O seno o cosseno e a tangente do ângulo b são respectivamente

Seno, cosseno e tangente de um ângulo

Em um triângulo retângulo, definimos seno, cosseno e tangente como razões entre medidas de dois lados relativos a um determinado ângulo. Seno é a razão entre as medidas do cateto oposto e da hipotenusa, o cosseno é a razão entre as medidas do cateto adjacente e da hipotenusa e a tangente é a razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente.

No triângulo abaixo, temos:

Secante, cossecante e cotangente de um ângulo. (Tabela Trigonométrica e Ângulos Notáveis)

Razão trigonométrica estabelece a relação entre dois lados de um triângulo retângulo e um dos seus ângulos que não seja o ângulo reto. E para isto, deve-se conhecer o valor do seno, cosseno ou tangente do ângulo em questão. Existe uma tabela, chamada de tabela trigonométrica, que informa os valores de seno, cosseno e tangente para todos os valores inteiros de ângulos de 1° a 89°. 
Esta tabela ou seus valores são fornecidos nas provas a não ser que estes ângulos sejam 30°, 45° e 60°, que chamamos de ângulos notáveis, e seus valores são:

Ângulos Notáveis. (Lei dos Senos e Lei dos Cossenos)

Além das razões trigonométricas mais comuns em um triângulo retângulo que são seno, cosseno e tangente, também existe o inverso de cada uma dessas razões, chamadas de secante, cossecante e cotangente, que são as razões inversas do cosseno, seno e tangente, respectivamente. 
Assim, no triângulo retângulo abaixo, essas razões são:

Exemplos. (Exercícios Resolvidos)

Para triângulos retângulos, quando necessário, utilizam-se as razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente. Mas se os triângulos não são retângulos, essas razões não podem ser utilizadas diretamente. Como isso, faz-se necessário a utilização da Lei dos Senos e da Lei dos Cossenos.
 A Lei dos Senos é

sendo a, b, c as medidas dos lados de um triângulo e seus respectivos ângulos opostos medem

sendo a, b, c as medidas dos lados de um triângulo cujo ângulo oposto ao lado de medida a é . 

Muitos problemas de trigonometria fornecem uma das relações trigonométricas em um triângulo retângulo e querem saber o valor de outra relação trigonométrica. Um caminho para resolver este tipo problema é usar a Relação Fundamental da Trigonometria

e a relação entre as três principais relações trigonométricas:

Mas uma maneira mais rápida para solucionar estes problemas é usar o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo auxiliar, por exemplo, se o seno de um ângulo de um triângulo retângulo é

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

As razões (ou relações) trigonométricas estão relacionadas com os ângulos de um triângulo retângulo. As principais são: o seno, o cosseno e a tangente.

As relações trigonométricas são resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, e por isso são chamadas de razões.

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo recebe esse nome pois apresenta um ângulo chamado de reto, que possui o valor de 90°.

Os outros ângulos do triângulo retângulo são menores que 90°, chamados de ângulos agudos. A soma dos ângulos internos é de 180°.

Observe que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são chamados de complementares. Ou seja, se um deles tem medida x, o outro terá a medida (90°- x).

Lados do Triângulo Retângulo: Hipotenusa e Catetos

Antes de mais nada, temos que saber que no triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e o maior lado do triângulo. Já os catetos são os lados adjacentes e que formam o ângulo de 90°.

Note que dependendo dos lados de referência ao ângulo, temos o cateto oposto e o cateto adjacente.

Feita essa observação, as razões trigonométricas no triângulo retângulo são:

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Lê-se cateto oposto sobre o cateto adjacente.

Vale lembrar que pelo conhecimento de um ângulo agudo e a medida de um dos lados de um triângulo retângulo, podemos descobrir o valor dos outros dois lados.

Saiba mais:

Ângulos Notáveis

Os chamados ângulos notáveis são os que surgem com maior frequência nos estudos de razões trigonométricas.

Veja a tabela abaixo com o valor dos ângulos de 30°; 45° e 60°:

Tabela Trigonométrica

A tabela trigonométrica apresenta os ângulos em graus e os valores decimais do seno, cosseno e tangente. Confira abaixo a tabela completa:

Saiba mais sobre o tema:

Aplicações

As razões trigonométricas possuem muitas aplicações. Assim, conhecendo os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo, podemos fazer diversos cálculos geométricos.

Um exemplo notório, é o cálculo realizado para descobrir o comprimento de uma sombra ou de um prédio.

Exemplo

Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5m de altura quando o sol está a 30° acima do horizonte?

Tg B = AC / AB = 5/s

Uma vez que B = 30° temos que a:

Tg B = 30° = √3/3 = 0,577

Logo,

0,577 = 5/s s = 5/0,577

s = 8,67

Portanto, o tamanho da sombra é de 8,67 metros.

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

a) 2√3 b) √3/3 c) √3/6 d) √20/20

e) 3√3

2. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) 6√3 m. b) 12 m. c) 13,6 m. d) 9√3 m.

e) 18 m.

3. (UEPB) Duas ferrovias se cruzam segundo um ângulo de 30°. Em km, a distância entre um terminal de cargas que se encontra numa das ferrovias, a 4 km do cruzamento, e a outra ferrovia, é igual a:

a) 2√3 b) 2 c) 8 d) 4√3

e) √3

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