Dê a sua resposta à questão e o nosso especialista, após verificação, a publicará no site 👍 Na palavra Caderno quantos anagramas começam por C e terminam por O? A primeira letra, só pode ser o C, ou seja, 1 possibilidade. A última letra deve ser a letra O, sendo assim, 1 possibilidade. A segunda letra, pode ser qualquer uma das 5 letras restantes, ou seja, 5 possibilidades. A terceira letra, por uma das 4 que restaram, sendo então, 4 possibilidades de escolha. A quarta, por uma das 3 letras restantes, sendo 3 possibilidades. A quinta, tem 2 possibilidades. E a sexta, tem 1. Agora é só multiplicarmos: 1.5!.1= 120 possibilidades OBS : 5!=5.4.3.2.1 a) quantos anagramas podemos formar? b) quantos anagramas começam por C? c) quantos anagramas começam por C e terminam por O? d) quantos anagramas começam por vogal? e) quantos anagramas terminam por consoante? f) quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante? g) quantos anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e nessa ordem? h) quantos anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e em qualquer ordem? Resolução a) Um anagrama da palavra CADERNO é a própria palavra ou qualquer outro agrupamento que se obtém trocando a ordem de suas letras; por exemplo, ONERCAD. Assim, o número de anagramas da palavra CADERNO é igual ao número de permutações simples de sete letras distintas, isto é: P 7 = 7! = 5.040 b) Fixando a letra C na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições posteriores. ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO Logo, há 720 anagramas que começam por C. c) Fixando as letras C e O na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias: Portanto, há 120 anagramas que começam por C e terminam por O. d) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, E ou O. Para cada vogal fixada na primeira posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas posições posteriores: Assim, há 2.160 anagramas que começam por vogal. e) Há quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima) posição: C, D, R ou N. Para cada consoante fixada na sétima posição, sobram seis letras para serem distribuídas nas seis posições anteriores: Assim, há 2.880 anagramas que terminam por consoante. f) Há três possibilidades para o preenchimento da primeira posição e quatro possibilidades para o preenchimento da última (sétima). Fixadas uma vogal e uma consoante na primeira e na sétima posição, respectivamente, sobram cinco letras para serem distribuídas nas posições intermediárias: Há, portanto, 1.440 anagramas que começam por vogal e terminam por consoante. Página 154g) Vamos resolver este item de dois modos. 1º modo As letras C, A e D podem ocupar, respectivamente, as seguintes posições: primeira, segunda e terceira; segunda, terceira e quarta; terceira, quarta e quinta; quarta, quinta e sexta; quinta, sexta e sétima. Analisemos cada caso:Assim, temos: P4+ P4 + P4+ P4 + P4 = 5 ⋅ P4= 5 ⋅ 4! = 5! = 120 Ou seja, 120 anagramas apresentam as letras C, A e D juntas e nessa ordem. 2º modo Observando o primeiro modo, percebemos que o bloco CAD atuou como um único elemento nas permutações. Assim, podemos resolver esse problema calculando o número de permutações dos cinco elementos CAD, E, R, N e O, isto é, considerando o bloco CAD um único elemento. Temos, assim: P 5 = 5! = 120 h) Nesse caso, um bloco composto das letras C, A e D pode ter P 3 = 3! = 6 formas diferentes: CAD, CDA, DCA, DAC, ADC e ACD Para cada um desses seis blocos, podemos formar P5 = 5! = 120 anagramas, conforme vimos no item g. Logo, com os seis blocos podemos formar 6 ⋅ 120 = 720 anagramas. Ou seja, o número de anagramas que apresentam as letras C, A e D juntas é: P3 ⋅ P5 = 6 ⋅ 120 = 720 Compartilhe com seus amigos:
Page 2Coordenação de arte: Wilson Gazzoni AgostinhoEdição de arte: Denis Torquato Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda. Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen Ilustrações de vinhetas: Otávio dos Santos Coordenação de revisão: Adriana Bairrada Revisão: Alessandra Abramo Félix, Fernanda Marcelino, Rita de Cássia Sam, Vânia Bruno Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográfica: Carol Böck, Junior Rozzo Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Denise Feitoza Maciel, Marina M. Buzzinaro, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Fabio N. Precendo, Hélio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Viviane Pavani Compartilhe com seus amigos:
Page 3Notas:1. Podemos nos referir a uma sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) abreviadamente por ou, simplesmente, (an). 2. Em uma sequência finita (a1, a2 , a3, ..., an), os termos a1 e a n são chamados de extremos da sequência. Dois termos, ai e aj, são equidistantes dos extremos se, e somente se, a quantidade de termos que precedem ai é igual à quantidade de termos que sucedem aj. 3. Um termo am é chamado de termo médio de uma sequência finita com número ímpar de termos se, e somente se, a quantidade de termos que antecedem am é igual à quantidade de termos que o sucedem. Por exemplo, na sequência (a1, a2, a3, a4, ..., a58, a59, a60, a61), os extremos são a1 e a61. Os termos a4 e a58 são equidistantes dos extremos. E o termo médio da sequência é a31. 2 Lei de formação de uma sequência Um conjunto de informações capazes de determinar todos os termos de uma sequência e a ordem em que se apresentam é chamado de lei de formação da sequência. Exemplos a) Seja (an) a sequência tal que: As informações a1 = 3 e an+1 = 4 + an, para todo número natural n não nulo, determinam todos os elementos da sequência e a ordem em que se apresentam. Observe: • o primeiro termo da sequência é 3, isto é, a1 = 3; • na igualdade an+1 = 4 + an, atribuindo a n os valores 1, 2, 3, ..., obtemos os demais termos da sequência, isto é: n = 1 ⇒ a2 = 4 + a1 = 4 + 3 = 7 n = 2 ⇒ a3 = 4 + a2 = 4 + 7 = 11 n = 3 ⇒ a4 = 4 + a3 = 4 + 11 = 15 n = 4 ⇒ a5 = 4 + a4 = 4 + 15 = 19 ⋮ Portanto, a sequência é (3, 7, 11, 15, 19, ...). b) Considere a sequência (an) tal que an = n2 − 1. Para determinar os termos dessa sequência, basta atribuir a n os valores 1, 2, 3, 4, ... na igualdade an= n2 − 1. Observe: n = 1 ⇒ a1 = 1² − 1 = 0 n = 2 ⇒ a2 = 2² − 1 = 3 n = 3 ⇒ a3 = 3² − 1 = 8 n = 4 ⇒ a4 = 4² − 1 = 15 ⋮ Portanto, a sequência é (0, 3, 8, 15, ...). c) A sequência dos números primos positivos, em ordem crescente, é (2, 3, 5, 7, 11, ...). Observe que a lei de formação dessa sequência não foi expressa por uma equação, mas pela propriedade de que os números sejam primos positivos e estejam em ordem crescente. Esse exemplo mostra que a lei de formação de uma sequência pode não ser uma equação. Página 10Compartilhe com seus amigos:
