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Na palavra Caderno quantos anagramas começam por C e terminam por O?
A primeira letra, só pode ser o C, ou seja, 1 possibilidade. A última letra deve ser a letra O, sendo assim, 1 possibilidade. A segunda letra, pode ser qualquer uma das 5 letras restantes, ou seja, 5 possibilidades. A terceira letra, por uma das 4 que restaram, sendo então, 4 possibilidades de escolha. A quarta, por uma das 3 letras restantes, sendo 3 possibilidades. A quinta, tem 2 possibilidades. E a sexta, tem 1. Agora é só multiplicarmos: 1.5!.1= 120 possibilidades OBS : 5!=5.4.3.2.1
a) quantos anagramas podemos formar?
b) quantos anagramas começam por C?
c) quantos anagramas começam por C e terminam por O?
d) quantos anagramas começam por vogal?
e) quantos anagramas terminam por consoante?
f) quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?
g) quantos anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e nessa ordem?
h) quantos anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e em qualquer ordem?
Resolução
a) Um anagrama da palavra CADERNO é a própria palavra ou qualquer outro agrupamento que se obtém trocando a ordem de suas letras; por exemplo, ONERCAD. Assim, o número de anagramas da palavra CADERNO é igual ao número de permutações simples de sete letras distintas, isto é:
P 7 = 7! = 5.040
b) Fixando a letra C na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições posteriores.
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
Logo, há 720 anagramas que começam por C.
c) Fixando as letras C e O na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias:
Portanto, há 120 anagramas que começam por C e terminam por O.
d) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, E ou O. Para cada vogal fixada na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas posições posteriores:
Assim, há 2.160 anagramas que começam por vogal.
e) Há quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima) posição: C, D, R ou N. Para cada consoante fixada na sétima posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições anteriores:
Assim, há 2.880 anagramas que terminam por consoante.
f) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição e quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima). Fixadas uma vogal e uma consoante na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas posições intermediárias:
Há, portanto, 1.440 anagramas que começam por vogal e terminam por consoante.
Página 154g) Vamos resolver este item de dois modos.
1º modo
As letras C, A e D podem ocupar, respectivamente, as seguintes posições: primeira, segunda e terceira; segunda, terceira e quarta; terceira, quarta e quinta; quarta, quinta e sexta; quinta, sexta e sétima.
Analisemos cada caso:Assim, temos:
P4+ P4 + P4+ P4 + P4 = 5 ⋅ P4= 5 ⋅ 4! = 5! = 120
Ou seja, 120 anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e nessa ordem.
2º modo Observando o primeiro modo, percebemos que o bloco CAD atuou como um único elemento nas permutações. Assim, podemos resolver esse problema calculando o número de permutações dos cinco elementos CAD, E, R, N e O, isto é, considerando o bloco CAD um único elemento.
Temos, assim: P 5 = 5! = 120
h) Nesse caso, um bloco composto das letras C, A e D pode ter P 3 = 3! = 6 formas diferentes:
CAD, CDA, DCA, DAC, ADC e ACD
Para cada um desses seis blocos, podemos formar P5 = 5! = 120 anagramas, conforme vimos no item g. Logo, com os seis blocos podemos formar 6 ⋅ 120 = 720 anagramas. Ou seja, o número de anagramas que apresentam as letras C, A e D juntas é: P3 ⋅ P5 = 6 ⋅ 120 = 720
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Coordenação de arte: Wilson Gazzoni AgostinhoEdição de arte: Denis Torquato
Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda.
Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen
Ilustrações de vinhetas: Otávio dos Santos
Coordenação de revisão: Adriana Bairrada
Revisão: Alessandra Abramo Félix, Fernanda Marcelino, Rita de Cássia Sam, Vânia Bruno
Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron
Pesquisa iconográfica: Carol Böck, Junior Rozzo
Coordenação de bureau: Américo Jesus
Tratamento de imagens: Denise Feitoza Maciel, Marina M. Buzzinaro, Rubens M. Rodrigues
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Fabio N. Precendo, Hélio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Viviane Pavani
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Page 3
Notas:1. Podemos nos referir a uma sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) abreviadamente por ou, simplesmente, (an).
2. Em uma sequência finita (a1, a2 , a3, ..., an), os termos a1 e a n são chamados de extremos da sequência. Dois termos, ai e aj, são equidistantes dos extremos se, e somente se, a quantidade de termos que precedem ai é igual à quantidade de termos que sucedem aj.
3. Um termo am é chamado de termo médio de uma sequência finita com número ímpar de termos se, e somente se, a quantidade de termos que antecedem am é igual à quantidade de termos que o sucedem.
Por exemplo, na sequência (a1, a2, a3, a4, ..., a58, a59, a60, a61), os extremos são a1 e a61. Os termos a4 e a58 são equidistantes dos extremos. E o termo médio da sequência é a31.
2 Lei de formação de uma sequência
Um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma sequência e a ordem em que se apresentam é chamado de lei de formação da sequência.
Exemplos
a) Seja (an) a sequência tal que:
As informações a1 = 3 e an+1 = 4 + an, para todo número natural n não nulo, determinam todos os elementos da sequência e a ordem em que se apresentam. Observe:
• o primeiro termo da sequência é 3, isto é, a1 = 3;
• na igualdade an+1 = 4 + an, atribuindo a n os valores 1, 2, 3, ..., obtemos os demais termos da sequência, isto é:
n = 1 ⇒ a2 = 4 + a1 = 4 + 3 = 7
n = 2 ⇒ a3 = 4 + a2 = 4 + 7 = 11
n = 3 ⇒ a4 = 4 + a3 = 4 + 11 = 15
n = 4 ⇒ a5 = 4 + a4 = 4 + 15 = 19
⋮
Portanto, a sequência é (3, 7, 11, 15, 19, ...).
b) Considere a sequência (an) tal que an = n2 − 1. Para determinar os termos dessa sequência, basta atribuir a n os valores 1, 2, 3, 4, ... na igualdade an= n2 − 1. Observe:
n = 1 ⇒ a1 = 1² − 1 = 0
n = 2 ⇒ a2 = 2² − 1 = 3
n = 3 ⇒ a3 = 3² − 1 = 8
n = 4 ⇒ a4 = 4² − 1 = 15
⋮
Portanto, a sequência é (0, 3, 8, 15, ...).
c) A sequência dos números primos positivos, em ordem crescente, é (2, 3, 5, 7, 11, ...). Observe que a lei de formação dessa sequência não foi expressa por uma equação, mas pela propriedade de que os números sejam primos positivos e estejam em ordem crescente. Esse exemplo mostra que a lei de formação de uma sequência pode não ser uma equação.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS1 Determinar o 51º termo da P.A. (4, 10, 16, 22, ...).
Resolução
Devemos determinar o termo an = a1 + (n − 1)r dessa P.A. tal que: a1= 4, r = 6 e n = 51
Logo:
a51 = 4 + (51 − 1) ⋅ 6⇒ a51= 4 + 50 ⋅ 6 = 304
Concluímos, assim, que o 51º termo da P.A. é 304.
2 Obter a razão da P.A. (a1, a2, a3, ...) tal que a1= 7 e a5 = 8.
Resolução
Aplicando a fórmula do termo geral na= a1+ (n − 1)r da P.A. para n = 5, temos:
a5 = a1 + 4r ⇒ 8 = 7 + 4r
∴ r =
Concluímos que a razão da P.A. é .
