Determine a lei de formação da função afim cujo gráfico a reta passa pelos pontos a 2 0 eb 0 4

4 Função afim e funções poligonais 4091a Série Ex. 2: Se for adotado o mesmo procedimento do exemplo 1 para a função f(x) = –x + 4, nota-se que o gráfico obtido também é uma reta, porém decrescente, como se pode observar na figura a seguir: A B C D E F B 1 1–1–2 2 2 3 3 4 4 5 6 7 5 Dos exemplos acima, pode-se intuir que o gráfico de toda função afim é uma reta, que é crescente quando a > 0 e decrescente quando a < 0. Obs.: Como já foi dito anteriormente, quando a=0 a função f(x)=b é dita constante, e o gráfico é uma reta horizontal que corta o eixo y em b. Isso poderia despertar a seguinte dúvida: já que uma função afim possui como gráfico uma reta crescente ou decrescente e uma função constante possui como gráfico uma reta horizontal, será que uma reta vertical também pode ser gráfico, seja de uma função afim, seja de outro tipo de função qualquer? A resposta é não. Uma reta vertical no plano cartesiano é a representação da situação em que um único valor de x encontra-se em correspondência com todos os valores reais de y ou, em outras palavras, trata-se de um caso em que temos um único elemento do domínio com infinitas imagens. b x y a>0 x b a<0 y A justificativa matemática para a afirmação acima vem do fato de que dados dois pontos quaisquer do gráfico da função f(x)=ax+b, A(x1,y1) e B(x2,y2), o segmento de reta AB forma sempre o mesmo ângulo com a horizontal, como mostra o cálculo a seguir: Passo 1: substituindo as coordenadas dos pontos A e B na fórmula que define a função f, obtém-se: y ax b y ax b 1 1 2 2 = + = +    Passo 2: Subtraindo as duas equações de baixo pra cima: y y a x x a y y x x y x tg 2 1 2 1 2 1 2 1 − = −( ) → = − − = = ∆ ∆ α Na fórmula acima, α representa o ângulo formado pelo segmento AB e o eixo horizontal, levando-se em consideração que o ângulo está sendo medido a partir do eixo x e no sentido anti-horário. Obs.: A fórmula de uma função e o seu gráfico estão intimamente relacionados. Na verdade, são de duas representações diferentes (a primeira, algébrica, a segunda, geométrica) de um mesmo objeto. Em problemas de matemática, é comum essa relação ser explorada em ambos os sentidos. Sendo assim, o aluno deve estar preparado para: a. Dada a fórmula da função, obter todas as informações possíveis sobre o seu gráfico, o que será feito no ponto (3), a seguir. b. Dadas informações suficientes sobre o gráfico, obter a fórmula da função, o que será feito no ponto (4), logo depois. 3. Pontos notáveis do gráfico Uma vez que se sabe que o gráfico de toda função afim é uma reta, e levando em consideração que uma reta fica determinada por dois pontos, a tarefa de desenhar o gráfico de uma função afim, dada a sua fórmula, fica agora mais simples. Basta escolher dois valores para x, calcular os valores correspondentes para y, desenhar os dois pontos no plano cartesiano e ligá-los. De maneira geral, costuma ser relevante saber quais são os pontos de interseção entre o gráfico de uma função e os eixos coordenados, e é fácil obter esses pontos no caso de uma função afim. É fato conhecido que todo ponto do plano é representado algebricamente por um par ordenado. Isso vale, em particular, para os pontos localizados sobre os eixos cartesianos. Quando um ponto está no eixo x, sua coordenada y é igual a zero, e portanto o ponto é da forma (x, 0). Analogamente, um ponto que está sobre o eixo y é sempre da forma (0, y). Para saber em que ponto(s) um gráfico encontra cada um dos eixos, basta anular, uma de cada vez, a coordenada relativa ao outro eixo na fórmula da função. Matemática I – Módulo 13 410 Vol. 3 Considere uma função afim representada genericamente na forma y = ax + b. Fazendo x = 0, temos y = b, e portanto o gráfico contém o ponto (0, b), que é o ponto de interseção do gráfico com o eixo y. Analogamente, fazendo y = 0, temos x = –b/a, e portanto o gráfico também contém o ponto (–b/a, 0), que é o ponto de interseção do gráfico com o eixo x. A abscissa desse ponto, x = –b/a, é dita raiz ou zero da função afim. (0,b) x y −      b a , 0 0 Exercício Resolvido Desenhar o gráfico da função f(x) = 2x + 3, usada como exemplo no início do módulo, destacando os pontos notáveis do gráfico. O esquema apresentado abaixo, de anular uma de cada vez as coordenadas x e y na fórmula para calcular o valor da outra coordenada, pode ser organizado através de uma tabela: x y 0 3 – 3/2 0 y x 1 –1–2 2 3 (0,3) −3 2 ,0      0 4. Como determinar a equação da reta que passa por dois pontos dados Um dos postulados da geometria plana afirma que dois pontos distintos no plano determinam uma reta. Isso significa, em primeiro lugar, que existe uma reta r passando pelos dois pontos dados (existência) e, em segundo lugar, que não existe nenhuma outra reta com essa característica, ou seja, a reta r é única (unicidade). O verbo determinar, neste caso, possui significado bastante específico do ponto de vista matemático. Algebricamente isso equivale a dizer que, dadas as coordenadas de dois pontos no plano, é possível determinar a fórmula da função (que necessariamente é afim) cujo gráfico é a (única) reta que contém os pontos dados. O termo “determinar a equação da reta” pode ser entendido como “determinar a fórmula da reta”, ou seja, determinar a lei de formação da função cujo gráfico é a reta. Exercício Resolvido Determinar a equação da reta que passa pelos pontos A(2,1) e B(5,16). Como a reta em questão é gráfico de alguma função afim, podemos assumir que sua equação é do tipo y = ax + b. Sendo assim, determinar a equação da reta significa encontrar os valores dos coeficientes a e b. Em relação aos dados, saber que a reta passa por dois pontos de coordenadas conhecidas significa dizer que essas coordenadas (x e y) podem ser substituídas na fórmula, gerando duas equações com duas incógnitas (a e b). Substituindo as coordenadas do ponto A(2,1), obtemos 1 = 2a + b. Substituindo as coordenadas do ponto B(5,6), obtemos 16 = 5a + b Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, tem-se que a = 5 e b = –9, de modo que a equação da reta em questão é y = 5x –9. Obs.: Uma forma alternativa de resolução do problema é determinar diretamente a inclinação da reta por meio da fórmula. a y x = = − − = = ∆ ∆ 16 1 5 2 15 3 5 Se y = ax + b e já se sabe que a = 5, a equação da reta fica y= 5x + b, restando apenas uma variável a determinar. Substituindo as coordenadas do ponto A(2,1) (ou do ponto B, tanto faz), por exemplo, tem-se que 1 = 5× 2 + b → b= –9, e portanto a equação da reta é y = 5x –9. 5. Estudo do sinal da função afim, quadro de sinais e desigualdades 5.1. Estudo do sinal da função afim a f x se x b a e f x se x b a a< 0 f x se x b a e f x > → ( ) > > − ( ) < < − → ( ) > < − ( ) 0 0 0 0 << > −0 se x b a Função afim e funções poligonais 4111a Série 5.2. Desigualdades envolvendo fatores afins (Inequações do 1o grau) 5.2.1 Inequações do tipo produto-quociente e quadro de sinais Inequações do tipo produto-quociente são inequações da forma N N N D D D 1 2 3 1 2 3 0 × × ×… × × ×… > As seguintes características devem ser observadas: a. O lado esquerdo da desigualdade é formado por uma única parcela (não confundir parcela com fator). b. N1, N2, N3,… e D1, D2, D3,… são todos fatores da forma ax + b. c. O sinal pode ser qualquer um dentre >, ≥, <, ≤. d. O lado direito da desigualdade é necessariamente igual a zero. Uma inequação nesse formato pode ser resolvida por meio da utilização de uma ferramenta conhecida como