Page 4EXERCÍCIOS RESOLVIDOS1 Determinar o 51º termo da P.A. (4, 10, 16, 22, ...). Resolução Devemos determinar o termo an = a1 + (n − 1)r dessa P.A. tal que: a1= 4, r = 6 e n = 51 Logo: a51 = 4 + (51 − 1) ⋅ 6⇒ a51= 4 + 50 ⋅ 6 = 304 Concluímos, assim, que o 51º termo da P.A. é 304. 2 Obter a razão da P.A. (a1, a2, a3, ...) tal que a1= 7 e a5 = 8. Resolução Aplicando a fórmula do termo geral na= a1+ (n − 1)r da P.A. para n = 5, temos: a5 = a1 + 4r ⇒ 8 = 7 + 4r ∴ r = Concluímos que a razão da P.A. é . 3 Determinar o número de termos da P.A. (2, 10, 18, ..., 250). Resolução Indicando por n o número de termos, devemos obter o valor de n na expressão an = a1 + (n − 1)r tal que: a1= 2, an = 250 e r = 8 Logo: 250 = 2 + (n − 1) ⋅ 8 ⇒ 250 = 2 + 8n − 8 ∴ 256 = 8n ⇒ n = 32 Concluímos, então, que a P.A. possui 32 termos. 4 Qual é a razão da P.A. (an) tal que a1+ a5 = 26 e a2 + a9= 46? Resolução Pela fórmula an = a1 + (n − 1)r, podemos representar os termos a5 , a2 e a9 por: a5 = a1 + 4r a2 = a1 + r a9 = a1 + 8r Assim: ∴ Subtraindo, membro a membro, essas igualdades, temos: −5r = −20 ⇒ r = 4 Concluímos, então, que a razão da P.A. é 4. 5 Percorrendo uma estrada no sentido crescente das marcas quilométricas, percebe-se o primeiro radar (medidor de velocidade) no quilômetro 27. A partir daí há um radar a cada 15 quilômetros. Quantos radares existem até o quilômetro 360 dessa estrada? THEO FITZHUGH/SHUTTERSTOCK Resolução A sequência das marcas quilométricas onde existem radares, até o quilômetro 360, é a P.A. de primeiro termo 27, razão 15 e último termo : (27, 42, 57, ..., an) Como não sabemos, por enquanto, se 360 é um termo da P.A., devemos supor que an ≤ 360. Pela fórmula do termo geral an = a1 + (n − 1)r, temos: an ≤ 360 ⇒ 27 + (n − 1) ⋅ 15 ≤ 360 ∴ (n − 1) ⋅ 15 ≤ 333 ⇒ n − 1 ≤ ∴ n ≤ 23,2 Como n é um número natural, temos que o maior valor possível de n é 23. Assim, concluímos que até o quilômetro 360 há 23 radares. (Nota: Essa resolução nos permite afirmar que 360 não pertence à P.A., pois na última desigualdade da resolução da inequação, n ≤ 23,2, o segundo membro não é um número natural.) 6 Interpolar (inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 2, nessa ordem. Resolução Interpolar (ou inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 2, nessa ordem, significa determinar a P.A. de primeiro termo 1 e último termo 2, havendo entre eles quatro outros termos, isto é: Pela fórmula do termo geral an = a1+ (n − 1)r, temos: a6 = a1 + 5r ⇒ 2 = 1 + 5r ∴ r = Logo, a P.A. é . Página 15Compartilhe com seus amigos:
Page 5[ícone: atividade em grupo] 28 Dispondo em ordem crescente as medidas, em grau, dos três ângulos internos de um triângulo, obtém-se uma P.A. Se a medida do maior ângulo interno desse triângulo tem 20° a mais que a medida do menor, qual é a medida do menor ângulo interno desse triângulo? 50°Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética No ano de 1785, em uma pequena escola do principado de Braunscheweig, na Alemanha, o professor Büttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um menino de 8 anos de idade aproximou-se da mesa do professor e apresentou o resultado pedido. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Carl Friedrich Gauss (pintura de 1840). Matemático, físico e astrônomo alemão de extraordinária capacidade intelectual. Realizou importantes trabalhos em várias áreas do conhecimento, notadamente em Matemática. MUSEU ESTATAL PUSHKIN DE BELAS ARTES, MOSCOU Aquele menino viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Carl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por Gauss foi simples e elegante; ele percebeu que: • a soma do primeiro número com o último é: 1 + 100 = 101 • a soma do segundo número com o penúltimo é: 2 + 99 = 101 • a soma do terceiro número com o antepenúltimo é: 3 + 98 = 101 e assim por diante, ou seja, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos, que é 101: Como no total são 50 somas iguais a 101, Gauss concluiu que: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50 ⋅ 101 = 5.050 Esse raciocínio pode ser generalizado para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer pelo teorema a seguir. A soma Sn dos n primeiros termos da P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ...) é dada por: Sn = Compartilhe com seus amigos:
Page 6Classificação das progressões geométricasAs progressões geométricas podem ser classificadas em crescente, decrescente, constante, oscilante ou quase nula. • Crescente: uma P.G. é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o antecedente. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1. Exemplos a) (1, 2, 4, 8, ...) é uma P.G. crescente de razão q = 2. b) é uma P.G. crescente de razão q = . • Decrescente: uma P.G. é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o antecedente. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1. Exemplos a) é uma P.G. decrescente de razão q = . b) (−1, −3, −9, −27, ...) é uma P.G. decrescente de razão q = 3. • Constante: uma P.G. é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso ocorra, é necessário e suficiente que sua razão seja 1 ou que todos os seus termos sejam nulos. Compartilhe com seus amigos:
Page 7EXERCÍCIO RESOLVIDO18 Determinar a P.G. de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do 2º com o 3º termo é 10. Resolução Quando se conhece o produto dos termos, a representação mais cômoda é . Pelo enunciado, temos: ∴ x = 2 (I) Também sabemos que: x + xq = 10 (II) Substituindo (I) em (II), obtemos: 2 + 2q = 10 ⇒ q = 4 Assim, para x = 2 e q = 4, a P.G. é igual a . EXERCÍCIOS PROPOSTOS Faça as atividades no caderno. 56 Determine a P.G. crescente de três termos tal que a soma dos três termos é 14 e o produto deles é 64. (2, 4, 8) 57 Como já comentamos no exercício proposto 37, qualquer dispositivo que resiste à passagem da corrente elétrica em um circuito é chamado de resistor. Essa resistência pode ser medida em ohm, cujo símbolo é a letra grega Ω (ômega). Admitiremos sempre medidas positivas para resistências. Dos estudos de Física, sabemos que em uma associação em paralelo de n resistores com resistências iguais a R, R2, R3, ..., Rn, respectivamente, a resistência equivalente, Req, é dada por: Página 29FAUSTINO De acordo com essa informação, resolva o problema a seguir. Em um circuito, três resistores estão ligados em paralelo, e suas respectivas resistências, medidas em ohm (Ω), estão em progressão geométrica de razão 2. Indicando por R a maior dessas resistências, obtenha uma equação que expresse a resistência equivalente, Req, dessa associação, em função de R. Req = Compartilhe com seus amigos:
Page 8Observe que:n = 1 ⇒ (1, 2) n = 2 ⇒ (2, 4) n = 3 ⇒ (3, 8) n = 4 ⇒ (4, 16) ⋮Generalizando, consideremos a P.G. não constante (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão positiva q. Seu termo geral, an = a1 ⋅ qn – 1, é equivalente a = ⋅ qn e, portanto, a representação gráfica dessa P.G. é formada por pontos da função y = ⋅ Dessa maneira, algumas importantes propriedades da função exponencial podem ser aplicadas na resolução de problemas que envolvam progressões geométricas. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Faça as atividades no caderno. 1 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos: A regra para construir esses mosaicos é a seguinte: inicialmente, formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos brancos, também cercado por azulejos pretos; e assim sucessivamente. Considerando a sequência de mosaicos com número crescente de azulejos, responda às questões. a) Quantos azulejos brancos terá o 15º mosaico dessa sequência? 225 azulejos brancosb) Quantos azulejos brancos terá o n-ésimo mosaico dessa sequência? n2 azulejos c) Quantos azulejos pretos terá o 20º mosaico dessa sequência? 84 azulejos pretos d) Quantos azulejos pretos terá o n-ésimo mosaico dessa sequência? 4n + 4 azulejos 2 (Enem) Uma pessoa decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. Todo dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente. Se a primeira moeda foi depositada em uma segunda-feira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de: Compartilhe com seus amigos:
Page 9b) A mediana, a bissetriz e a ______ relativas à base do triângulo isósceles coincidem. alturac) A mediatriz relativa à base de um triângulo isósceles contém a ______, a bissetriz e a altura relativas a essa base. mediana d) Se um triângulo possui dois ângulos internos congruentes, então os lados opostos a esses lados são ______. congruentes e) Se um triângulo possui dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são ______. congruentes 6 No triângulo isósceles ABC abaixo, M é ponto médio do lado . Calcule o comprimento da mediana . AM = 15 7 Em um plano, uma reta r é tangente a uma circunferência λ de centro O se, e somente se, ambas têm em comum um único ponto T. Esse ponto é chamado ponto de tangência. ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO Considerando essa definição, copie as frases no caderno, completando as lacunas de modo a tornar verdadeira cada uma das afirmações.a) A distância entre O e r é a medida do ______ da circunferência. raio b) O raio forma com a reta r ângulos de medida ______. 90° c) Se dois segmentos e são tangentes à circunferência nos pontos B e C, então a medida AB é ________ à medida AC. igual d) Se dois segmentos de reta e são tangentes à circunferência nos pontos B e C, então o centro O pertence à bissetriz do ângulo ______. BC Página 37Compartilhe com seus amigos:
Page 10EXERCÍCIOS RESOLVIDOS1 Com o auxílio de uma régua graduada e de um transferidor, calcular o valor aproximado de sen 42°, cos 42° e tg 42°. Resolução Construímos um ângulo de 42° e traçamos uma perpendicular a um dos lados desse ângulo, conforme mostra a figura a seguir. ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO Medindo com auxílio da régua os lados do triângulo ABO, obtemos: AB = 1,5 cm; AO = 1,7 cm; BO = 2,2 cm Assim, calculamos: sen 42° = cos 42° = tg 42° =Quando medimos um segmento de reta com uma régua graduada, cometemos, inevitavelmente, erros de aproximação. Portanto, os resultados obtidos para sen 42°, cos 42° e tg 42° são valores aproximados. Existem métodos mais eficientes para calcular esses valores, qualquer que seja a precisão desejada. 2 Sabendo que sen 36° = 0,58, cos 36° = 0,80 e tg 36° = 0,72, calcular o valor de x em cada figura. Compartilhe com seus amigos:
Page 11Exemplosa) 30° é o complemento de 60°; logo: sen 30° = cos 60° e sen 60° = cos 30° b) 12° é o complemento de 78°; logo: sen 12° = cos 78° e sen 78° = cos 12° EXERCÍCIO RESOLVIDO 6 Sabendo que cos 23° = 0,92, calcular o valor da expressão: E = Resolução Como 23° é o complemento de 67°, temos cos 67° = sen 23°. Logo: E = = = 2sen 23° ⋅ Ou seja: E = = = 0,46 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Faça as atividades no caderno. 6 Sabendo que sen 55° = 0,82 e cos 55° = 0,57, qual das alternativas apresenta a medida mais próxima de x? ADILSON SECCO a) 36 cm b) 37 cm c) 38 cm d) 39 cm e) 40 cm alternativa d 7 Considerando sen 10° = 0,17 e sen 80° = 0,98, calcule cos 10°, cos 80°, tg 10° e tg 80°. cos 10° = 0,98; cos 80° = 0,17; tg 10° = 0,17; tg 80° = 5,768 Na figura abaixo, as retas r e s formam entre si um ângulo de 37°, e o segmento , contido em r, mede 18 cm. r B A Calcule a medida da projeção ortogonal do segmento sobre a reta s. (Dado: sen 53° = 0,79) 14,22 cm9 Em um cinema, os olhos de um espectador estão no mesmo plano horizontal que contém a base da tela vertical com 3,2 m de altura, conforme mostra a figura anterior. O espectador vê toda a extensão vertical da tela sob um ângulo agudo de medida α tal que sen (90° − α) = a) Calcule sen α, cos α e tg α. sen α = ; cos α = ; tg α =b) Calcule a distância entre os olhos do espectador e a base da tela. 6 mCompartilhe com seus amigos:
Page 12a) 40 mb) 20 m c) 20 m d) 30 m e) 25 m alternativa b 6 Por causa da grande distância entre o Sol e a Terra, os raios solares que incidem em nosso planeta podem ser considerados paralelos. Em um momento em que os raios solares formam ângulos de 34° com o plano da circunferência do equador terrestre, um prédio vertical de 60 m de altura projeta uma sombra de 20m sobre o terreno plano e horizontal que contém sua base. Admitindo que a Terra seja esférica e que o prédio esteja ao norte do equador, podemos concluir que o prédio está localizado em um ponto de latitude: Compartilhe com seus amigos:
Page 131 O radiano, unidade de medida de arco e de ânguloNo estudo da Geometria plana, é comum o uso do grau como unidade de medida de ângulo e de arco de circunferência. Neste capítulo, estudaremos outra unidade para medir arco e ângulo: o radiano, definido a seguir. Consideremos um arco contido em uma circunferência de raio r e centro O tal que o comprimento do arco seja igual a r. Dizemos que a medida do arco é 1 radiano (1 rad). Lembre-se de que a circunferência corresponde a um arco de uma volta completa e por isso mede 360°, 1° equivale a 60' e 1' equivale a 60". Um radiano (1 rad) é a medida de um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém. Um ângulo AB mede 1 rad se, e somente se, determinar em uma circunferência de centro O um arco de 1 rad. Compartilhe com seus amigos:
Page 14a) a = 32°b) β = 50°c) ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO θ = 90°3 Observando o item c do exercício anterior, podemos afirmar que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é: a) obtusângulo. b) acutângulo. c) retângulo. d) isósceles. e) escaleno. alternativa c Página 524 O comprimento c (perímetro) de uma circunferência de raio r é dado por c = 2πr, em que π é um número irracional que vale, aproximadamente, 3,14. Considerando essa propriedade, resolva o exercício a seguir. A circunferência máxima que está contida na superfície terrestre e divide o planeta nos hemisférios norte e sul é chamada de linha do equador. Seu raio é 6.370 km. a) Adotando π = 3,14, calcule o comprimento da linha do equador, em quilômetro. ≈ 40.003,6 kmb) Um navio percorreu um arco de 10° sobre a linha do equador. Calcule o comprimento, em quilômetro, do trecho percorrido pelo navio. ≈ 1.111,2 kmCompartilhe com seus amigos:
Page 15a) uma volta completa.b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas. alternativa d 2 Calcule a medida, em radiano, de um arco de 10 cm contido em uma circunferência com 2,5 cm de raio. 4 rad 3 Determine a medida, em radiano, equivalente a: a) 30° radb) 120° radc) 225° radd) 300° rade) 240° f) 330° 4 Determine a medida, em grau, equivalente a: a) rad 45° b 270° c) ° d) ° e) ° 5 O disco de vinil é uma mídia desenvolvida no início da década de 1950 para a reprodução musical. Um dos vários tipos de disco de vinil é o LP (Long Play), gravado para ser reproduzido a rpm (rotações por minuto). Ao ser reproduzido com essa especificação, qual é a velocidade de rotação de um LP em rad/s? rad /s ou, aproximadamente, 3,5 rad/s Compartilhe com seus amigos:
Page 16Por uma figura de retórica denominada metonímia, admite-se chamar de raio da circunferência tanto o segmento que une o centro a um ponto da circunferência quanto a medida desse segmento.EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Determinar a medida, em radiano, do arco , de 20 cm, contido na circunferência de raio 5 cm, representados abaixo. ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO Resolução Pela definição, nessa circunferência, cada arco de 1 rad tem 5 cm de comprimento. Assim, por meio de uma regra de três, determinamos a medida x, em radiano, do arco : Logo: x = rad = 4 rad Dizer que o arco mede 4 rad é o mesmo que dizer que o comprimento do arco é o quádruplo do comprimento do raio. Página 56Compartilhe com seus amigos:
Page 17Trabalhando em equipe“Comprometimento individual a um esforço conjunto – isso é que faz um time funcionar, uma empresa funcionar, uma sociedade funcionar, uma civilização funcionar.” Vince Lombardi, primeiro treinador campeão do Super Bowl. Componha uma equipe com alguns colegas e discutam as seções a seguir. ANÁLISE DA RESOLUÇÃO Um aluno resolveu o exercício conforme a reprodução a seguir. Um erro foi cometido. Apontem o erro e refaçam a resolução no caderno, corrigindo-a. Exercício Calcule a medida x, em metro, do segmento da figura a seguir. FAUSTINO O aluno foi induzido, pela figura, a supor que o quadrilátero ABCE é um quadrado, o que não é verdade. Resolução correta: Os ângulos CB e CD medem 30° cada um; portanto, o triângulo BCD é isósceles, com CB = CD = 50 m. Assim, no triângulo CDE temos: sen 30° =∴ x = 25 Logo, a medida do segmento é 25 m. Resolução No triângulo CD temos: tg 30° = => = ∴ x = Logo, a medida do segmento é . Página 53Compartilhe com seus amigos:
Page 18[ícone: atividade em grupo] 6 Supondo que a Terra seja esférica, toda circunferência contida na superfície terrestre e em um plano perpendicular ao eixo de rotação do planeta é chamada de paralelo terrestre. O paralelo cujo centro coincide com o centro da Terra é a linha do Equador, cujo raio é de 6.370 km, o mesmo raio da Terra.A linha do Equador passa pela cidade brasileira de Macapá, no Amapá. Ali existe um obelisco, no qual se destaca o marco zero, localizado sobre um ponto P da linha do Equador. Os cinco principais paralelos terrestres ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL Marco zero, na cidade de Macapá. Foto de 2014. FABIO COLOMBINI O movimento de rotação da Terra faz com que o ponto P gire em torno do eixo do planeta. Considerando o arco de circunferência descrito pelo ponto P em torno do eixo de rotação da Terra, durante 9 horas, respondam aos itens a seguir. a) Calculem o comprimento do arco em quilômetro e sua medida em grau e em radiano. Comprimento:b) Se um ponto Q da superfície terrestre não pertence ao Equador nem coincide com um dos polos, norte ou sul, quantos radianos ele gira em torno do eixo do planeta em 9 horas? rad Resolva os exercícios complementares 1 a 3. Compartilhe com seus amigos:
Page 19A medida da circunferência em radianoSabemos que uma circunferência mede 360°. Qual é sua medida em radiano? Para responder a essa pergunta, consideremos uma circunferência cujo raio tenha medida r. Como o comprimento dessa circunferência é 2πr, podemos obter sua medida x, em radiano, por meio de uma regra de três: Logo: x = rad = 2π rad Assim, concluímos que: A medida de uma circunferência é 2π rad. Transformações de unidades Dizemos que uma medida em radiano é equivalente a uma medida em grau se ambas são medidas de um mesmo arco; por exemplo, 2π rad é equivalente a 360°, pois são medidas de um arco de uma volta completa. Consequentemente, temos: π rad é equivalente a 180°. Essa equivalência nos permite transformar unidades, ou seja, tendo a medida de um arco em grau, podemos obter a medida desse arco em radiano e vice-versa. Compartilhe com seus amigos:
Page 20MATEMÁTICA SEM FRONTEIRASDistância da Terra à Lua Representação artística da Terra e do Sol vistos da Lua. CHRIS BUTTLER/SCIENCE PHOTO LIBRARY/LATINSTOCK Utilizando as relações trigonométricas, os astrônomos calculam as dimensões de corpos celestes e a distância entre eles. Para exemplificar, mostraremos uma maneira de calcular a distância entre a Terra e a Lua e a medida do raio desse satélite. Suponhamos que em um observatório astronômico A a Lua seja vista no zênite, isto é, na vertical; no observatório B, ela é vista na linha do horizonte, conforme representação esquemática abaixo. Conhecendo a medida R do raio da Terra e a medida a do ângulo central AB, que é igual à medida do ar com , pode-se obter a distância entre a Terra e a Lua (AL) da maneira descrita abaixo. cos α = ⇒ AL = Para o cálculo da medida r do raio da Lua, inicialmente medimos o ângulo β formado pelas duas retas tangentes e a um círculo máximo do satélite, conforme a figura a seguir: m(TâT’) = β ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO Sendo AL = d, do triângulo retângulo ACT, obtemos: sen = ⇒ r = Compartilhe com seus amigos:
Page 21f ) Um triângulo é acutângulo quando possui todos os seus ângulos internos agudos.g) Um triângulo é obtusângulo quando possui um ângulo interno obtuso. h) Dois triângulos semelhantes são chamados de triângulos congruentes quando a razão de semelhança entre eles é 1. i) Uma circunferência se diz circunscrita a um polígono quando todos os vértices do polígono pertencem à circunferência. Nesse caso, diz-se, também, que o polígono está inscrito na circunferência. j) Uma circunferência se diz inscrita em um polígono quando todos os lados do polígono tangenciam a circunferência. Nesse caso, diz-se, também, que o polígono está circunscrito à circunferência. k) Um polígono convexo que possui todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si é chamado de polígono regular. l) Chama-se centro de um polígono regular o centro da circunferência inscrita (ou circunscrita) ao polígono. m) Dois ângulos quaisquer formados por duas retas paralelas e uma transversal ou têm medidas iguais, ou são suplementares. 2 A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central correspondente. Considerando essa propriedade, determine as medidas α, β e θ dos ângulos inscritos AB, CD e EF, abaixo, em que o arco é uma semicircunferência. Compartilhe com seus amigos:
Page 22EXERCÍCIOS RESOLVIDOS2 Determinar a medida, em radiano, equivalente a 150°. Resolução Lembrando que π rad é equivalente a 180°, basta resolver a regra de três: x = radianos ⇒ x = rad Logo, rad equivalem a 150°. 3 Determinar a medida, em grau, equivalente a rad. Resolução Medida em radiano π 180 Medida em grau π x x = graus ⇒ x = 60° Logo, 60° equivalem a rad. Página 57EXERCÍCIOS PROPOSTOS Faça as atividades no caderno. 1 (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: Compartilhe com seus amigos:
Page 23ATIVIDADEFaça a atividade no caderno. [ícone: calculadora] 1 O Sol é visto de um ponto da Terra sob um ângulo de 0,53° aproximadamente. Sabendo que a distância da Terra ao Sol é algo em torno de 150.000.000 km, calculem uma medida aproximada do raio do Sol. ≈ 693.000 kmPágina 54 CAPÍTULO 3 - Circunferência trigonométrica: seno e cosseno Satélite Glory na órbita terrestre. Foto de 2011. NASA Além da teoria Ao plano da órbita circular de um satélite ao redor da Terra é associado um sistema cartesiano cuja unidade adotada nos eixos é o quilômetro, e a origem O é o centro da Terra e também da órbita, conforme mostra o esquema abaixo, em que A(900, 0) e B são os pontos dessa órbita. FAUSTINO 1. Quais são as coordenadas do ponto B para α = 30°? (450, 450) 2. Sabendo que em determinado instante a posição do satélite é o ponto B(450, 450, ), determine a medida α do ângulo agudo AB. 60° Observamos, pelos itens 1 e 2, que as coordenadas do ponto B são obtidas em função do raio da circunferência e da medida α do ângulo central AB. Essa ideia será aplicada nas definições de seno e cosseno de um arco trigonométrico. Página 55Compartilhe com seus amigos:
Page 243a) AL = (2π ⋅ 2 ⋅ 5) m2 = 20π m2 b) B = (π ⋅ 22) m2 = 4π m2 c) AT = (20π + 2 ⋅ 4π) m2 = 28π m2 d) ASM = (4 ⋅ 5) m2 = 20 m2 e) V = (4π ⋅ 5) m3 = 20π m3 4 a) AL = (2π ⋅ 4 ⋅ 8) cm2 = 64π cm2 b) B = (π ⋅ 42) cm2 = 16π cm2 c) AT = (64π + 2 ⋅ 16π) cm2 = 96π cm2 d) ASM = 82 cm2 = 64 cm2 e) V = (16π ⋅ 8) cm3 = 128π cm3 5 Sendo r a medida, em decímetro, do raio da base do cilindro equilátero, temos: (2r)2 = 144 ⇒ r = 6 Logo: AL = 2π ⋅ 6 ⋅ 12 dm2 = 144π dm2 AT = (144π + 2 ⋅ π ⋅ 62) dm2 = 216π dm2 V = π ⋅ 62 ⋅ 12 dm3 = 432π dm3 6 A seção meridiana é equivalente a uma das bases do cilindro, o que significa que elas têm mesma área. Sendo h a medida, em centímetro, da altura do cilindro, temos: 10h = π ⋅ 52 ⇒ h = Logo: AL = cm2 = 25π2 cm2 AT = (25π2 + 2 ⋅ π ⋅ 52) cm2 = 25π(π + 2) cm2 Sendo B a área da base e V o volume, temos: B = (π ⋅ 52) cm2 = 25π cm2 e V = B ⋅ h = cm³ Logo: cm3 7 Sendo r a medida, em centímetro, do raio da base do cilindro, o rótulo é um retângulo de comprimento 2πr e altura 10 cm. Assim, temos: 2πr ⋅ 10 = 80π ⇒ r = 4 cm Logo, a área total da superfície da lata é dada por: AT = (2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅ 10 + 2 ⋅ π42) cm2 = (80π + 32π) cm2 = 112π cm2 8 a) V = (π ⋅ 22 ⋅ 6) cm3 = 24π cm3 b) ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO AT = (2π ⋅ 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ π ⋅ 62) cm2 = 96π cm2 Página 4109 Alternativa c Indicando por R a medida, em metro, do raio da nova cisterna, esquematizamos: Assim, devemos ter: π ⋅ R2 ⋅ 3 = 81 Substituindo π por 3, obtemos: 3 ⋅ R2 ⋅ 3 = 81 ⇒ R2 = 9 ∴ R = 3 Concluímos, então, que o raio da atual cisterna deve ser aumentado em 2 m. 10 Alternativa d Temos que 1 m = 100 cm e 10,99 kg = 10.990 g. Assim, o volume V de PVC que compõe o tubo é dado por: V = (π ⋅ 132 ⋅ 100 − π ⋅ 122 ⋅ 100) cm3 ⇒ V = 2.500π cm3 Adotando π = 3,14, temos que V = 7.850 cm3. Assim, a densidade d do PVC é calculada por: d = = 1,4 g/cm3 11 a) b) Aℓ = 2rh + πrh ⇒ Aℓ = (2 ⋅ 5 ⋅ 10 + π ⋅ 5 ⋅ 10) cm2 = 50(2 + π) cm2 c) AT = Aℓ + πr2 ⇒ AT = (100 + 50π + 25π) cm2 = 25(4 + 3π) cm2 12 sen 30º = ∴ h = 6 cm Assim, o volume V do cilindro é dado por: V = π ⋅ 52 ⋅ 6 = 150π Logo, o volume desse cilindro é 150π cm3. 13 Colocando sobre esse tronco outro congruente a ele, obtemos o cilindro: Temos, portanto, que o volume VT do tronco é metade do volume desse cilindro: VT = = 112π cm3 Criando problemas Resposta pessoal. 14 Indicando por g a medida, em centímetro, da geratriz , esquematizamos: Pelo teorema de Pitágoras, temos: g2 = 62 + 82 ⇒ g = 10 Logo, a geratriz mede 10 cm. 15 Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo equilátero com 4 dm de lado. Logo, o perímetro de uma dessas secções é 12 cm. 16 Inicialmente, aplicamos o teorema de Pitágoras para o cálculo da medida g da geratriz do cone. g2 = 62 + 82 ⇒ g = 10 cm Em seguida representamos no plano a superfície lateral do cone. E também sua base: a) A área lateral AL é obtida pela regra de três: Comprimento do arco do setor (cm) ----- Área do setor (cm2) 2 ⋅ π ⋅ 10 ----- π ⋅ 102 2 ⋅ π ⋅ 8 ----- Aℓ Aℓ = = 80π cm2 b) B = (π ⋅ 82) cm2 = 64π cm2 c) AT = (80π + 64π) cm2 = 144π cm2 d) A medida θ, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone é dada pela regra de três: Comprimento do arco do setor (cm) ----- Medida do ângulo central (grau) 2 ⋅ π ⋅ 10 ----- 360° 2 ⋅ π ⋅ 8 ----- θ θ = = 288° e) Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo isósceles de lados com 10 cm, 10 cm e 16 cm: ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO Logo: ASM = cm²= 48 cm2 f) V = = 128π cm3 Página 41117 a) A área lateral AL é obtida pela regra de três: Comprimento do arco do setor (dm) ----- Área do setor (dm2) 2 ⋅ π ⋅ 8 ----- π ⋅ 82 2 ⋅ π ⋅ 4 ----- Aℓ Aℓ = dm2 = 32π dm2 b) B = (π ⋅ 42) dm2 = 16π dm2 c) AT = (32π + 16π) dm2 = 48π dm2 d) A medida θ, em grau, do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone é dada pela regra de três: Comprimento do arco do setor (cm) ----- Medida do ângulo central (grau) 2 ⋅ π ⋅ 8 ----- 360° 2 ⋅ π ⋅ 4 ----- θ θ = cm²= 180° e) Qualquer secção meridiana desse cone é um triângulo equilátero com 8 dm de lado; logo: ASM = f) 18 As secções meridianas são triângulos equiláteros. Sendo g a medida, em centímetro, do lado de um desses triângulos, temos: ASM = ⇒ e, portanto: g = 4 cm Assim, temos: A área lateral AL é obtida pela regra de três: Comprimento do arco do setor (cm) ----- Área do setor (cm2) 2 ⋅ π ⋅ 4 ----- π ⋅ 42 2 ⋅ π ⋅ 2 ----- AL AL = = 8π cm2 AT = (8π + π ⋅ 22) cm2 = 12π cm2 19 O volume V de biju com cada casquinha é a diferença entre os volumes dos cones de alturas 12 cm e 11 cm e raios das bases 3 cm e 2,7 cm, respectivamente, ou seja: V = = 9,27π cm3 ≈ 29,12 cm3 Logo, o volume de biju em cada casquinha é 9,27π cm3 ou aproximadamente 29,12 cm3. 20 Inicialmente, calculamos a medida do cateto . (BC)2 + 152 = 172 ⇒ BC = 8 cm a) b) AT = (π ⋅ 15 ⋅ 17 + π ⋅ 152) cm2 = 480π cm2 21 Uma secção meridiana desse cone mostra dois triângulos semelhantes ABC e ADE, conforme a figura a seguir, em que r é a medida, em centímetro, do raio da base do cone formado pela água. ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO Dessa semelhança, resulta: = 3 cm Logo, o volume V de água no copo é dado por: V = = 36π cm3 Como 1 cm3 = 1 mL, concluímos que o volume de água no copo é de 36π mL. 22 Sendo g a medida, em centímetro, da geratriz do cone, sua superfície lateral é equivalente ao setor: MARIO MATSUDA Página 412 Assim, temos: = π ⇒ g = 14 cm Uma secção meridiana do chapéu de altura h é: MARIO MATSUDA Portanto: h2 + 72 = 142 ⇒ h = cm Logo, a distância do bico do chapéu à mesa é cm. Criando problemas Resposta pessoal. 23 Uma secção meridiana do cone determina os triângulos VAB e VCD, conforme mostra a figura abaixo. FAUSTINO Pelo caso A.A. deduzimos que os triângulos VAB e VCD são semelhantes. Assim, obtemos a medida, em decímetro, do segmento : ⇒ CD = 3 cm Pelo teorema de Pitágoras, temos VD = 5 dm e VB = 10 dm. Assim, respondemos aos itens:a) O volume VT do tronco é a diferença entre o volume do cone original e o volume do cone determinado acima do plano α, isto é: VT = ⇒ VT = 84π dm3 b) A área lateral AL do tronco é a diferença entre a área lateral do cone original e a área lateral do cone determinado acima do plano α, isto é: AL = π ⋅ 6 ⋅ 10 − π ⋅ 3 ⋅ 5 dm2 ⇒ AL = 45π dm2 c) A área total AT do tronco é a soma da área lateral com a área das bases, isto é: AT = 45π + π ⋅ 62 + π ⋅ 32 dm2 ⇒ AT = 90π dm2 24 Sendo h a medida, em metro, do cone obtido pelos prolongamentos das geratrizes desse tronco, temos a secção meridiana. MARIO MATSUDA m Assim, o volume V do tronco de cone é dado por: V = ⇒ V = 234π m³ Para π = 3,14, temos: V = 734,76 m3 = 734.760 dm3 Como 1 L = 1 dm3, concluímos que a capacidade do reservatório é 734.760 L. Questões para reflexão Dois cones circulares retos são semelhantes quando uma secção meridiana de um deles é semelhante a uma secção meridiana do outro. Assim, se um plano intercepta um cone circular reto C paralelamente à sua base, separando-o em dois sólidos, então um desses sólidos é um cone C´ semelhante a C. 25 a) A secção plana determinada na esfera é um círculo de centro O' e raio r tal que πr2 = 144π cm2; logo, r = 12 cm. Sendo d a distância, em centímetro, entre O e α, esquematizamos: Pelo teorema de Pitágoras, obtemos a distância d: d2 + 122 = 132 ⇒ d = 5 Portanto, a distância entre O e α é 5 cm. b) Na figura anterior, a semirreta intercepta a superfície da esfera no ponto P tal que O'P = (5 + 13) cm, ou seja, O'P = 18 cm. Logo, a maior distância possível entre O' e um ponto da esfera é 18 cm. 26 a) A secção plana da esfera é um círculo. Sendo r a medida, em centímetro, do raio desse círculo, temos: Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a medida r: r2 + 152 = 172 ⇒ r = 8 A área A da secção plana é dada por: A = π ⋅ 82 cm2 ⇒ A = 64π cm2 b) O perímetro P da secção plana é dado por: P = 2 ⋅ π ⋅ 8 cm ⇒ P = 16π cm c) A intersecção da esfera com o plano pl(ABC) é um círculo de diâmetro ; logo, o triângulo ABC é retângulo em B, pois está inscrito na metade desse círculo: ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a distância BC: (BC)2 + 162 = 342 ⇒ BC = 30 Logo, a distância entre B e C é 30 cm. 27 Alternativa b Sendo x a medida, em centímetro, de uma aresta do cubo, temos: x3 = 13.824 ⇒ x = 24 Como o diâmetro de cada esfera é 12 cm, cada uma das dimensões do cubo — comprimento, largura e altura — equivale a dois diâmetros. Logo, o número máximo de esferas que podem ser armazenadas em uma caixa é 2 ⋅ 2 ⋅ 2, ou seja, 8. Questões para reflexão Uma esfera está inscrita em um cone circular reto se, e somente se, tangencia todas as geratrizes e a base do cone. Nesse caso, diz-se também que o cone está circunscrito à esfera. Conhecendo o raio da base e a altura de um cone circular reto, o cálculo do raio da esfera inscrita nesse cone pode ser feito por semelhança de triângulos, conforme mostra o exercício resolvido a seguir. Uma esfera está inscrita em um cone circular reto de altura 12 cm e raio da base 9 cm. Calcular a medida do raio da esfera. Página 413Resolução O centro O' da esfera, o vértice V e o centro O da base do cone são pontos colineares. O raio da esfera com extremo T em uma geratriz do cone é perpendicular a essa geratriz. Assim, sendo r o raio da esfera, temos: MARIO MATSUDA Pelo teorema de Pitágoras, temos: (VM)2 = 122 + 92 ⇒ VM = 15 Os triângulos VOM e VTO' são semelhantes (pelo caso A.A.); logo: ⇒ 15r = 108 − 9r ∴ 24r = 108 ∴ r = 4,5 Portanto, a esfera tem raio de 4,5 cm. Conectado Exemplo de respostas: a) Na figura, o plano que secciona o cilindro, passando pelo eixo que contém os centros das bases do cilindro, determina o quadrilátero ABCD que é uma secção meridiana do cilindro. b) Na figura, o plano que secciona o cilindro, paralelo às suas bases, determina o círculo de centro A que é uma secção transversal do cilindro. c) Na figura, o plano que secciona o cone, passando pelo eixo que contém seu vértice e o centro de sua base, determina o triângulo ABC, que é uma secção meridiana do cone. d) Na figura, o plano que secciona o cone, paralelo à sua base, determina o círculo de centro C, que é uma secção transversal do cone. e) Na figura, a intersecção da esfera com o plano que secciona a esfera não passando pelo seu centro é um círculo. f) Na figura, a intersecção da esfera com um plano que secciona a esfera passando pelo seu centro determina o círculo máximo de centro O e diâmetro AB. 28 Sendo O e O´ os centros da esfera e da secção plana, respectivamente, e r o raio dessa secção, temos: r2 + 122 = 152 ⇒ r = 9 cm a) A área Asec da secção plana é dada por: Asec = (π ⋅ 92) cm2 = 81π cm2 b) A área Asup da superfície esférica é dada por: Asup = (4π ⋅ 152) cm2 = 900π cm2 c) O volume V da esfera é dado por: V = = 4.500π cm3 29 Sendo r a medida do raio da secção plana, temos: πr2 = 9π ⇒ r = 3 cm Assim, sendo O e R o centro e o raio da esfera, temos: ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO R2 = + 32 ⇒ R = 6 cm Portanto, o volume V da esfera e a área A da superfície esférica são: V = = 288π cm3 e A = (4 ⋅ π ⋅ 62) cm2 = 144 π cm2 30 O volume V e a área A são: V = = 18π cm3 A = = 27π cm2 31 Sendo R a medida, em centímetro, do raio da esfera original, temos: ⇒ R = 10 Portanto, a esfera original tem raio de 10 cm. Página 41432 Indicando por r e R as medidas do raio da bola e do raio interno do aro, respectivamente, temos: Assim, obtemos: = 1,875 = 187,5% Logo, o diâmetro interno do aro é 87,5% maior que o diâmetro da bola. 33 Após mergulhar a esfera, o cilindro C representado pelo espaço ocupado pela água e pela esfera tem 6 cm de raio e 6 cm de altura: MARIO MATSUDA Logo, o volume VC desse cilindro é dado por: VC = π ⋅ 62 ⋅ 6 cm3 ⇒ VC = 216π cm3 Assim, o volume VA de água é a diferença entre VC e o volume da esfera, isto é: Esse volume de água formava um cilindro de altura h antes de ser mergulhada a esfera; logo, a medida h, em centímetro, é obtida por: π ⋅ 62 ⋅ h = 180π ⇒ h = 5 Ou seja, antes de a esfera ser mergulhada, a altura da superfície da água, em relação ao fundo do vaso, era de 5 cm. Criando problemas Resposta pessoal. 34 FAUSTINO No △OO´C temos: 102 = 62 + (CO´)2; logo: CO´ = 8 cm Como CO´ = AB, concluímos que AB = 8 cm. 35 Alternativa b Seja H a medida, em centímetro, da altura mínima necessária para que as esferas fiquem submersas: MARIO MATSUDA Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos: (H − h)2 + 62 = 102 ⇒ H = 18 Logo, a altura pedida é 18 cm. 36 Ângulo (grau) ----- Volume (m3) 360 ------ 20 ----- VC 37 Ângulo (rad) ----- Volume (cm3) 2π ----- ----- Vc 38 Sendo R a medida, em centímetro, do raio da cunha, temos: Ângulo (grau) ----- Volume (cm3) 360 ----- 60 ----- 6π ⇒ 80πR3 = 2.160π ∴ R = 3 cm 39 Ângulo (grau) ----- Área (m2) 360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 52 80 ----- Af 40 Sendo R a medida, em metro, do raio do fuso, temos: Ângulo (rad) ----- Área (m2) 2π ----- 4πR2 ----- 12π∴ R = 6 m 41 a) A área Af do fuso pode ser calculada pela regra de três: Medida do ângulo diedro (grau) ----- Área (m2) 360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 202 120 ----- Af De onde obtemos: Af = m2 Como a área A da lona deve ter 10% a mais que a área do fuso, concluímos que: A = 1,1 ⋅ m2 = m2 b) A medida do referido ângulo é o suplemento de 120°, ou seja, 60°. c) Indicando por P o ponto onde será instalado o canhão de luz, por Q a projeção ortogonal de P sobre o plano do palco e por h a medida PQ, em metro, esquematizamos: MARIO MATSUDA Página 415 Do triângulo OPQ, temos: sen 60° = ∴ h = m Logo, a altura pedida é h = m. • Exercícios complementares 1 Alternativa c A área lateral A da cobertura é a terça parte (120°) da área lateral de um cilindro circular reto de altura 20 m e raio da base 10 m, ou seja: 2 A panela cilíndrica moldada tem 16 cm de raio da base e 12 cm de altura; logo, a capacidade V da panela é dada por: V = (π ⋅ 162 ⋅ 12) cm3 = 3.072π cm3 ou, de modo equivalente, V = 3,072π dm3 Logo, a capacidade da panela é de 3,072π L ou, aproximadamente, 9,6 L. 3 O volume de água é o volume V do seguinte tronco de cilindro reto com base circular: FAUSTINO V = = 81π cm3 Logo, o volume de água no copo é 81π cm3. 4 Alternativa e Indicando por R e h o raio da base e a altura do cone, respectivamente, e por r o raio do círculo formado pela superfície da água, temos, da semelhança entre os triângulos retângulos destacados na figura abaixo: FAUSTINO Sendo VT e VA o volume interno do tanque e o da água, respectivamente, temos: A relação entre VT e VA pode ser obtida pela razão entre eles: ∴ VT = 8VA = 8π 5 Alternativa b O trapézio isósceles ABCD, abaixo, representa uma secção meridiana desse tronco de cone, em que x é a medida, em metro, do segmento da projeção ortogonal FB do lado BC sobre a base maior do trapézio. ILUSTRAÇÕES: MARIO MATSUDA Do triângulo retângulo BCF, temos: tg 30° = ∴ x = m Como AB = + 2x, temos que AB = m. Assim, deduzimos que o raio da base maior do tronco mede m, com o que concluímos que a área S dessa base é dada por: S = π ⋅ ()2 m2 = 108π m2 Ou seja, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de 108π m2. 6 a) O comprimento da circunferência que limita a base menor do tronco é 18π cm; logo, a medida r, em centímetro, do raio dessa base é dada por: 2πr = 18π ⇒ r = 9 cm O comprimento da circunferência que limita a base maior do tronco é 36π cm; logo, a medida R, em centímetro, do raio dessa base é dada por: 2πR = 36π ⇒ R = 18 cm Temos, portanto, que os raios das bases do tronco medem 9 cm e 18 cm.b) Os diâmetros das bases do tronco medem 18 cm e 36 cm, e a geratriz mede 15 cm. Assim, uma secção meridiana desse tronco é o trapézio isósceles representado a seguir, em que h é a medida, em centímetro, da altura do tronco. Pelo teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCF, obtemos h: h2 + 92 = 152 ⇒ h = 12 cm Ou seja, a medida da altura do tronco é 12 cm. c) Prolongando as geratrizes do tronco, obtemos o cone C que o contém. Assim, esquematizamos a figura a seguir, em que O e O´ são os centros das bases e G é a medida, em centímetro, da geratriz de C. Observe que G − 15 é a medida da geratriz, em centímetro, da geratriz do cone C´, contido em C, cuja base coincide com a base menor do tronco. Da semelhança entre os triângulos LOB e LO´A, obtemos a medida G: ⇒ G = 30 cm Assim, a área lateral Aℓ do tronco é dada por: Aℓ = (π ⋅ 18 ⋅ 30 − π ⋅ 9 ⋅ 15) cm2 = 405π cm2 Ou seja, a área de tecido usado na confecção dessa copa é de 405π cm2. 7 O volume V da Terra é dado por: Convertendo essa medida para centímetro cúbico, obtemos: V ≈ 1,08 ⋅ 1027 cm3 Logo, a massa M do nosso planeta é calculada por: M ≈ 1,08 ⋅ 1027 ⋅ 5,5 g ⇒ M ≈ 5,94 ⋅ 1027 g Convertendo essa medida para quilograma, concluímos que: M ≈ 5,94 ⋅ 1024 kg 8 Alternativa e O esquema abaixo mostra o formato da pílula original e da reduzida, com as respectivas medidas. Página 416Observamos que o volume de cada pílula é a soma do volume de um cilindro com o volume de uma esfera. Assim, indicando por Vo e VR os volumes da pílula original e da reduzida, respectivamente, temos: eSubstituindo π por 3, obtemos: Vo = 1.250 mm3 e VR = 736 mm3 Logo, a redução do volume da pílula original, após a reprogramação da máquina, será de (1.250 − 736) mm3, ou seja, 514 mm3. 9 O raio interno do fundo semiesférico é 6 mm; portanto, o volume Vse de sangue nessa semiesfera é dado por: A altura do cilindro de sangue contido no tubo é (102 − 6) mm, ou seja, 96 mm. Logo, o volume VC desse cilindro é dado por: VC = π ⋅ 62 ⋅ 96 mm3 ⇒ VC = 3.456π mm3 Assim, obtemos o volume V de sangue analisado: V = Vse + VC ⇒ V = 3.600 mm3 O volume VG de glóbulos vermelhos acumulados no fundo do tubo, conforme mostra a figura 2, é dado por: mm3 = VG = 1.440π mm3 Tendo esses valores, já podemos calcular o Ht: 10 Os centros dessas bolas são vértices de uma pirâmide regular quadrangular em que todas as arestas têm a mesma medida de 20 cm, conforme mostra o esquema abaixo. Assim, a altura H da pilha de bolas é a soma da altura h da pirâmide com 2 vezes o raio de uma bola. Pelo teorema de Pitágoras, temos: h2 + ()2 = 202 ⇒ h = cm Concluímos, então, que: H = ( + 2 ⋅ 10) cm ⇒ H = 10( + 2) cm 11 Ângulo (grau) ----- Volume (cm3) 360 ----- 60 ----- Vc cm³ = 6π cm³12 a) Ângulo (grau) ----- Volume (cm3) 360 ----- 30 ----- Vc ⇒ Vc = 375π cm3 b) Ângulo (grau) ----- Área (cm2) 360 ----- 4 ⋅ π ⋅ 15² 30 ----- At ⇒ At = 75π cm2 c) A área total AT da superfície da cunha é a soma da área do fuso com as áreas de dois semicírculos de raio 15 cm, isto é: AT = (75π + 225π) cm2 = 300π cm2 • Trabalhando em equipe Análise da resolução Comentário: Na resolução foi cometido um erro na montagem da proporção entre os lados correspondentes dos triângulos semelhantes. Para evitar esse tipo de erro, é conveniente separar os triângulos semelhantes e assinalar os ângulos correspondentes congruentes: ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO Pelo teorema de Pitágoras, calculamos AC: (AC)2 = 502 + 1202 ⇒ AC = 130 Pela semelhança entre os triângulos AOB e ACO´, calculamos a medida R: ∴ 130R = 6.000 − 50R ∴ 180R = 6.000 ⇒ R = Logo, a medida do raio da esfera é cm. cm ou, aproximadamente, 33,3 cm. Matemática sem fronteiras 1 Esquematizando, temos: NEIDE TOYOTA Concluímos, então, que:a) a 65° e 81° a leste do meridiano de Greenwich, são 16 h e 17 h, respectivamente; b) a 93° e 120° a oeste do meridiano de Greenwich, são 6 h e 4 h, respectivamente. Compartilhe com seus amigos:
Page 2511 Alternativa aO volume da calha é o mesmo do prisma triangular reto representado abaixo. MARIO MATSUDA A área B da base desse prisma é calculada por: B = m2 ⇒ B = 0,01 m2 Logo, o volume V do prisma é dado por: V = (0,01 ⋅ 3) m3 = 0,03m3 12 O volume do leite derramado é o mesmo do prisma representado pelo espaço vazio dentro da caixa inclinada. Indicando por x a medida, em centímetro, da menor aresta da base desse prisma, esquematizamos: MARIO MATSUDA Assim, temos: tg 60° = ⇒ = ∴ x = cm Concluímos, então, que o volume V do leite derramado é dado por: V = ⋅ 7 ⇒ V = 350 Página 40613 Veja o esquema a seguir. a) Verdadeiro, pois a lateral interna é formada por dois trapézios de altura 12 m e bases 3 m e 1 m, um retângulo de dimensões 1 m por 6 m e um retângulo de dimensões 6 m por 3 m; logo, a área S dessa lateral é dada por: S = = 72 m2 b) Verdadeiro, pois o segmento , representado abaixo, separa a face trapezoidal ABCD no retângulo ABCE e no triângulo retângulo AED. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AED, temos: (AD)2 = 122 + 22 ⇒ (AD)2 = 148 ∴ AD = m Logo, a área F do fundo da piscina é: F = 6 m2 ≈ 72 m2 O número n de azulejos necessários para revestir o fundo da piscina é a razão entre F e a área de cada azulejo: = 1.800 c) Verdadeiro, pois para a profundidade de 0,85 m em seu ponto mais raso teríamos a situação do esquema abaixo. ILUSTRAÇÕES: FAUSTINO O volume V de água pode ser calculado como o volume de um prisma reto de altura 6 m cuja base é um trapézio retângulo de altura 12 m e lados paralelos de 0,85 m e 2,75 m, ou seja: V = m3 = 133,2 m3 d) Falso, pois na ocasião o volume de água era 133,2 m3, ou seja, 133.200 L, e, portanto, a massa m de produto químico adicionado na piscina foi: m = ⋅ 20 g = 266,4 g e) Falso, pois o volume V da piscina é o volume de um prisma reto de altura 6 m cuja base é um trapézio retângulo de altura 12 m e lados paralelos com 1 m e 3 m: V = ⋅ 6 m3 = 144 m3 ∴ V − 133,2 m3 = 10,8 m3 = 10.800 L Logo, devem ser acrescentados 10.800 L de água para encher a piscina.Compartilhe com seus amigos:
Page 2633 Alternativa eProlongando as arestas laterais desse tronco de pirâmide, obtemos uma pirâmide de altura 3 + h, em metro, conforme mostra a figura: NEIDE TOYOTA Assim, temos: Logo, o volume V do tronco de pirâmide é dado por: ∴ V = 52.000 dm3 ⇒ V = 52.000 L • Exercícios complementares a) A área B da base do prisma é dada por: B = 6 ⋅ = 18 m2 ≈ 30,6 m2 Assim, a pressão sobre o plano da base é calculada por: ≈ ⇒ ≈ 2 N/b) A área de uma face lateral do prisma é dada por: = 2 ⋅ 6 m2 = 12 m2 ⇒ ≈ 20,4 m2 Assim, a pressão sobre o plano de uma face lateral é calculada por: ≈ ⇒ ≈ 3 N/Compartilhe com seus amigos:
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