MatematicAnalitica Há mais de um mês Para compreender o que é fração geratriz, é importante relembrar o que são as dízimas periódicas. É chamado de dízima periódica um número que, ao ser representado na sua forma decimal, possui a parte decimal infinita e com repetições. Uma dízima periódica pode ser classificada como simples ou composta. Ela é simples quando tudo que está na sua parte decimal é periódico, ou seja, se repete. Quando há um algarismo na parte decimal que não faz parte do período, ou seja, que não se repete, então essa dízima é composta. Exemplos: 1,777…. → dízima periódica simples 2,666… → dízima periódica simples 4,5222… → dízima periódica composta 10,2888… → dízima periódica composta Entendendo o que são as dízimas periódicas, é possível compreender o que é a fração geratriz de uma dízima periódica. Chamamos de fração geratriz a representação fracionária de uma dízima periódica simples ou composta. As dízimas periódicas são consideradas números racionais, pois é possível representá-las como uma fração. Essa representação fracionária é a fração geratriz. Exemplos: Perceba que, ao dividir o numerador pelo denominador para encontrar a representação decimal desses números, a parte decimal deles é infinita e periódica. Leia também: O que são frações equivalentes? Como calcular a fração geratrizVamos dividir em dois casos. O primeiro é quando a dízima periódica é simples, e o segundo é quando a dízima periódica é composta. Começando com a dízima periódica simples, para encontrar a fração geratriz, podemos seguir alguns passos.
Exemplo 1: Encontre a fração geratriz da dízima 1,444… 1º passo: igualar a dízima periódica a x. x = 1,444… 2º passo: encontrar a quantidade de algarismos na parte periódica. Perceba que há apenas o número 4 se repetindo na parte periódica, logo há 1 elemento no período, então multiplicaremos os dois lados da equação por 10. 10x = 1,444… × 10 10x = 14,444 … 3º passo: calcular a diferença entre as equações do 1º passo e do 2º passo. 10 x – x = 14,444 … – 1,444… 9x = 13 4º passo: resolver a equação. x = 13/9 Então, a fração geratriz da dízima é: Exemplo 2: Encontre a fração geratriz da dízima 4,121212… 1º passo: igualar a dízima periódica a x. x = 4,121212… 2º passo: encontrar a quantidade de algarismos na parte periódica. Perceba que 12 está se repetindo na parte periódica, logo há 2 elementos no período, então multiplicaremos os dois lados da equação por 100, então: 100x = 4,121212… × 100 100x = 412,121212 … 3º passo: calcular a diferença entre as equações do 1ª passo e do 2º passo. 100x – x = 412,1212 … – 4,121212… 99x = 408 4º passo: resolver a equação. x = 408/99 A fração geratriz da dízima é: Para encontrar a fração geratriz de uma dízima composta, acrescentamos um novo passo na resolução. Inicialmente, transformamos a dízima periódica composta em uma dízima periódica simples, e os demais passos são análogos ao 1º caso. Exemplo: Encontre a fração geratriz da dízima 5,23333... Note que essa dízima é composta, pois há, na sua parte decimal, um número que não se repete, conhecido como antiperíodo. No caso dessa dízima periódica, 2 é o antiperíodo. Para transformar essa dízima periódica composta em uma dízima periódica simples, multiplicaremos por 10. x = 5,2333… 10x = 5,2333… × 10 10x = 52,333… Agora que há uma dízima periódica simples, aplicaremos os mesmos passos aplicados para as dízimas periódicas simples. Como há apenas um número no período, multiplicaremos a dízima por 10. 100x = 52,333… × 10 100x = 523,333… Agora calcularemos a diferença entre 100x e 10x: 100x – 10x = 523,333… – 52,333… 990x = 471 x = 471/ 990 Então, a fração geratriz da dízima é: Leia também: Números irracionais – números que não podem ser representados por meio de fração Método práticoPara encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos utilizar também um método prático. Exemplo 1: Encontre a fração geratriz da dízima 5,888… 1º passo: identificar a parte inteira e o período da dízima.
2º passo: encontrar o numerador da fração geratriz. O numerador é o número formado pelos algarismos da parte inteira seguido dos algarismos do período menos a parte inteira. 58 – 5 = 53 3º passo: encontrar o denominador da fração geratriz. Para encontrar o denominador, basta analisar a quantidade de números que há no período. Se houver um único algarismo, colocamos 9; se houver dois algarismos, o denominador será 99, ou seja, a cada número adicional no período, acrescentamos um 9. No exemplo, há um único número no período, logo o denominador é 9. Então, a fração geratriz da dízima é: Exemplo 2: Encontre a fração geratriz da dízima 10,242424…
1º passo: encontrar o numerador calculando a diferença entre o número formado pela parte inteira e o período e o número formado só pela parte inteira. 1024 – 10 = 1014 2º passo: encontrar o numerador. Como há dois algarismos no período, o denominador da fração é 99. Então, a fração geratriz é: A dízima periódica composta possui também o antiperíodo, logo a aplicação do método prático é um pouco diferente nesse caso. Exemplo: Encontre a fração geratriz da dízima 1,24333… 1º passo: identificar as partes da dízima periódica.
2º passo: encontrar o numerador. Para calcular o numerador, vamos escrever o número formado pela parte inteira, o antiperíodo, e o período, ou seja, 1243 menos a parte inteira e o antiperíodo, ou seja, 124. 1243 – 124 = 1119 3º passo: encontrar o denominador. Para encontrar o denominador, para cada algarismo no período, acrescentamos um 9 e, para cada algarismo que está no antiperíodo, acrescentamos um 0 ao final do denominador. No exemplo, há um algarismo no período (acrescentaremos 9) e dois algarismos no antiperíodo (acrescentamos 00 após o 9), então o denominador é 900. Logo, a fração geratriz dessa dízima é: Exercícios resolvidosQuestão 1 - A fração geratriz da dízima 15,0343434… é? A) \( \frac{15034}{900}\) B) \( \frac{139}{990}\) C) \( \frac{1384}{990}\) D) \( \frac{14884}{990}\) E) \( \frac{150}{900}\) Resolução Alternativa D. Pelo método prático, essa dízima é composta, então vamos encontrar a parte inteira, o antiperíodo e o período:
O numerador é dado por 15034 – 150 = 14.884 O denominador possui 99 (2 algarismos do período) seguido de 0 (1 número no antiperíodo): 990. Então, a fração geratriz é: \(\frac{14884}{990}\) Questão 2 - (PUC-RJ) A soma 1,3333... + 0,1666666... é igual a: Resolução Alternativa E. Para realizar a soma, vamos encontrar a fração geratriz de cada uma das dízimas, começando pela primeira: 1,333… Agora encontrando a fração geratriz da dízima 0,1666666…: Basta, então, calcular a soma das frações: |
Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas a seguir 0 44444
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