= (−5 + k)x − (3k − 2) é −4, verifique se f é crescente ou decrescente. Página 9 de 12 21. Um marceneiro vende alguns modelos de armário para cozinha ao preço de R$ 450,00 a unidade. Ele gasta com matéria-prima um valor fixo mensal de R$ 2.250,00, além de R$ 75,00 de mão de obra por armário produzido. a) Escreva a lei de formação das funções: v, que relaciona o valor das vendas com o número x de armários vendidos; g, que relaciona o gasto na produção com o número x de armários produzidos; l, que relaciona o lucro obtido com o número x de armários vendidos. b) Para não ter lucro nem prejuízo, quantos armários o marceneiro precisará vender em um mês? c) Quantos armários ele deve vender para ter lucro mensal de R$ 1.500,00? d) Qual será o lucro desse marceneiro com a venda de 15 desses armários? 22. Na figura estão representados os gráficos de duas funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax + b. Calcule o valor de g(8). 23. Um vendedor recebe um salário fixo e mais uma parte variável, correspondente à comissão sobre o total vendido em um mês. O gráfico seguinte informa algumas possibilidades de salário em função das vendas. a) Encontre a lei da função cujo gráfico é essa reta. b) Qual é a parte fixa do salário? 24. Seja f uma função real definida pela lei f(x) = ax −3. Se −2 é raiz da função, qual é o valor de f(3)? 25. Sabendo que a função f(x) = ax + b é tal que f(1) = 5 e f(−2) = −4, determine: a) os valores de a e b; b) o valor de x para o qual f(x) = 0 26. Considerem a função afim dada por f(x) = −3x + 4. Determinem as coordenadas da reta que corta os eixos x e y. 27. Dados os gráficos das funções de ℝ → ℝ, escreva a função f(x) = ax + b correspondente a cada item. a) b) c) 28. Obtenha, em cada caso, a lei da função cujo gráfico é mostrado a seguir: a) b) Página 10 de 12 29. Escreva uma função afim na forma f(x) = ax + b, sabendo que: a) f(2) = 1 e a = 1 4 b) f(1) = 3 e f(3) = 5 30. Qual é o zero da função afim cujo gráfico, que é uma reta, passa pelos pontos (2, 5) e (−1, 6)? 31. Determine o valor de a para que o ponto (−2, 1) pertença ao gráfico da função f: ℝ → ℝ tal que f(x) = ax + 5. 32. Determine a lei de formação de uma função polinomial do 1º grau sabendo que o zero da função é − 1 2 e que o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y é (0, − 3 4 ). 33. Sabendo que o zero da função polinomial do 1º grau dada por f(x) = (−5 + k)x − (3k − 2) é −4, verifique se f é crescente ou decrescente. 34. Determine o valor de a para que se tenha f(3) = 8 na função dada por f(x) = ax + 1 2 . 35. Determine os valores de p e q para que a função j, dada por j(x) = (p2 − 1)x + (2q − 6), seja uma função identidade: f(x) = x é chamada de função identidade, onde a = 1 e b = 0. 36. O volume y do paralelepípedo é dado em função da medida x indicada na figura. Qual é a sentença matemática que define essa função? 37. A área y do retângulo RSQP da figura é dada em função da medida x. Escreva a sentença matemática de define essa função. 38. A área y da região colorida no quadrado é dada em função da medida x. Escreva a lei que define a função dada por essa relação. 39. Dada a função y = x2 − 15x + 26, determine a imagem do número real 10 por essa função. 40. Dada a função y = 6x2 − x − 3, qual é a imagem do número real 1 2 por essa função? 41. Usando a sentença matemática y = 𝑥(𝑥+1) 2 , calcule: a) a soma y dos 1000 primeiros números inteiros positivos. b) o número inteiro positivo para que a soma y seja igual a 66. 42. A soma y dos x primeiros números ímpares positivos é uma função definida pela lei y = x2. a) Calcule a soma dos 100 primeiros números ímpares positivos. b) Calcule a quantidade dos primeiros números ímpares positivos cuja soma é 256. 43. Determine as coordenadas (x, y) do vértice da parábola que representa cada uma das seguintes funções: a) y = x2 + 6x + 8 b) y = −x2 + 7x −10 44. (UMC-SP) Uma loja fez campanha publicitária para vender seus produtos importados. Suponha que x dias após o término da campanha as vendas diárias tivessem sido calculadas segundo a função y = − 2x2 + 20x + 150, conforme o gráfico. a) Depois de quantos dias (xv), após encerrada a campanha, a venda atingiu o valor máximo? b) Depois de quantos dias as vendas se reduziram a zero (y = 0)? 45. Um míssil é lançado de um submarino e desenvolve a trajetória da parábola descrita pela lei 𝑦 = − 1 3 𝑥2 + 7 3 𝑥 − 2. Essa trajetória é interrompida quando o míssil atinge uma rocha em um lago. Para quais valores de x esse míssil percorre fora da água? 46. Dada a função f(x) = 4x2 − 1, calcule: a) f(√2) b) f(0) c) f(− 1 2 ) 47. Considere a função f(x) = x2 − x + 3. Calcule x de modo que 𝑓(𝑥) 𝑓(1) = 5. Página 11 de 12 48. Seja f(x) = ax2 + bx +c. Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = −2, calcule o produto 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐. 49. As raízes da função f(x) = x2 + ax + b são 4 e −8. Calcule os valores de a e b. 50. Determine os pontos em que a parábola representativa da função y = x2 + x − 20 corta o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas. 51. Calcule a e b para que o gráfico da função y = ax2 + bx + 6 tenha o vértice no ponto ( 5 2 , − 1 4 ). 52. Indique a função quadrática y = ax2 + bx + 5 correspondente ao gráfico. 53. Dada a função f(x) = x2 + 2x − 1, determine: 𝑓(2) − 𝑓(0) + 𝑓(−1) 𝑓(3) . 54. Determine a lei da função quadrática que passa pelos pontos (0, 1), (1, 0) e (2, 3). 3. Considere o gráfico abaixo: Determine: a) a lei da função b) as coordenadas do vértice 55. Dada a função f(x) = 3x2 + 5x − 2, determine f(− 2 3 ). 56. A área y da figura abaixo é dada em função da medida x. a) Escreva uma função para representar a área (y) desta figura. b) Determine, na função que representa a área (y), o valor de y para x = 2 m. 57. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 40 m e um dos ângulos mede 60º. Ache o seu perímetro. Considere √3 = 1,7. 58. Em um triângulo retângulo, um dos ângulos agudos mede a metade do outro. Se o maior dos catetos mede 15 cm, ache a medida de cada um dos outros lados. Os valores devem ser dados na forma radical 59. Um avião está a 450 m de altura quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo de declive de 30º. A que distância o avião está da cabeceira da pista? 60. Num triângulo, um ângulo agudo mede 50º e a hipotenusa mede 8 cm. Qual é a medida aproximada do cateto oposto ao ângulo? Considere sen 50º = 0,77, cos 50º = 0,64 e tg 50º = 1,19. 61. Num triângulo isósceles, a altura mede 6 cm e os ângulos da base medem 30º. Calcule a medida dos lados congruente desse triângulo? 62. Considere α a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, de modo que: sen α = 𝑥+2 5 e cos α = 2𝑥 −1 5 , com x > 0, ache o número que fornece o valor de tg α. 63. (Unesp) Ao chegar de viagem, uma pessoa tomou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito pelo táxi, representado pelos segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐹𝐻̅̅ ̅̅ , está esboçado na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel,