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A função raiz é identificada quando na lei de formação da função a variável se encontra dentro de um radical. A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz. Como a maioria dos valores da imagem de uma raiz é um número irracional, a função raiz é considerada uma função irracional.
O conjunto do domínio da função possui restrição quando o índice da função for par, pois o radicando necessariamente tem que ser positivo para que exista raiz. No estudo das funções, é sempre possível realizar sua representação gráfica.
Veja também: Função polinomial — função em que a lei de formação pode ser descrita por um polinômio
Resumo sobre função raiz
-
A função raiz possui em sua lei de formação uma variável dentro do radical.
-
É preciso analisar o índice do radical da raiz para encontrar seu domínio.
-
Quando a função raiz possui índice par, o seu radicando é necessariamente positivo.
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Não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.
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A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz, sendo a primeira a mais comum.
Função raiz: o que é?
Quando uma função possui uma ou mais variáveis dentro de um radical, a chamamos de função raiz. Ela sempre terá uma raiz de índice n, sendo que a função raiz mais comum é a função raiz quadrada. Veja a lei de formação de algumas funções raiz a seguir:
➝ Lei de formação de algumas funções raiz
-
\(f\left(x\right)=\sqrt x\)
-
\(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}\)
-
\(h\left(x\right)=1+\sqrt[3]{x-2}\)
-
\(i\left(x\right)=\sqrt[4]{\frac{x}{3}}\)
Para calcular o valor numérico de uma função raiz, basta realizarmos a substituição da sua variável pelo valor desejado. Vale ressaltar que em muitos casos, o valor numérico de uma função raiz é um número irracional.
➝ Exemplos de cálculo da função raiz
Dada a função \(f\left(x\right)=\sqrt{x-4}\), calcule:
a) \(f\left(13\right)\)
b) \(f\left(7\right)\)
Resolução:
a) \(f\left(13\right)\)
Quando x = 13, temos:
\(f\left(13\right)=\sqrt{13-4}=\sqrt9=3\)
b) \(f\left(7\right)\)
Quando x = 7, temos:
\(f\left(7\right)=\sqrt{7-4}=\sqrt3\)
Como a \(\sqrt3\) é um número irracional, podemos afirmar que \(f\left(7\right)=\sqrt3\). Caso seja necessário calcular a raiz quadrada, utilizamos uma aproximação para essa raiz, como 1,7.
Dada a função \(g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2x\), calcule \(g\left(8\right)\).
Resolução:
\(g\left(8\right)=\sqrt[3]{8}+2\cdot8\)
\(g\left(8\right)=2+16\)
\(g\left(8\right)=18\)
Domínio de uma função raiz
No estudo de uma função raiz, conhecendo a sua lei de formação, é importante compreender que nem sempre o domínio de uma função é o conjunto dos números reais, pois existe uma restrição na radiciação quando o índice da função é par. Sabemos que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.
Considere a função a seguir:
\(f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}\)
Qual é o conjunto domínio dessa função quando a analisamos no conjunto dos números reais?
Resolução:
Para que exista imagem para um determinado valor de x, temos:
\(3x\ +\ 4\ \geq\ 0\ \)
\(3x\ \geq\ -\ 4\ \)
\(x\geq-\frac{4}{3}\)
Assim, o domínio dessa função é:
\({\ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -\frac{4}{3}}\)
Quando o índice da função raiz é ímpar, o domínio da função não tem restrição, podendo ser o conjunto dos números reais. |
Saiba também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função — qual a diferença?
Gráfico da função raiz
O gráfico da função raiz é sempre crescente.
Quando a função raiz possui um índice par, seu gráfico estará somente no 1º quadrante:
Gráfico da função raiz com índice par. Perceba que ao aumentar o valor do índice, a função continua crescente. |
Quando a função possui índice ímpar, o gráfico da função raiz estará tanto no 1º quanto no 3º quadrante.
Leia também: Como é o gráfico de uma função exponencial?
Exercícios resolvidos sobre função raiz
Questão 1
Analisando a função \(\ f:\ A\ \rightarrow B\ \), com lei de formação \(f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-4}\), julgue as afirmativas a seguir:
I) O domínio dessa função é necessariamente os valores de x, tal que \(x\geq\ 4\).
II) \(f\left(-4\right)=-2\)
III) Essa função é uma função raiz.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é falsa.
B) Somente a afirmativa II é falsa.
C) Somente a afirmativa III é falsa.
D) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Resolução:
Alternativa A
I) Falsa
Como o índice da raiz é igual a 3, um número ímpar, o domínio dessa função pode ser o conjunto dos números reais, não havendo uma restrição para o valor de x.
II) Verdadeira
Calculando \(f\left(-4\right)\), temos:
\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-4-4}\)
\(f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-8}\)
\(f\left(-4\right)=-2\)
III) Verdadeira
Como a variável está dentro do radical, essa função é de fato uma função raiz.
Questão 2
Analisando a função \(f\left(x\right)=\sqrt{2x+6}\) no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:
A) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 2}\)
B) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -6}\)
C) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -3}\)
D) \(D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 4}\)
Resolução:
Alternativa C
Analisando a lei de formação, temos:
\(2x\ +\ 6\ \geq\ 0\)
\(2x\ \geq\ -6\)
\(x\geq\frac{-6}{2}\)
\(x\ \geq\ -3\ \)
Portanto:
\(D\ =\ x\ \in\ R\ |\ x\ \geq\ -3\)
Função raiz é a função que possui pelo menos uma variável dentro de um radical. Ela é chamada também de função irracional, sendo a mais comum delas a raiz quadrada, porém existem outras, como a função raiz cúbica, entre outros índices possíveis.
Para encontrar o domínio de uma função raiz, é importante analisar o índice. Quando o índice é par, o radicando deve ser positivo por condição de existência da raiz. Já o contradomínio da função raiz é o conjunto dos números reais. Também é possível fazer a representação gráfica de uma função raiz.
Saiba mais: Domínio, contradomínio e imagem — o que cada um representa?
Resumo sobre função raiz
-
A função raiz é aquela que possui uma variável dentro do radical.
-
Para encontrar o domínio da função raiz, é necessário analisar o índice do radical.
-
Se o índice da raiz for par, no radicando só haverá valores reais positivos.
-
Se o índice da raiz for ímpar, o domínio será os números reais.
-
-
A função raiz quadrada é a mais comum entre as funções raiz.
-
A função raiz quadrada possui gráfico sempre crescente e positivo.
O que é a função raiz?
Classificamos qualquer função que possua uma variável dentro do radical como função raiz. De forma análoga, podemos considerar como função raiz aquela que possui uma variável elevada a um expoente igual a uma fração própria, que são frações que possuem o numerador menor que o denominador, pois sempre que necessário podemos transformar um radical em uma potência com expoente fracionário.
Como calcular a função raiz
Conhecendo a lei de formação de uma função raiz, deve-se calcular o valor numérico da função. Assim como em todas as funções que estudamos, calculamos o valor numérico da função substituindo a variável pelo valor desejado.
Dada a função f(x) = 1 + √x, encontre o valor de:
a) f(4)
Substituindo x = 4, temos:
f(4) = 1 + √4
f(4) = 1 + 2
f(4) = 5
Essas funções são conhecidas como irracionais pelo fato de que a maioria das suas imagens são números irracionais. Por exemplo, se calcularmos f(2), f(3) para essa mesma função:
b) f(2) = 1 + √2
c) f(3) = 1 + √3
Deixamos representado dessa forma, como uma adição entre 1 e o número irracional. Entretanto, quando necessário, podemos utilizar uma aproximação para essas raízes não exatas.
Veja também: Função inversa — o tipo de função que faz exatamente o inverso da função f(x)
Domínio e contradomínio de uma função raiz
Quando estudamos uma função raiz, é fundamental analisar caso a caso, para que seja possível definir bem o seu domínio. O domínio depende diretamente do índice da raiz e do que está em seu radicando. Já o contradomínio de uma função raiz é sempre o conjunto dos números reais.
Vejamos a seguir alguns exemplos:
Começando pela função raiz mais comum e mais simples, a seguinte função:
f(x) = √x
Analisando o contexto, nota-se que, como se trata de uma função quadrada e o contradomínio é o conjunto dos números reais, não existe no conjunto raiz negativa quando o índice for par. Sendo assim, o domínio da função é o conjunto dos números reais positivos, ou seja:
D = R+
Como há uma raiz quadrada, para que essa função exista no conjunto dos números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Então, calculamos:
x – 4 ≥ 0
x ≥ 4
Assim, o domínio da função é:
D = {x ∈ R | x ≥ 4}
Nessa função não há restrição, pois o índice da raiz é ímpar, portanto o radicando pode ser negativo. Dessa forma, o domínio dessa função será os números reais:
D = R
Acesse também: Radiciação — a operação numérica inversa à potenciação
Gráfico de uma função raiz
Na função raiz quadrada de x, o gráfico é sempre positivo. Em outras palavras, a imagem da função é sempre um número real positivo, os valores que x pode assumir são sempre positivos e o gráfico é sempre crescente.
Vejamos a representação do gráfico da função raiz quadrada de x.
Agora, faremos a representação do gráfico de uma função com índice ímpar. É possível fazer a representação de outras funções raiz, como as funções cúbicas. Vejamos, a seguir, a representação da função raiz cúbica de x. Note que, nesse caso, como a raiz possui índice ímpar, x pode admitir valores negativos, e a imagem também pode ser negativa.
Leia também: Como construir o gráfico de uma função?
Exercícios resolvidos sobre função raiz
Questão 1
Dada a função raiz a seguir, com domínio no conjunto dos números reais positivos e contradomínio no conjunto dos números reais, qual deve ser o valor de x para que f(x) = 13?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Resolução:
Alternativa C
Como o domínio da função é o conjunto dos números reais positivos, o valor que faz com que f(x) seja igual a 13 é x = 5.
Questão 2
Sobre a função f(x), julgue as afirmativas a seguir.
I → O domínio dessa função é o conjunto dos números reais maiores que 5.
II → Nessa função, f(1) = 2.
III → Nessa função, f( – 4) = 3.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é falsa.
B) Somente a afirmativa II é falsa.
C) Somente a afirmativa III é falsa.
D) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Resolução:
Alternativa A
I → Falsa
Sabemos que 5 – x > 0, então temos:
– x > – 5 ( – 1)
x < 5
O domínio é, portanto, os números reais menores que 5.
II → Verdadeira
Calculando f(1), temos:
III → Verdadeira
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática