Lançando se um dado 5 vezes, qual a probabilidade de ocorrer o número 6 no mínimo 3 vezes

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br Probabilidades – 2014 - GABARITO 1. Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construímos todos os números que podem ser representados usando dois deles (sem repetir). Escolhendo ao acaso (aleatoriamente) um dos números formados, qual a probabilidade de o número sorteado ser: a) Par? b) Múltiplo de 5? Solução. O espaço amostral é o total de números formados com dois algarismos: 7 x 6 = 42. Calculando as probabilidades pedidas, temos: a) A unidade simples pode ser ocupada por 2, 4 ou 6. Logo há (6.3) = 18 pares possíveis. Temos: . b) A unidade simples deverá ser ocupada pelo algarismo 5. Há (6.1) múltiplos de 5. Temos: . 2. Um baralho tem 12 cartas, das quais 4 são ases. Retiram‐se 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo menos um ás entre as cartas retiradas? Solução 1. Se há 4 ases, então 8 cartas não são ases. Utilizando a análise combinatória, temos: . Solução 2. . 3. Lançando dois dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado? Solução. Os eventos são independentes: . 4. Joga‐se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação x2 + bx + 1 = 0. Determine: a) a probabilidade de essa equação ter raízes reais; Solução. Para que a equação tenha raízes reais, o discriminante deve ser não negativo (( ≥ 0). . Há 5 valores possíveis para b. Logo, . b) a probabilidade de essa equação ter raízes reais, sabendo‐se que ocorreu um número ímpar. Solução. Dos possíveis valores de b, há dois ímpares: {3, 5}. Temos: . 5. Lançamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5? Solução. Os eventos são independentes: . 6. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou número par? Solução. O total de números maiores que 40 e menores que 100 é: 100 – 41 + 1 = 60. O total de pares de 1 a 100 é: [(100 – 2) ÷ 2] + 1 = [98 ÷ 2] + 1 = 49 + 1 = 50. O total de pares maiores que 40 é: [(100 – 42) ÷ 2] + 1 = [58 ÷ 2] + 1 = 29 + 1 = 30. (Interseção). O espaço amostral possui 100 elementos. Temos: . 7. Num único lance de um par de dados honestos, qual a probabilidade de saírem as somas “múltiplo de 4” ou “primo”? Solução. O espaço amostral possui 6 x 6 = 36 resultados possíveis. Os resultados de soma “múltiplo de 4” são: {(1,3); (3,1); (2,2); (2,6); (6,2); (3,5); (5,3); (4,4); (6,6)}. Os resultados de soma “primo” são: {(1,1); (1,2); (2,1); (1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (3,4); (4,3); (5,6); (6,5)}. Não há interseções. Logo, . 8. Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de frequência da face 1, e que as outras faces saíam com a frequência esperada em um dado não viciado. Qual a frequência da face 1? Solução. Considere a frequência da face 1 como x e a da face 6 como 2x. As faces restantes possuem a frequência esperada de 1/6. Como a soma das frequências deve ser 1. Temos: . 9. De dois baralhos de 52 cartas retiram‐se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? Solução. As retiradas são independentes. Há quatro reis e um único 5 de paus em cada baralho. Temos: . 10. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 bolas pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade das três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? Solução. Os eventos são independentes: . 11. De um baralho de 52 cartas retiram‐se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade da carta da primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus? Solução. Há somente um ás e um rei do naipe paus. Com retiradas sucessivas do mesmo baralho, temos: . 12. Numa pequena cidade, realizou‐se uma pesquisa com certo número de indivíduos do sexo masculino, na qual procurou‐se obter uma correlação entre a estatura de pais e filhos. Classificaram‐se as estaturas em 3 grupos: alta (A), média (M) e baixa (B). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos de probabilidades, na matriz mostrada. O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que é 1/4, significa que a probabilidade de um filho de pai alto ter estatura média é 1/4. Os demais elementos interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem válidas por algumas gerações, qual probabilidade de um neto de um homem com estatura média ter estatura alta? Solução. Esse evento representa o produto da 2 linha da matriz (Pai x Filho) com a 1º coluna da matriz (Filho x Neto) ou pode ser visualizado na árvore das probabilidades. Para que esse evento ocorra, as condições devem ser: . 13. Lançando-se uma moeda 6 vezes, qual a probabilidade de ocorrer 4 vezes cara? Solução. O evento pedido é o conjunto {CCCCKK} qualquer ordem. Utilizando a probabilidade binomial, temos: . 14. Lançando-se um dado 5 vezes, qual a probabilidade de ocorrer o número 6 no mínimo 3 vezes? Solução. Considerando que a probabilidade de ocorrer o número 6 é 1/6 (Sucesso) e de não ocorrer (Fracasso, não importa qual o número) é 5/6, temos três casos: i) O nº 6 três vezes (SSSFF): . ii) O nº 6 quatro vezes (SSSSF): . iii) O nº 6 cinco vezes (SSSSS): . Logo, . 15. Uma prova consta de 10 questões com 4 alternativas cada, uma só correta. Um estudante “chuta” os 10 testes. Qual a probabilidade dele acertar no mínimo 7 perguntas? Solução. Considerando que a probabilidade de ocorrer o acerto é 1/4 (Sucesso) e de não ocorrer (Fracasso) é 3/4, temos quatro casos: i) Acerta 7: (SSSSSSSFFF): . ii) Acerta 8: (SSSSSSSSFF): . iii) Acerta 9: (SSSSSSSSSF): . iv) Acerta 10: (SSSSSSSSSS): . Logo, . _1455726615.unknown _1455728697.unknown _1455800469.unknown _1455804540.unknown _1455805024.unknown _1455878244.unknown _1455805332.unknown _1455804903.unknown _1455802328.unknown _1455803808.unknown _1455804327.unknown _1455802234.unknown _1455801971.unknown _1455729459.unknown _1455798360.unknown _1455729092.unknown _1455727595.unknown _1455728463.unknown _1455726824.unknown _1455725146.unknown _1455725718.unknown _1455726136.unknown _1455725430.unknown _1455724602.unknown _1455724742.unknown _1455724406.unknown