3 Determinar o número de termos da P.A. (2, 10, 18, ..., 250).
Resolução
Indicando por n o número de termos, devemos obter o valor de n na expressão an = a1 + (n − 1)r tal que: a1= 2, an = 250 e r = 8
Logo:
250 = 2 + (n − 1) ⋅ 8 ⇒ 250 = 2 + 8n − 8
∴ 256 = 8n ⇒ n = 32
Concluímos, então, que a P.A. possui 32 termos.
4 Qual é a razão da P.A. (an) tal que a1+ a5 = 26 e a2 + a9= 46?
Resolução
Pela fórmula an = a1 + (n − 1)r, podemos representar os termos a5 , a2 e a9 por:
a5 = a1 + 4r
a2 = a1 + r
a9 = a1 + 8r
Assim:
∴
Subtraindo, membro a membro, essas igualdades, temos: −5r = −20 ⇒ r = 4
Concluímos, então, que a razão da P.A. é 4.
5 Percorrendo uma estrada no sentido crescente das marcas quilométricas, percebe-se o primeiro radar (medidor de velocidade) no quilômetro 27.
A partir daí há um radar a cada 15 quilômetros. Quantos radares existem até o quilômetro 360 dessa estrada?
THEO FITZHUGH/SHUTTERSTOCK
Resolução
A sequência das marcas quilométricas onde existem radares, até o quilômetro 360, é a P.A. de primeiro termo 27, razão 15 e último termo :
(27, 42, 57, ..., an)
Como não sabemos, por enquanto, se 360 é um termo da P.A., devemos supor que an ≤ 360.
Pela fórmula do termo geral an = a1 + (n − 1)r, temos:
an ≤ 360 ⇒ 27 + (n − 1) ⋅ 15 ≤ 360
∴ (n − 1) ⋅ 15 ≤ 333 ⇒ n − 1 ≤
∴ n ≤ 23,2
Como n é um número natural, temos que o maior valor possível de n é 23.
Assim, concluímos que até o quilômetro 360 há 23 radares. (Nota: Essa resolução nos permite afirmar que 360 não pertence à P.A., pois na última desigualdade da resolução da inequação, n ≤ 23,2, o segundo membro não é um número natural.)
6 Interpolar (inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 2, nessa ordem.
Resolução
Interpolar (ou inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 2, nessa ordem, significa determinar a P.A. de primeiro termo 1 e último termo 2, havendo entre eles quatro outros termos, isto é:
Pela fórmula do termo geral an = a1+ (n − 1)r, temos:
a6 = a1 + 5r ⇒ 2 = 1 + 5r
∴ r =
Logo, a P.A. é . Página 15Compartilhe com seus amigos:
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[ícone: atividade em grupo] 28 Dispondo em ordem crescente as medidas, em grau, dos três ângulos internos de um triângulo, obtém-se uma P.A. Se a medida do maior ângulo interno desse triângulo tem 20° a mais que a medida do menor, qual é a medida do menor ângulo interno desse triângulo? 50°Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética
No ano de 1785, em uma pequena escola do principado de Braunscheweig, na Alemanha, o professor Büttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um menino de 8 anos de idade aproximou-se da mesa do professor e apresentou o resultado pedido. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto.
Carl Friedrich Gauss (pintura de 1840). Matemático, físico e astrônomo alemão de extraordinária capacidade intelectual. Realizou importantes trabalhos em várias áreas do conhecimento, notadamente em Matemática.
MUSEU ESTATAL PUSHKIN DE BELAS ARTES, MOSCOU
Aquele menino viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Carl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por Gauss foi simples e elegante; ele percebeu que:
• a soma do primeiro número com o último é: 1 + 100 = 101
• a soma do segundo número com o penúltimo é: 2 + 99 = 101
• a soma do terceiro número com o antepenúltimo é: 3 + 98 = 101
e assim por diante, ou seja, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos, que é 101:
Como no total são 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50 ⋅ 101 = 5.050
Página 19
Esse raciocínio pode ser generalizado para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer pelo teorema a seguir.
A soma Sn dos n primeiros termos da P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ...) é dada por:
Sn =
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Classificação das progressões geométricasAs progressões geométricas podem ser classificadas em crescente, decrescente, constante, oscilante ou quase nula.
• Crescente: uma P.G. é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o antecedente. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1.
Exemplos
a) (1, 2, 4, 8, ...) é uma P.G. crescente de razão q = 2.
b) é uma P.G. crescente de razão q = .
• Decrescente: uma P.G. é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o antecedente. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1.
Exemplos
a) é uma P.G. decrescente de razão q = .
b) (−1, −3, −9, −27, ...) é uma P.G. decrescente de razão q = 3.
• Constante: uma P.G. é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os seus termos sejam nulos.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO18 Determinar a P.G. de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do 2º com o 3º termo é 10.
Resolução
Quando se conhece o produto dos termos, a representação mais cômoda é .
Pelo enunciado, temos:
∴ x = 2 (I)
Também sabemos que: x + xq = 10 (II)
Substituindo (I) em (II), obtemos: 2 + 2q = 10 ⇒ q = 4
Assim, para x = 2 e q = 4, a P.G. é igual a .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Faça as atividades no caderno.
56 Determine a P.G. crescente de três termos tal que a soma dos três termos é 14 e o produto deles é 64. (2, 4, 8)
57 Como já comentamos no exercício proposto 37, qualquer dispositivo que resiste à passagem da corrente elétrica em um circuito é chamado de resistor. Essa resistência pode ser medida em ohm, cujo símbolo é a letra grega Ω (ômega). Admitiremos sempre medidas positivas para resistências.
Dos estudos de Física, sabemos que em uma associação em paralelo de n resistores com resistências iguais a R, R2, R3, ..., Rn, respectivamente, a resistência equivalente, Req, é dada por:
Página 29FAUSTINO
De acordo com essa informação, resolva o problema a seguir.
Em um circuito, três resistores estão ligados em paralelo, e suas respectivas resistências, medidas em ohm (Ω), estão em progressão geométrica de razão 2.
Indicando por R a maior dessas resistências, obtenha uma equação que expresse a resistência equivalente, Req, dessa associação, em função de R. Req =
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Observe que:n = 1 ⇒ (1, 2)
n = 2 ⇒ (2, 4)
n = 3 ⇒ (3, 8)
n = 4 ⇒ (4, 16)
⋮Generalizando, consideremos a P.G. não constante (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão positiva q. Seu termo geral, an = a1 ⋅ qn – 1, é equivalente a = ⋅ qn e, portanto, a representação gráfica dessa P.G. é formada por pontos da função y = ⋅
Dessa maneira, algumas importantes propriedades da função exponencial podem ser aplicadas na resolução de problemas que envolvam progressões geométricas.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Faça as atividades no caderno.
1 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos:
A regra para construir esses mosaicos é a seguinte: inicialmente, formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos brancos, também cercado por azulejos pretos; e assim sucessivamente.
Considerando a sequência de mosaicos com número crescente de azulejos, responda às questões.
a) Quantos azulejos brancos terá o 15º mosaico dessa sequência?
225 azulejos brancosb) Quantos azulejos brancos terá o n-ésimo mosaico dessa sequência?
n2 azulejos
c) Quantos azulejos pretos terá o 20º mosaico dessa sequência?
84 azulejos pretos
d) Quantos azulejos pretos terá o n-ésimo mosaico dessa sequência?
4n + 4 azulejos
2 (Enem) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente.
Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de:
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b) A mediana, a bissetriz e a ______ relativas à base do triângulo isósceles coincidem. alturac) A mediatriz relativa à base de um triângulo isósceles contém a ______, a bissetriz e a altura relativas a essa base. mediana
d) Se um triângulo possui dois ângulos internos congruentes, então os lados opostos a esses lados são ______. congruentes
e) Se um triângulo possui dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são ______. congruentes
6 No triângulo isósceles ABC abaixo, M é ponto médio do lado . Calcule o comprimento da mediana .
AM = 15
7 Em um plano, uma reta r é tangente a uma circunferência λ de centro O se, e somente se, ambas têm em comum um único ponto T. Esse ponto é chamado ponto de tangência.
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
Considerando essa definição, copie as frases no caderno, completando as lacunas de modo a tornar verdadeira cada uma das afirmações.a) A distância entre O e r é a medida do ______ da circunferência. raio
b) O raio forma com a reta r ângulos de medida ______. 90°
c) Se dois segmentos e são tangentes à circunferência nos pontos B e C, então a medida AB é ________ à medida AC. igual
d) Se dois segmentos de reta e são tangentes à circunferência nos pontos B e C, então o centro O pertence à bissetriz do ângulo ______. BC
Página 37Compartilhe com seus amigos:
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS1 Com o auxílio de uma régua graduada e de um transferidor, calcular o valor aproximado de sen 42°, cos 42° e tg 42°.
Resolução
Construímos um ângulo de 42° e traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo, conforme mostra a figura a seguir.
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
Medindo com auxílio da régua os lados do triângulo ABO, obtemos:
AB = 1,5 cm; AO = 1,7 cm; BO = 2,2 cm
Assim, calculamos:
sen 42° =
cos 42° =
tg 42° =Quando medimos um segmento de reta com uma régua graduada, cometemos, inevitavelmente, erros de aproximação. Portanto, os resultados obtidos para sen 42°, cos 42° e tg 42° são valores aproximados. Existem métodos mais eficientes para calcular esses valores, qualquer que seja a precisão desejada.
2 Sabendo que sen 36° = 0,58, cos 36° = 0,80 e tg 36° = 0,72, calcular o valor de x em cada figura.
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Exemplosa) 30° é o complemento de 60°; logo: sen 30° = cos 60° e sen 60° = cos 30°
b) 12° é o complemento de 78°; logo: sen 12° = cos 78° e sen 78° = cos 12°
EXERCÍCIO RESOLVIDO
6 Sabendo que cos 23° = 0,92, calcular o valor da expressão: E =
Resolução
Como 23° é o complemento de 67°, temos cos 67° = sen 23°. Logo:
E = = = 2sen 23° ⋅
Ou seja: E = = = 0,46
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Faça as atividades no caderno.
6 Sabendo que sen 55° = 0,82 e cos 55° = 0,57, qual das alternativas apresenta a medida mais próxima de x?
ADILSON SECCO
a) 36 cm
b) 37 cm
c) 38 cm
d) 39 cm
e) 40 cm
alternativa d
7 Considerando sen 10° = 0,17 e sen 80° = 0,98, calcule cos 10°, cos 80°, tg 10° e tg 80°.
cos 10° = 0,98; cos 80° = 0,17; tg 10° = 0,17; tg 80° = 5,768 Na figura abaixo, as retas r e s formam entre si um ângulo de 37°, e o segmento , contido em r, mede 18 cm.
r B A
Calcule a medida da projeção ortogonal do segmento sobre a reta s. (Dado: sen 53° = 0,79)
14,22 cm9 Em um cinema, os olhos de um espectador estão no mesmo plano horizontal que contém a base da tela vertical com 3,2 m de altura, conforme mostra a figura anterior. O espectador vê toda a extensão vertical da tela sob um ângulo agudo de medida α tal que sen (90° − α) =
a) Calcule sen α, cos α e tg α.
sen α = ; cos α = ; tg α =b) Calcule a distância entre os olhos do espectador e a base da tela.
6 mCompartilhe com seus amigos:
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a) 40 mb) 20 m
c) 20 m
d) 30 m
e) 25 m
alternativa b
6 Por causa da grande distância entre o Sol e a Terra, os raios solares que incidem em nosso planeta podem ser considerados paralelos. Em um momento em que os raios solares formam ângulos de 34° com o plano da circunferência do equador terrestre, um prédio vertical de 60 m de altura projeta uma sombra de 20m sobre o terreno plano e horizontal que contém sua base. Admitindo que a Terra seja esférica e que o prédio esteja ao norte do equador, podemos concluir que o prédio está localizado em um ponto de latitude:
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1 O radiano, unidade de medida de arco e de ânguloNo estudo da Geometria plana, é comum o uso do grau como unidade de medida de ângulo e de arco de circunferência. Neste capítulo, estudaremos outra unidade para medir arco e ângulo: o radiano, definido a seguir.
Consideremos um arco contido em uma circunferência de raio r e centro O tal que o comprimento do arco seja igual a r.
Dizemos que a medida do arco é 1 radiano (1 rad).
Lembre-se de que a circunferência corresponde a um arco de uma volta completa e por isso mede 360°, 1° equivale a 60' e 1' equivale a 60".
Um radiano (1 rad) é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
Um ângulo AB mede 1 rad se, e somente se, determinar em uma circunferência de centro O um arco de 1 rad.
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a) a = 32°b)
β = 50°c)
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
θ = 90°3 Observando o item c do exercício anterior, podemos afirmar que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é:
a) obtusângulo.
b) acutângulo.
c) retângulo.
d) isósceles.
e) escaleno.
alternativa c
Página 524 O comprimento c (perímetro) de uma circunferência de raio r é dado por c = 2πr, em que π é um número irracional que vale, aproximadamente, 3,14. Considerando essa propriedade, resolva o exercício a seguir.
A circunferência máxima que está contida na superfície terrestre e divide o planeta nos hemisférios norte e sul é chamada de linha do equador. Seu raio é 6.370 km.
a) Adotando π = 3,14, calcule o comprimento da linha do equador, em quilômetro.
≈ 40.003,6 kmb) Um navio percorreu um arco de 10° sobre a linha do equador. Calcule o comprimento, em quilômetro, do trecho percorrido pelo navio.
≈ 1.111,2 kmCompartilhe com seus amigos:
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a) uma volta completa.b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
e) cinco voltas completas.
alternativa d
2 Calcule a medida, em radiano, de um arco de 10 cm contido em uma circunferência com 2,5 cm de raio. 4 rad
3 Determine a medida, em radiano, equivalente a:
a) 30°
radb) 120°
radc) 225°
radd) 300°
rade) 240°
f) 330°
4 Determine a medida, em grau, equivalente a:
a) rad 45°
b 270°
c) °
d) °
e) °
5 O disco de vinil é uma mídia desenvolvida no início da década de 1950 para a reprodução musical. Um dos vários tipos de disco de vinil é o LP (Long Play), gravado para ser reproduzido a rpm (rotações por minuto).
