O que fazer quando.a funcao tem raiz quadrada

 fechar (esc/clique fora)

Índice Show

Resumo sobre função raiz
Função raiz: o que é?
➝ Lei de formação de algumas funções raiz
➝ Exemplos de cálculo da função raiz
Domínio de uma função raiz
Gráfico da função raiz
Exercícios resolvidos sobre função raiz
Resumo sobre função raiz
O que é a função raiz?
Como calcular a função raiz
Domínio e contradomínio de uma função raiz
Gráfico de uma função raiz
Exercícios resolvidos sobre função raiz

Você precisa de uma conta premium

A partir de R$29,90 / mês R$ 12,99

ASSINE JÁ

If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

A função raiz é identificada quando na lei de formação da função a variável se encontra dentro de um radical. A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz. Como a maioria dos valores da imagem de uma raiz é um número irracional, a função raiz é considerada uma função irracional.

O conjunto do domínio da função possui restrição quando o índice da função for par, pois o radicando necessariamente tem que ser positivo para que exista raiz. No estudo das funções, é sempre possível realizar sua representação gráfica.

Veja também: Função polinomial — função em que a lei de formação pode ser descrita por um polinômio

Resumo sobre função raiz

A função raiz possui em sua lei de formação uma variável dentro do radical.
É preciso analisar o índice do radical da raiz para encontrar seu domínio.
Quando a função raiz possui índice par, o seu radicando é necessariamente positivo.
Não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.
A função raiz quadrada e a função raiz cúbica são exemplos de função raiz, sendo a primeira a mais comum.

Função raiz: o que é?

Quando uma função possui uma ou mais variáveis dentro de um radical, a chamamos de função raiz. Ela sempre terá uma raiz de índice n, sendo que a função raiz mais comum é a função raiz quadrada. Veja a lei de formação de algumas funções raiz a seguir:

➝ Lei de formação de algumas funções raiz

$f\left(x\right)=\sqrt x$
$g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2}$
$h\left(x\right)=1+\sqrt[3]{x-2}$
$i\left(x\right)=\sqrt[4]{\frac{x}{3}}$

Para calcular o valor numérico de uma função raiz, basta realizarmos a substituição da sua variável pelo valor desejado. Vale ressaltar que em muitos casos, o valor numérico de uma função raiz é um número irracional.

➝ Exemplos de cálculo da função raiz

Dada a função $f\left(x\right)=\sqrt{x-4}$, calcule:

a) $f\left(13\right)$

b) $f\left(7\right)$

Resolução:

a) $f\left(13\right)$

Quando x = 13, temos:

$f\left(13\right)=\sqrt{13-4}=\sqrt9=3$

b) $f\left(7\right)$

Quando x = 7, temos:

$f\left(7\right)=\sqrt{7-4}=\sqrt3$

Como a $\sqrt3$ é um número irracional, podemos afirmar que $f\left(7\right)=\sqrt3$. Caso seja necessário calcular a raiz quadrada, utilizamos uma aproximação para essa raiz, como 1,7.

Dada a função $g\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2x$, calcule $g\left(8\right)$.

Resolução:

$g\left(8\right)=\sqrt[3]{8}+2\cdot8$

$g\left(8\right)=2+16$

$g\left(8\right)=18$

Domínio de uma função raiz

No estudo de uma função raiz, conhecendo a sua lei de formação, é importante compreender que nem sempre o domínio de uma função é o conjunto dos números reais, pois existe uma restrição na radiciação quando o índice da função é par. Sabemos que não existe raiz com índice par de um número negativo no conjunto dos números reais.

Considere a função a seguir:

$f\left(x\right)=\sqrt{3x+4}$

Qual é o conjunto domínio dessa função quando a analisamos no conjunto dos números reais?

Resolução:

Para que exista imagem para um determinado valor de x, temos:

$3x\ +\ 4\ \geq\ 0\ $

$3x\ \geq\ -\ 4\ $

$x\geq-\frac{4}{3}$

Assim, o domínio dessa função é:

${\ x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -\frac{4}{3}}$

Quando o índice da função raiz é ímpar, o domínio da função não tem restrição, podendo ser o conjunto dos números reais.

Saiba também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função — qual a diferença?

Gráfico da função raiz

O gráfico da função raiz é sempre crescente.

Quando a função raiz possui um índice par, seu gráfico estará somente no 1º quadrante:

Gráfico da função raiz com índice par.

Perceba que ao aumentar o valor do índice, a função continua crescente.

Quando a função possui índice ímpar, o gráfico da função raiz estará tanto no 1º quanto no 3º quadrante.

Gráfico da função raiz com índice ímpar.

Leia também: Como é o gráfico de uma função exponencial?

Exercícios resolvidos sobre função raiz

Questão 1

Analisando a função $\ f:\ A\ \rightarrow B\ $, com lei de formação $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x-4}$, julgue as afirmativas a seguir:

I) O domínio dessa função é necessariamente os valores de x, tal que $x\geq\ 4$.

II) $f\left(-4\right)=-2$

III) Essa função é uma função raiz.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é falsa.

B) Somente a afirmativa II é falsa.

C) Somente a afirmativa III é falsa.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa A

I) Falsa

Como o índice da raiz é igual a 3, um número ímpar, o domínio dessa função pode ser o conjunto dos números reais, não havendo uma restrição para o valor de x.

II) Verdadeira

Calculando $f\left(-4\right)$, temos:

$f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-4-4}$

$f\left(-4\right)=\sqrt[3]{-8}$

$f\left(-4\right)=-2$

III) Verdadeira

Como a variável está dentro do radical, essa função é de fato uma função raiz.

Questão 2

Analisando a função $f\left(x\right)=\sqrt{2x+6}$ no conjunto dos números reais, podemos afirmar que:

A) $D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 2}$

B) $D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -6}$

C) $D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ -3}$

D) $D\ =\ {x\ \in\ \mathbb{R}\ |\ x\ \geq\ 4}$

Resolução:

Alternativa C

Analisando a lei de formação, temos:

$2x\ +\ 6\ \geq\ 0$

$2x\ \geq\ -6$

$x\geq\frac{-6}{2}$

$x\ \geq\ -3\ $

Portanto:

$D\ =\ x\ \in\ R\ |\ x\ \geq\ -3$

Função raiz é a função que possui pelo menos uma variável dentro de um radical. Ela é chamada também de função irracional, sendo a mais comum delas a raiz quadrada, porém existem outras, como a função raiz cúbica, entre outros índices possíveis.

Para encontrar o domínio de uma função raiz, é importante analisar o índice. Quando o índice é par, o radicando deve ser positivo por condição de existência da raiz. Já o contradomínio da função raiz é o conjunto dos números reais. Também é possível fazer a representação gráfica de uma função raiz.

Saiba mais: Domínio, contradomínio e imagem — o que cada um representa?

Resumo sobre função raiz

A função raiz é aquela que possui uma variável dentro do radical.
Para encontrar o domínio da função raiz, é necessário analisar o índice do radical.
- Se o índice da raiz for par, no radicando só haverá valores reais positivos.
- Se o índice da raiz for ímpar, o domínio será os números reais.
A função raiz quadrada é a mais comum entre as funções raiz.
A função raiz quadrada possui gráfico sempre crescente e positivo.

O que é a função raiz?

Classificamos qualquer função que possua uma variável dentro do radical como função raiz. De forma análoga, podemos considerar como função raiz aquela que possui uma variável elevada a um expoente igual a uma fração própria, que são frações que possuem o numerador menor que o denominador, pois sempre que necessário podemos transformar um radical em uma potência com expoente fracionário.

Como calcular a função raiz

Conhecendo a lei de formação de uma função raiz, deve-se calcular o valor numérico da função. Assim como em todas as funções que estudamos, calculamos o valor numérico da função substituindo a variável pelo valor desejado.

Dada a função f(x) = 1 + √x, encontre o valor de:

a) f(4)

Substituindo x = 4, temos:

f(4) = 1 + √4

f(4) = 1 + 2

f(4) = 5

Essas funções são conhecidas como irracionais pelo fato de que a maioria das suas imagens são números irracionais. Por exemplo, se calcularmos f(2), f(3) para essa mesma função:

b) f(2) = 1 + √2

c) f(3) = 1 + √3

Deixamos representado dessa forma, como uma adição entre 1 e o número irracional. Entretanto, quando necessário, podemos utilizar uma aproximação para essas raízes não exatas.

Veja também: Função inversa — o tipo de função que faz exatamente o inverso da função f(x)

Domínio e contradomínio de uma função raiz

Quando estudamos uma função raiz, é fundamental analisar caso a caso, para que seja possível definir bem o seu domínio. O domínio depende diretamente do índice da raiz e do que está em seu radicando. Já o contradomínio de uma função raiz é sempre o conjunto dos números reais.

Vejamos a seguir alguns exemplos:

Começando pela função raiz mais comum e mais simples, a seguinte função:

f(x) = √x

Analisando o contexto, nota-se que, como se trata de uma função quadrada e o contradomínio é o conjunto dos números reais, não existe no conjunto raiz negativa quando o índice for par. Sendo assim, o domínio da função é o conjunto dos números reais positivos, ou seja:

D = R+

Como há uma raiz quadrada, para que essa função exista no conjunto dos números reais, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Então, calculamos:

x – 4 ≥ 0

x ≥ 4

Assim, o domínio da função é:

D = {x ∈ R | x ≥ 4}

Nessa função não há restrição, pois o índice da raiz é ímpar, portanto o radicando pode ser negativo. Dessa forma, o domínio dessa função será os números reais:

D = R

Acesse também: Radiciação — a operação numérica inversa à potenciação

Gráfico de uma função raiz

Na função raiz quadrada de x, o gráfico é sempre positivo. Em outras palavras, a imagem da função é sempre um número real positivo, os valores que x pode assumir são sempre positivos e o gráfico é sempre crescente.

Vejamos a representação do gráfico da função raiz quadrada de x.

Agora, faremos a representação do gráfico de uma função com índice ímpar. É possível fazer a representação de outras funções raiz, como as funções cúbicas. Vejamos, a seguir, a representação da função raiz cúbica de x. Note que, nesse caso, como a raiz possui índice ímpar, x pode admitir valores negativos, e a imagem também pode ser negativa.

Leia também: Como construir o gráfico de uma função?

Exercícios resolvidos sobre função raiz

Questão 1

Dada a função raiz a seguir, com domínio no conjunto dos números reais positivos e contradomínio no conjunto dos números reais, qual deve ser o valor de x para que f(x) = 13?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Resolução:

Alternativa C

Como o domínio da função é o conjunto dos números reais positivos, o valor que faz com que f(x) seja igual a 13 é x = 5.

Questão 2

Sobre a função f(x), julgue as afirmativas a seguir.

I → O domínio dessa função é o conjunto dos números reais maiores que 5.

II → Nessa função, f(1) = 2.