro absoluto na escala logarítmica.

Figura 1: Solução numérica do PVF.

Nota-se que o método Shooting obteve melhor aproximação à solução analítica, já que foi

utilizado o método de Runge-Kutta de 4ªordem (𝑂(ℎ4)) e os métodos de diferenças finitas são de

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primeira ordem (𝑂(ℎ)). Para aumentar a precisão das diferenças finitas e obter resultados próximos

ao de Shooting, pode-se utilizar a fórmula de Taylor de 5ªordem e encontrar aproximações de 𝑦00(𝑥𝑛)

e𝑦0(𝑥), já que, após as manipulações algébricas, forma-se um método com erro de truncamento

de 4ªordem, porém não haverá pontos conhecidos o suficiente para sua resolução. Além disso,

o sistema de equações não apresenta forma tridiagonal como no sistema linear (6), dificultando a

resolução do problema (BURDEN; FAIRES, 2011).

Considerando o problema de valor de fronteira com equação diferencial linear, dado por

𝑦00(𝑥)=−2

𝑥𝑦0(𝑥) + 2

𝑥2𝑦+sin(ln(𝑥))

𝑥2,16𝑥62, 𝑦(1)=1, 𝑦(2)=2,

cuja solução exata é dada por

𝑦(𝑥)=𝑐1𝑥+𝑐2

𝑥2−3

10 sin(ln(𝑥)) − 1

10 ln(𝑥),

em que

𝑐2=

1

70 (8−12 sin(ln(2) − 4𝑐𝑜 𝑠(ln(2))≈ −0.03920701320,

𝑐1=

11

10 −𝑐2≈1.1392070132.

Para esse problema foi considerada quatro malhas: grossa (ℎ=0.2), intermediária grossa

(ℎ=0.1), intermediária fina (ℎ=0.05) e fina (ℎ=0.025), para que possa analisar o comportamento

da solução numérica diante do refinamento do espaçamento, já que tal processo é sempre suscetível

a inconsistências computacionais e numéricas. A Tabela 1 representa o maior erro absoluto, dado

por 𝐸𝑟𝑟 𝑜𝑚𝑎𝑥 =max1<𝑛< (𝑁−1)𝐸𝑟𝑟𝑜𝑛.

Tabela 1: Maior erro presente na solução numérica para diferentes espaçamentos ℎ.

ℎRegressiva Progressiva Shooting

0.2 2.8622𝑒−02 1.9159𝑒−02 2.7355𝑒−06

0.1 1.2102𝑒−02 9.6531𝑒−03 1.3436𝑒−07

0.05 3.8716𝑒−03 3.3862𝑒−03 7.7517𝑒−09

0.025 1.0914𝑒−03 1.0031𝑒−03 4.6393𝑒−10

Pode-se observar que as soluções numéricas melhoraram, uma vez que o maior erro absoluto

decaiu em todos os casos estudados, demonstrando também a competitividade entre os dois métodos

de diferenças finitas. É perceptível a eficiência do método Shooting, já que para a malha grossa,

obteve melhores resultados que outros métodos utilizando a malha fina. Isso mostra que o método

Shooting consegue obter resultados melhores com menor esforço computacional, pois para espaça-

mentos maiores, apresenta menos pontos na malha para efetuar os cálculos e completar a solução

numérica, ou seja, apresenta menos operações computacionais para aproximar a solução do PVF.

Além disso, o método é menos suscetível à instabilidades numéricas e computacionais implicando

na velocidade mais veloz de execução do método numérico somado ao fato que não necessita da

resolução de um sistema linear, em que é comprovado pela Tabela 2 no qual é exposta o tempo de

execução de cada método numérico para PVF.

ALMEIDA, G. O.; STERZA, R. L.; BRANDI, A. C. Solução numérica de problemas de valor de fronteira por diferenças finitas e Shooting linear.

C.Q.D. – Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 17, p. 106–116, fev. 2020. Edição Ermac.

DOI: 10.21167/cqdvol17ermac202023169664goarlsacb106116 Disponível em: www.fc.unesp.br/departamentos/matematica/revista-cqd/

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Tabela 2: Tempo de execução em segundos para diferentes espaçamentos ℎ.

h\Tempo Regressivo Progressivo Shooting

0.2 0.017014𝑠0.018107𝑠0.002999𝑠

0.1 0.019679𝑠0.017150𝑠0.002218𝑠

0.05 0.150274𝑠0.019376𝑠0.003206𝑠

0.025 0.210310𝑠0.015853𝑠0.002302𝑠

7 Conclusão

O presente trabalho teve como objetivo estudar e comparar métodos para problemas de valores

de fronteira. Os métodos de diferenças finitas foi utilizado para aproximar as derivadas presentes nas

equações diferenciais e também para desenvolver métodos conhecidos como fórmula progressiva

e fórmula regressiva. Ambos apresentaram soluções coerentes com a solução analítica, apesar

dos resultados similares, a fórmula progressiva apresenta melhor aproximação para os problemas

apresentados.

Para obtenção de uma solução ainda mais próxima, o método Shooting demonstrou-se eficaz,

já que resolve o PVF considerando dois problemas de valores iniciais, e desse modo, pode utilizar

métodos mais eficientes de problema de valor inicial disponíveis na literatura, resultando em erros

que podem ser considerados desprezíveis, ainda mais com o refinamento da malha computacional.

8 Agradecimentos

Agradecemos o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo

auxílio financeiro no desenvolvimento deste trabalho.

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