Ao ser reproduzido com essa especificação, qual é a velocidade de rotação de um LP em rad/s?
rad /s ou, aproximadamente, 3,5 rad/s
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Por uma figura de retórica denominada metonímia, admite-se chamar de raio da circunferência tanto o segmento que une o centro a um ponto da circunferência quanto a medida desse segmento.EXERCÍCIO RESOLVIDO
1 Determinar a medida, em radiano, do arco , de 20 cm, contido na circunferência de raio 5 cm, representados abaixo.
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
Resolução
Pela definição, nessa circunferência, cada arco de 1 rad tem 5 cm de comprimento. Assim, por meio de uma regra de três, determinamos a medida x, em radiano, do arco :
Logo: x = rad = 4 rad
Dizer que o arco mede 4 rad é o mesmo que dizer que o comprimento do arco é o quádruplo do comprimento do raio.
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Trabalhando em equipe“Comprometimento individual a um esforço conjunto – isso é que faz um time funcionar, uma empresa funcionar, uma sociedade funcionar, uma civilização funcionar.”
Vince Lombardi, primeiro treinador campeão do Super Bowl.
Componha uma equipe com alguns colegas e discutam as seções a seguir.
ANÁLISE DA RESOLUÇÃO
Um aluno resolveu o exercício conforme a reprodução a seguir. Um erro foi cometido. Apontem o erro e refaçam a resolução no caderno, corrigindo-a.
Exercício
Calcule a medida x, em metro, do segmento da figura a seguir.
FAUSTINO
O aluno foi induzido, pela figura, a supor que o quadrilátero ABCE é um quadrado, o que não é verdade.
Resolução correta: Os ângulos CB e CD medem 30° cada um; portanto, o triângulo BCD é isósceles, com CB = CD = 50 m.
Assim, no triângulo CDE temos:
sen 30° =∴ x = 25
Logo, a medida do segmento é 25 m.
Resolução
No triângulo CD temos:
tg 30° = => =
∴ x =
Logo, a medida do segmento é .
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[ícone: atividade em grupo] 6 Supondo que a Terra seja esférica, toda circunferência contida na superfície terrestre e em um plano perpendicular ao eixo de rotação do planeta é chamada de paralelo terrestre. O paralelo cujo centro coincide com o centro da Terra é a linha do Equador, cujo raio é de 6.370 km, o mesmo raio da Terra.A linha do Equador passa pela cidade brasileira de Macapá, no Amapá. Ali existe um obelisco, no qual se destaca o marco zero, localizado sobre um ponto P da linha do Equador.
Os cinco principais paralelos terrestres
ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL
Marco zero, na cidade de Macapá. Foto de 2014.
FABIO COLOMBINI
O movimento de rotação da Terra faz com que o ponto P gire em torno do eixo do planeta. Considerando o arco de circunferência descrito pelo ponto P em torno do eixo de rotação da Terra, durante 9 horas, respondam aos itens a seguir.
a) Calculem o comprimento do arco em quilômetro e sua medida em grau e em radiano.
Comprimento:b) Se um ponto Q da superfície terrestre não pertence ao Equador nem coincide com um dos polos, norte ou sul, quantos radianos ele gira em torno do eixo do planeta em 9 horas?
rad
Resolva os exercícios complementares 1 a 3.
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Page 19
A medida da circunferência em radianoSabemos que uma circunferência mede 360°. Qual é sua medida em radiano?
Para responder a essa pergunta, consideremos uma circunferência cujo raio tenha medida r. Como o comprimento dessa circunferência é 2πr, podemos obter sua medida x, em radiano, por meio de uma regra de três:
Logo: x = rad = 2π rad
Assim, concluímos que:
A medida de uma circunferência é 2π rad.
Transformações de unidades
Dizemos que uma medida em radiano é equivalente a uma medida em grau se ambas são medidas de um mesmo arco; por exemplo, 2π rad é equivalente a 360°, pois são medidas de um arco de uma volta completa. Consequentemente, temos:
π rad é equivalente a 180°.
Essa equivalência nos permite transformar unidades, ou seja, tendo a medida de um arco em grau, podemos obter a medida desse arco em radiano e vice-versa.
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MATEMÁTICA SEM FRONTEIRASDistância da Terra à Lua
Representação artística da Terra e do Sol vistos da Lua.
CHRIS BUTTLER/SCIENCE PHOTO LIBRARY/LATINSTOCK
Utilizando as relações trigonométricas, os astrônomos calculam as dimensões de corpos celestes e a distância entre eles. Para exemplificar, mostraremos uma maneira de calcular a distância entre a Terra e a Lua e a medida do raio desse satélite.
Suponhamos que em um observatório astronômico A a Lua seja vista no zênite, isto é, na vertical; no observatório B, ela é vista na linha do horizonte, conforme representação esquemática abaixo.
Conhecendo a medida R do raio da Terra e a medida a do ângulo central AB, que é igual à medida do ar com , pode-se obter a distância entre a Terra e a Lua (AL) da maneira descrita abaixo.
cos α = ⇒ AL =
Para o cálculo da medida r do raio da Lua, inicialmente medimos o ângulo β formado pelas duas retas tangentes e a um círculo máximo do satélite, conforme a figura a seguir:
m(TâT’) = β
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
Sendo AL = d, do triângulo retângulo ACT, obtemos:
sen = ⇒ r =
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Page 21
f ) Um triângulo é acutângulo quando possui todos os seus ângulos internos agudos.g) Um triângulo é obtusângulo quando possui um ângulo interno obtuso.
h) Dois triângulos semelhantes são chamados de triângulos congruentes quando a razão de semelhança entre eles é 1.
i) Uma circunferência se diz circunscrita a um polígono quando todos os vértices do polígono pertencem à circunferência. Nesse caso, diz-se, também, que o polígono está inscrito na circunferência.
j) Uma circunferência se diz inscrita em um polígono quando todos os lados do polígono tangenciam a circunferência. Nesse caso, diz-se, também, que o polígono está circunscrito à circunferência.
k) Um polígono convexo que possui todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si é chamado de polígono regular.
l) Chama-se centro de um polígono regular o centro da circunferência inscrita (ou circunscrita) ao polígono.
m) Dois ângulos quaisquer formados por duas retas paralelas e uma transversal ou têm medidas iguais, ou são suplementares.
2 A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central correspondente. Considerando essa propriedade, determine as medidas α, β e θ dos ângulos inscritos AB, CD e EF, abaixo, em que o arco é uma semicircunferência.
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Page 22
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS2 Determinar a medida, em radiano, equivalente a 150°.
Resolução
Lembrando que π rad é equivalente a 180°, basta resolver a regra de três:
x = radianos ⇒ x = rad
Logo, rad equivalem a 150°.
3 Determinar a medida, em grau, equivalente a rad.
Resolução
Medida em radiano
π 180
Medida em grau
π x
x = graus ⇒ x = 60°
Logo, 60° equivalem a rad.
Página 57EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Faça as atividades no caderno.
1 (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:
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Page 23
ATIVIDADEFaça a atividade no caderno.
[ícone: calculadora] 1 O Sol é visto de um ponto da Terra sob um ângulo de 0,53° aproximadamente. Sabendo que a distância da Terra ao Sol é algo em torno de 150.000.000 km, calculem uma medida aproximada do raio do Sol.
≈ 693.000 kmPágina 54
CAPÍTULO 3 - Circunferência trigonométrica: seno e cosseno
Satélite Glory na órbita terrestre. Foto de 2011.
NASA
Além da teoria
Ao plano da órbita circular de um satélite ao redor da Terra é associado um sistema cartesiano cuja unidade adotada nos eixos é o quilômetro, e a origem O é o centro da Terra e também da órbita, conforme mostra o esquema abaixo, em que A(900, 0) e B são os pontos dessa órbita.
FAUSTINO
1. Quais são as coordenadas do ponto B para α = 30°? (450, 450)
2. Sabendo que em determinado instante a posição do satélite é o ponto B(450, 450, ), determine a medida α do ângulo agudo AB.
60°
Observamos, pelos itens 1 e 2, que as coordenadas do ponto B são obtidas em função do raio da circunferência e da medida α do ângulo central AB. Essa ideia será aplicada nas definições de seno e cosseno de um arco trigonométrico.
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Page 24
3a) AL = (2π ⋅ 2 ⋅ 5) m2 = 20π m2
b) B = (π ⋅ 22) m2 = 4π m2
c) AT = (20π + 2 ⋅ 4π) m2 = 28π m2
d) ASM = (4 ⋅ 5) m2 = 20 m2
e) V = (4π ⋅ 5) m3 = 20π m3
4
a) AL = (2π ⋅ 4 ⋅ 8) cm2 = 64π cm2
b) B = (π ⋅ 42) cm2 = 16π cm2
c) AT = (64π + 2 ⋅ 16π) cm2 = 96π cm2
d) ASM = 82 cm2 = 64 cm2
e) V = (16π ⋅ 8) cm3 = 128π cm3
5 Sendo r a medida, em decímetro, do raio da base do cilindro equilátero, temos:
(2r)2 = 144 ⇒ r = 6
Logo:
AL = 2π ⋅ 6 ⋅ 12 dm2 = 144π dm2
AT = (144π + 2 ⋅ π ⋅ 62) dm2 = 216π dm2
V = π ⋅ 62 ⋅ 12 dm3 = 432π dm3
6 A seção meridiana é equivalente a uma das bases do cilindro, o que significa que elas têm mesma área.
Sendo h a medida, em centímetro, da altura do cilindro, temos:
10h = π ⋅ 52 ⇒ h =
Logo:
AL = cm2 = 25π2 cm2
AT = (25π2 + 2 ⋅ π ⋅ 52) cm2 = 25π(π + 2) cm2
Sendo B a área da base e V o volume, temos:
B = (π ⋅ 52) cm2 = 25π cm2 e V = B ⋅ h = cm³
Logo:
cm3
7 Sendo r a medida, em centímetro, do raio da base do cilindro, o rótulo é um retângulo de comprimento 2πr e altura 10 cm.
Assim, temos:
2πr ⋅ 10 = 80π ⇒ r = 4 cm
Logo, a área total da superfície da lata é dada por:
AT = (2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ 10 + 2 ⋅ π42) cm2 = (80π + 32π) cm2 = 112π cm2
8 a)
V = (π ⋅ 22 ⋅ 6) cm3 = 24π cm3
b)
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
AT = (2π ⋅ 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ π ⋅ 62) cm2 = 96π cm2
Página 4109 Alternativa c
Indicando por R a medida, em metro, do raio da nova cisterna, esquematizamos:
Assim, devemos ter:
π ⋅ R2 ⋅ 3 = 81
Substituindo π por 3, obtemos:
3 ⋅ R2 ⋅ 3 = 81 ⇒ R2 = 9
∴ R = 3
Concluímos, então, que o raio da atual cisterna deve ser aumentado em 2 m.
10 Alternativa d
Temos que 1 m = 100 cm e 10,99 kg = 10.990 g.
Assim, o volume V de PVC que compõe o tubo é dado por:
V = (π ⋅ 132 ⋅ 100 − π ⋅ 122 ⋅ 100) cm3 ⇒ V = 2.500π cm3
Adotando π = 3,14, temos que V = 7.850 cm3.
Assim, a densidade d do PVC é calculada por:
d = = 1,4 g/cm3
11 a)
b) Aℓ = 2rh + πrh ⇒ Aℓ = (2 ⋅ 5 ⋅ 10 + π ⋅ 5 ⋅ 10) cm2 = 50(2 + π) cm2
c) AT = Aℓ + πr2 ⇒ AT = (100 + 50π + 25π) cm2 = 25(4 + 3π) cm2
12 sen 30º =
∴ h = 6 cm
Assim, o volume V do cilindro é dado por:
V = π ⋅ 52 ⋅ 6 = 150π
Logo, o volume desse cilindro é 150π cm3.
13 Colocando sobre esse tronco outro congruente a ele, obtemos o cilindro:
Temos, portanto, que o volume VT do tronco é metade do volume desse cilindro:
VT = = 112π cm3
Criando problemas
Resposta pessoal.
14 Indicando por g a medida, em centímetro, da geratriz , esquematizamos:
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
g2 = 62 + 82 ⇒ g = 10
Logo, a geratriz mede 10 cm.
15 Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo equilátero com 4 dm de lado. Logo, o perímetro de uma dessas secções é 12 cm.
16 Inicialmente, aplicamos o teorema de Pitágoras para o cálculo da medida g da geratriz do cone.
g2 = 62 + 82 ⇒ g = 10 cm
Em seguida representamos no plano a superfície lateral do cone.
E também sua base:
a) A área lateral AL é obtida pela regra de três:
Comprimento do arco do setor (cm) ----- Área do setor (cm2)
2 ⋅ π ⋅ 10 ----- π ⋅ 102
2 ⋅ π ⋅ 8 ----- Aℓ
Aℓ = = 80π cm2
b) B = (π ⋅ 82) cm2 = 64π cm2
c) AT = (80π + 64π) cm2 = 144π cm2
d) A medida θ, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone é dada pela regra de três:
Comprimento do arco do setor (cm) ----- Medida do ângulo central (grau)
2 ⋅ π ⋅ 10 ----- 360°
2 ⋅ π ⋅ 8 ----- θ
θ = = 288°
e) Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo isósceles de lados com 10 cm, 10 cm e 16 cm:
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
Logo: ASM = cm²= 48 cm2
f) V = = 128π cm3
Página 41117
a) A área lateral AL é obtida pela regra de três:
Comprimento do arco do setor (dm) ----- Área do setor (dm2)
2 ⋅ π ⋅ 8 ----- π ⋅ 82
2 ⋅ π ⋅ 4 ----- Aℓ
Aℓ = dm2 = 32π dm2
b) B = (π ⋅ 42) dm2 = 16π dm2
c) AT = (32π + 16π) dm2 = 48π dm2
d) A medida θ, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone é dada pela regra de três:
Comprimento do arco do setor (cm) ----- Medida do ângulo central (grau)
2 ⋅ π ⋅ 8 ----- 360°
2 ⋅ π ⋅ 4 ----- θ
θ = cm²= 180°
e) Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo equilátero com 8 dm de lado; logo:
ASM =
f)
18 As secções meridianas são triângulos equiláteros. Sendo g a medida, em centímetro, do lado de um desses triângulos, temos:
ASM = ⇒ e, portanto: g = 4 cm
Assim, temos:
A área lateral AL é obtida pela regra de três:
Comprimento do arco do setor (cm) ----- Área do setor (cm2)
2 ⋅ π ⋅ 4 ----- π ⋅ 42
2 ⋅ π ⋅ 2 ----- AL
AL = = 8π cm2
AT = (8π + π ⋅ 22) cm2 = 12π cm2
19 O volume V de biju com cada casquinha é a diferença entre os volumes dos cones de alturas 12 cm e 11 cm e raios das bases 3 cm e 2,7 cm, respectivamente, ou seja:
V =
= 9,27π cm3 ≈ 29,12 cm3
Logo, o volume de biju em cada casquinha é 9,27π cm3 ou aproximadamente 29,12 cm3.
20 Inicialmente, calculamos a medida do cateto .
(BC)2 + 152 = 172 ⇒ BC = 8 cm
a)
b)
AT = (π ⋅ 15 ⋅ 17 + π ⋅ 152) cm2 = 480π cm2
21 Uma secção meridiana desse cone mostra dois triângulos semelhantes ABC e ADE, conforme a figura a seguir, em que r é a medida, em centímetro, do raio da base do cone formado pela água.
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
Dessa semelhança, resulta:
= 3 cm
Logo, o volume V de água no copo é dado por:
V = = 36π cm3
Como 1 cm3 = 1 mL, concluímos que o volume de água no copo é de 36π mL.
22 Sendo g a medida, em centímetro, da geratriz do cone, sua superfície lateral é equivalente ao setor:
MARIO MATSUDA
Página 412
Assim, temos:
= π ⇒ g = 14 cm
Uma secção meridiana do chapéu de altura h é:
MARIO MATSUDA
Portanto: h2 + 72 = 142 ⇒ h = cm
Logo, a distância do bico do chapéu à mesa é cm.
Criando problemas
Resposta pessoal.
23 Uma secção meridiana do cone determina os triângulos VAB e VCD, conforme mostra a figura abaixo.
FAUSTINO
Pelo caso A.A. deduzimos que os triângulos VAB e VCD são semelhantes. Assim, obtemos a medida, em decímetro, do segmento :
⇒ CD = 3 cm
Pelo teorema de Pitágoras, temos VD = 5 dm e VB = 10 dm.
Assim, respondemos aos itens:a) O volume VT do tronco é a diferença entre o volume do cone original e o volume do cone determinado acima do plano α, isto é:
VT = ⇒ VT = 84π dm3
b) A área lateral AL do tronco é a diferença entre a área lateral do cone original e a área lateral do cone determinado acima do plano α, isto é:
AL = π ⋅ 6 ⋅ 10 − π ⋅ 3 ⋅ 5 dm2 ⇒ AL = 45π dm2
c) A área total AT do tronco é a soma da área lateral com a área das bases, isto é:
AT = 45π + π ⋅ 62 + π ⋅ 32 dm2 ⇒ AT = 90π dm2
24 Sendo h a medida, em metro, do cone obtido pelos prolongamentos das geratrizes desse tronco, temos a secção meridiana.
MARIO MATSUDA
m
Assim, o volume V do tronco de cone é dado por:
V = ⇒ V = 234π m³
Para π = 3,14, temos:
V = 734,76 m3 = 734.760 dm3
Como 1 L = 1 dm3, concluímos que a capacidade do reservatório é 734.760 L.
Questões para reflexão
Dois cones circulares retos são semelhantes quando uma secção meridiana de um deles é semelhante a uma secção meridiana do outro. Assim, se um plano intercepta um cone circular reto C paralelamente à sua base, separando-o em dois sólidos, então um desses sólidos é um cone C´ semelhante a C.
25 a) A secção plana determinada na esfera é um círculo de centro O' e raio r tal que πr2 = 144π cm2; logo, r = 12 cm. Sendo d a distância, em centímetro, entre O e α, esquematizamos:
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos a distância d:
d2 + 122 = 132 ⇒ d = 5
Portanto, a distância entre O e α é 5 cm.
b) Na figura anterior, a semirreta intercepta a superfície da esfera no ponto P tal que O'P = (5 + 13) cm, ou seja, O'P = 18 cm. Logo, a maior distância possível entre O' e um ponto da esfera é 18 cm.
26 a) A secção plana da esfera é um círculo. Sendo r a medida, em centímetro, do raio desse círculo, temos:
Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a medida r:
r2 + 152 = 172 ⇒ r = 8
A área A da secção plana é dada por:
A = π ⋅ 82 cm2 ⇒ A = 64π cm2
b) O perímetro P da secção plana é dado por:
P = 2 ⋅ π ⋅ 8 cm ⇒ P = 16π cm
c) A intersecção da esfera com o plano pl(ABC) é um círculo de diâmetro ; logo, o triângulo ABC é retângulo em B, pois está inscrito na metade desse círculo:
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a distância BC:
(BC)2 + 162 = 342 ⇒ BC = 30
Logo, a distância entre B e C é 30 cm.
27 Alternativa b
Sendo x a medida, em centímetro, de uma aresta do cubo, temos:
x3 = 13.824 ⇒ x = 24
Como o diâmetro de cada esfera é 12 cm, cada uma das dimensões do cubo — comprimento, largura e altura — equivale a dois diâmetros. Logo, o número máximo de esferas que podem ser armazenadas em uma caixa é 2 ⋅ 2 ⋅ 2, ou seja, 8.
Questões para reflexão
Uma esfera está inscrita em um cone circular reto se, e somente se, tangencia todas as geratrizes e a base do cone. Nesse caso, diz-se também que o cone está circunscrito à esfera.
Conhecendo o raio da base e a altura de um cone circular reto, o cálculo do raio da esfera inscrita nesse cone pode ser feito por semelhança de triângulos, conforme mostra o exercício resolvido a seguir.
Uma esfera está inscrita em um cone circular reto de altura 12 cm e raio da base 9 cm. Calcular a medida do raio da esfera.
Página 413Resolução
O centro O' da esfera, o vértice V e o centro O da base do cone são pontos colineares. O raio da esfera com extremo T em uma geratriz do cone é perpendicular a essa geratriz. Assim, sendo r o raio da esfera, temos:
MARIO MATSUDA
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
(VM)2 = 122 + 92 ⇒ VM = 15
Os triângulos VOM e VTO' são semelhantes (pelo caso A.A.); logo:
⇒ 15r = 108 − 9r
∴ 24r = 108
∴ r = 4,5
Portanto, a esfera tem raio de 4,5 cm.
Conectado
Exemplo de respostas:
a) Na figura, o plano que secciona o cilindro, passando pelo eixo que contém os centros das bases do cilindro, determina o quadrilátero ABCD que é uma secção meridiana do cilindro.
b) Na figura, o plano que secciona o cilindro, paralelo às suas bases, determina o círculo de centro A que é uma secção transversal do cilindro.
c) Na figura, o plano que secciona o cone, passando pelo eixo que contém seu vértice e o centro de sua base, determina o triângulo ABC, que é uma secção meridiana do cone.
d) Na figura, o plano que secciona o cone, paralelo à sua base, determina o círculo de centro C, que é uma secção transversal do cone.
e) Na figura, a intersecção da esfera com o plano que secciona a esfera não passando pelo seu centro é um círculo.
f) Na figura, a intersecção da esfera com um plano que secciona a esfera passando pelo seu centro determina o círculo máximo de centro O e diâmetro AB.
28 Sendo O e O´ os centros da esfera e da secção plana, respectivamente, e r o raio dessa secção, temos:
r2 + 122 = 152 ⇒ r = 9 cm
a) A área Asec da secção plana é dada por:
Asec = (π ⋅ 92) cm2 = 81π cm2
b) A área Asup da superfície esférica é dada por:
Asup = (4π ⋅ 152) cm2 = 900π cm2
c) O volume V da esfera é dado por:
V = = 4.500π cm3
29 Sendo r a medida do raio da secção plana, temos:
πr2 = 9π ⇒ r = 3 cm
Assim, sendo O e R o centro e o raio da esfera, temos:
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
R2 = + 32 ⇒ R = 6 cm
Portanto, o volume V da esfera e a área A da superfície esférica são:
V = = 288π cm3 e A = (4 ⋅ π ⋅ 62) cm2 = 144 π cm2
30 O volume V e a área A são:
V = = 18π cm3
A = = 27π cm2
31 Sendo R a medida, em centímetro, do raio da esfera original, temos:
⇒ R = 10
Portanto, a esfera original tem raio de 10 cm.
Página 41432 Indicando por r e R as medidas do raio da bola e do raio interno do aro, respectivamente, temos:
Assim, obtemos:
= 1,875 = 187,5%
Logo, o diâmetro interno do aro é 87,5% maior que o diâmetro da bola.
33 Após mergulhar a esfera, o cilindro C representado pelo espaço ocupado pela água e pela esfera tem 6 cm de raio e 6 cm de altura:
MARIO MATSUDA
Logo, o volume VC desse cilindro é dado por:
VC = π ⋅ 62 ⋅ 6 cm3 ⇒ VC = 216π cm3
Assim, o volume VA de água é a diferença entre VC e o volume da esfera, isto é:
Esse volume de água formava um cilindro de altura h antes de ser mergulhada a esfera; logo, a medida h, em centímetro, é obtida por:
π ⋅ 62 ⋅ h = 180π ⇒ h = 5
Ou seja, antes de a esfera ser mergulhada, a altura da superfície da água, em relação ao fundo do vaso, era de 5 cm.
Criando problemas
Resposta pessoal.
34
FAUSTINO
No △OO´C temos:
102 = 62 + (CO´)2; logo: CO´ = 8 cm
Como CO´ = AB, concluímos que AB = 8 cm.
35 Alternativa b
Seja H a medida, em centímetro, da altura mínima necessária para que as esferas fiquem submersas:
MARIO MATSUDA
Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos:
(H − h)2 + 62 = 102 ⇒ H = 18
Logo, a altura pedida é 18 cm.
36 Ângulo (grau) ----- Volume (m3)
360 ------
20 ----- VC
37 Ângulo (rad) ----- Volume (cm3)
2π -----
----- Vc
38 Sendo R a medida, em centímetro, do raio da cunha, temos:
Ângulo (grau) ----- Volume (cm3)
360 -----
60 ----- 6π
⇒ 80πR3 = 2.160π
∴ R = 3 cm
39 Ângulo (grau) ----- Área (m2)
360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 52
80 ----- Af
40 Sendo R a medida, em metro, do raio do fuso, temos:
Ângulo (rad) ----- Área (m2)
2π ----- 4πR2
----- 12π∴ R = 6 m
41 a) A área Af do fuso pode ser calculada pela regra de três:
Medida do ângulo diedro (grau) ----- Área (m2)
360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 202
120 ----- Af
De onde obtemos: Af = m2
Como a área A da lona deve ter 10% a mais que a área do fuso, concluímos que:
A = 1,1 ⋅ m2 = m2
b) A medida do referido ângulo é o suplemento de 120°, ou seja, 60°.
c) Indicando por P o ponto onde será instalado o canhão de luz, por Q a projeção ortogonal de P sobre o plano do palco e por h a medida PQ, em metro, esquematizamos:
MARIO MATSUDA
Página 415
Do triângulo OPQ, temos:
sen 60° =
∴ h = m
Logo, a altura pedida é h = m.
• Exercícios complementares
1 Alternativa c
A área lateral A da cobertura é a terça parte (120°) da área lateral de um cilindro circular reto de altura 20 m e raio da base 10 m, ou seja:
2 A panela cilíndrica moldada tem 16 cm de raio da base e 12 cm de altura; logo, a capacidade V da panela é dada por:
V = (π ⋅ 162 ⋅ 12) cm3 = 3.072π cm3 ou, de modo equivalente, V = 3,072π dm3
Logo, a capacidade da panela é de 3,072π L ou, aproximadamente, 9,6 L.
3 O volume de água é o volume V do seguinte tronco de cilindro reto com base circular:
FAUSTINO
V = = 81π cm3
Logo, o volume de água no copo é 81π cm3.
4 Alternativa e
Indicando por R e h o raio da base e a altura do cone, respectivamente, e por r o raio do círculo formado pela superfície da água, temos, da semelhança entre os triângulos retângulos destacados na figura abaixo:
FAUSTINO
Sendo VT e VA o volume interno do tanque e o da água, respectivamente, temos:
A relação entre VT e VA pode ser obtida pela razão entre eles:
∴ VT = 8VA = 8π
5 Alternativa b
O trapézio isósceles ABCD, abaixo, representa uma secção meridiana desse tronco de cone, em que x é a medida, em metro, do segmento da projeção ortogonal FB do lado BC sobre a base maior do trapézio.
ILUSTRAÇÕES: MARIO MATSUDA
Do triângulo retângulo BCF, temos:
tg 30° =
∴ x = m
Como AB = + 2x, temos que AB = m. Assim, deduzimos que o raio da base maior do tronco mede m, com o que concluímos que a área S dessa base é dada por:
S = π ⋅ ()2 m2 = 108π m2
Ou seja, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de 108π m2.
6 a) O comprimento da circunferência que limita a base menor do tronco é 18π cm; logo, a medida r, em centímetro, do raio dessa base é dada por:
2πr = 18π ⇒ r = 9 cm
O comprimento da circunferência que limita a base maior do tronco é 36π cm; logo, a medida R, em centímetro, do raio dessa base é dada por:
2πR = 36π ⇒ R = 18 cm
Temos, portanto, que os raios das bases do tronco medem 9 cm e 18 cm.b) Os diâmetros das bases do tronco medem 18 cm e 36 cm, e a geratriz mede 15 cm. Assim, uma secção meridiana desse tronco é o trapézio isósceles representado a seguir, em que h é a medida, em centímetro, da altura do tronco.
Pelo teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCF, obtemos h:
h2 + 92 = 152 ⇒ h = 12 cm
Ou seja, a medida da altura do tronco é 12 cm.
c) Prolongando as geratrizes do tronco, obtemos o cone C que o contém. Assim, esquematizamos a figura a seguir, em que O e O´ são os centros das bases e G é a medida, em centímetro, da geratriz de C. Observe que G − 15 é a medida da geratriz, em centímetro, da geratriz do cone C´, contido em C, cuja base coincide com a base menor do tronco.
Da semelhança entre os triângulos LOB e LO´A, obtemos a medida G:
⇒ G = 30 cm
Assim, a área lateral Aℓ do tronco é dada por:
Aℓ = (π ⋅ 18 ⋅ 30 − π ⋅ 9 ⋅ 15) cm2 = 405π cm2
Ou seja, a área de tecido usado na confecção dessa copa é de 405π cm2.
7 O volume V da Terra é dado por:
Convertendo essa medida para centímetro cúbico, obtemos:
V ≈ 1,08 ⋅ 1027 cm3
Logo, a massa M do nosso planeta é calculada por:
M ≈ 1,08 ⋅ 1027 ⋅ 5,5 g ⇒ M ≈ 5,94 ⋅ 1027 g
Convertendo essa medida para quilograma, concluímos que:
M ≈ 5,94 ⋅ 1024 kg
8 Alternativa e
O esquema abaixo mostra o formato da pílula original e da reduzida, com as respectivas medidas.
Página 416Observamos que o volume de cada pílula é a soma do volume de um cilindro com o volume de uma esfera. Assim, indicando por Vo e VR os volumes da pílula original e da reduzida, respectivamente, temos:
eSubstituindo π por 3, obtemos:
Vo = 1.250 mm3 e VR = 736 mm3
Logo, a redução do volume da pílula original, após a reprogramação da máquina, será de (1.250 − 736) mm3, ou seja, 514 mm3.
9 O raio interno do fundo semiesférico é 6 mm; portanto, o volume Vse de sangue nessa semiesfera é dado por:
A altura do cilindro de sangue contido no tubo é (102 − 6) mm, ou seja, 96 mm. Logo, o volume VC desse cilindro é dado por:
VC = π ⋅ 62 ⋅ 96 mm3 ⇒ VC = 3.456π mm3
Assim, obtemos o volume V de sangue analisado:
V = Vse + VC ⇒ V = 3.600 mm3
O volume VG de glóbulos vermelhos acumulados no fundo do tubo, conforme mostra a figura 2, é dado por:
mm3 = VG = 1.440π mm3
Tendo esses valores, já podemos calcular o Ht:
10 Os centros dessas bolas são vértices de uma pirâmide regular quadrangular em que todas as arestas têm a mesma medida de 20 cm, conforme mostra o esquema abaixo. Assim, a altura H da pilha de bolas é a soma da altura h da pirâmide com 2 vezes o raio de uma bola.
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
h2 + ()2 = 202 ⇒ h = cm
Concluímos, então, que:
H = ( + 2 ⋅ 10) cm ⇒ H = 10( + 2) cm
11 Ângulo (grau) ----- Volume (cm3)
360 -----
60 ----- Vc
cm³ = 6π cm³12 a) Ângulo (grau) ----- Volume (cm3)
360 -----
30 ----- Vc
⇒ Vc = 375π cm3
b) Ângulo (grau) ----- Área (cm2)
360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 15²
30 ----- At
⇒ At = 75π cm2
c) A área total AT da superfície da cunha é a soma da área do fuso com as áreas de dois semicírculos de raio 15 cm, isto é:
AT = (75π + 225π) cm2 = 300π cm2
• Trabalhando em equipe
Análise da resolução
Comentário: Na resolução foi cometido um erro na montagem da proporção entre os lados correspondentes dos triângulos semelhantes. Para evitar esse tipo de erro, é conveniente separar os triângulos semelhantes e assinalar os ângulos correspondentes congruentes:
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
Pelo teorema de Pitágoras, calculamos AC:
(AC)2 = 502 + 1202 ⇒ AC = 130
Pela semelhança entre os triângulos AOB e ACO´, calculamos a medida R:
∴ 130R = 6.000 − 50R
∴ 180R = 6.000 ⇒ R =
Logo, a medida do raio da esfera é cm. cm ou, aproximadamente, 33,3 cm.
Matemática sem fronteiras
1 Esquematizando, temos:
NEIDE TOYOTA
Concluímos, então, que:a) a 65° e 81° a leste do meridiano de Greenwich, são 16 h e 17 h, respectivamente;
b) a 93° e 120° a oeste do meridiano de Greenwich, são 6 h e 4 h, respectivamente.
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Page 25
11 Alternativa aO volume da calha é o mesmo do prisma triangular reto representado abaixo.
MARIO MATSUDA
A área B da base desse prisma é calculada por:
B = m2 ⇒ B = 0,01 m2
Logo, o volume V do prisma é dado por:
V = (0,01 ⋅ 3) m3 = 0,03m3
12 O volume do leite derramado é o mesmo do prisma representado pelo espaço vazio dentro da caixa inclinada. Indicando por x a medida, em centímetro, da menor aresta da base desse prisma, esquematizamos:
MARIO MATSUDA
Assim, temos: tg 60° = ⇒ =
∴ x = cm
Concluímos, então, que o volume V do leite derramado é dado por:
V = ⋅ 7 ⇒ V = 350
Página 40613 Veja o esquema a seguir.
a) Verdadeiro, pois a lateral interna é formada por dois trapézios de altura 12 m e bases 3 m e 1 m, um retângulo de dimensões 1 m por 6 m e um retângulo de dimensões 6 m por 3 m; logo, a área S dessa lateral é dada por:
S = = 72 m2
b) Verdadeiro, pois o segmento , representado abaixo, separa a face trapezoidal ABCD no retângulo ABCE e no triângulo retângulo AED.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AED, temos:
(AD)2 = 122 + 22 ⇒ (AD)2 = 148
∴ AD = m
Logo, a área F do fundo da piscina é:
F = 6 m2 ≈ 72 m2
O número n de azulejos necessários para revestir o fundo da piscina é a razão entre F e a área de cada azulejo:
= 1.800
c) Verdadeiro, pois para a profundidade de 0,85 m em seu ponto mais raso teríamos a situação do esquema abaixo.
ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO
O volume V de água pode ser calculado como o volume de um prisma reto de altura 6 m cuja base é um trapézio retângulo de altura 12 m e lados paralelos de 0,85 m e 2,75 m, ou seja:
V = m3 = 133,2 m3
d) Falso, pois na ocasião o volume de água era 133,2 m3, ou seja, 133.200 L, e, portanto, a massa m de produto químico adicionado na piscina foi:
m = ⋅ 20 g = 266,4 g
e) Falso, pois o volume V da piscina é o volume de um prisma reto de altura 6 m cuja base é um trapézio retângulo de altura 12 m e lados paralelos com 1 m e 3 m:
V = ⋅ 6 m3 = 144 m3
∴ V − 133,2 m3 = 10,8 m3 = 10.800 L
Logo, devem ser acrescentados 10.800 L de água para encher a piscina.Compartilhe com seus amigos:
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33 Alternativa eProlongando as arestas laterais desse tronco de pirâmide, obtemos uma pirâmide de altura 3 + h, em metro, conforme mostra a figura:
NEIDE TOYOTA
Assim, temos:
Logo, o volume V do tronco de pirâmide é dado por:
∴ V = 52.000 dm3 ⇒ V = 52.000 L
• Exercícios complementares
a) A área B da base do prisma é dada por:
B = 6 ⋅ = 18 m2 ≈ 30,6 m2
Assim, a pressão sobre o plano da base é calculada por:
≈ ⇒ ≈ 2 N/b) A área de uma face lateral do prisma é dada por:
= 2 ⋅ 6 m2 = 12 m2 ⇒ ≈ 20,4 m2
Assim, a pressão sobre o plano de uma face lateral é calculada por:
≈ ⇒ ≈ 3 N/Compartilhe com seus amigos: