Como.determinar o perímetrodeuma figura com raiz quadrada

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

O perímetro do quadrado corresponde a soma dos quatro lados dessa figura plana.

Lembre-se que o quadrado é um quadrilátero regular que apresenta lados com as mesmas medidas (congruentes). Assim, essa figura é composta por quatro ângulos retos (90°).

Cálculo do perímetro do quadrado

O perímetro do quadrado é calculado utilizando a fórmula:

ou

Onde, P é o perímetro,

L é a medida do lado do quadrado

Exemplo
Um quadrado possui lado igual a 4 m. Calcule seu perímetro.

P = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 m

Saiba como calcular o Perímetro do Retângulo.

Fórmula da Área do quadrado

Diferente do perímetro, a área é a medida da superfície da figura. Assim, a área do quadrado é calculada pela fórmula:

Que tal saber mais sobre o tema? Leia Área e Perímetro.

Fique Atento!

A unidade de medida da área será sempre dada em cm2 ou m2.Isso porque ao multiplicar centímetro por centímetro (cm x cm) ou metro por metro (m x m), temos a medida elevada ao quadrado.

Note que no perímetro a unidade é centímetro (cm) ou metro (m), visto que é realizada uma soma e não uma multiplicação.

Diagonal do Quadrado

Ao passar uma linha entre uma extremidade e outra do quadrado ela forma dois triângulos retângulos, os quais apresentam um ângulo de 90°. Essa linha que corta a figura em duas metades é chamada diagonal.

Para calcular a diagonal do quadrado utiliza-se o Teorema de Pitágoras.

Logo,

d2 = L2 + L2
d2 = 2L2
d = √2L2
d = L√2

Quadrado Inscrito na circunferência

Quando um quadrado surge dentro de um círculo ele é chamado “quadrado inscrito”. Esse tipo de figura é muito comum aparecer em provas, vestibulares e concursos.

Para calcular as medidas dessa figura basta usar o Teorema de Pitágoras, em que r é o raio da circunferência e L o lado do quadrado.

Exercícios sobre perímetro do quadrado resolvidos

Exercício 1

Calcule o perímetro dos quadrados:

a) Um quadrado com 900 cm2 de área.

b) Um quadrado com lados de 70 m.

c) Um quadrado com diagonal de 4√2cm.

Exercício 2

Determine o valor do perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 10 cm.

Curiosidade

O quadrado é considerado um tipo de retângulo especial. No entanto, um retângulo não pode ser considerado um quadrado.

Saiba mais sobre outras figuras geométricas nos artigos:

• Geometria Plana
• Geometria Espacial

Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

O quadrado é uma figura geométrica quadrilátera, pois possui quatro lados, e regular, ou seja, todos os 4 lados possuem a mesma medida e formam 4 ângulos retos (de 90 graus). O quadrado possui ainda a diagonal, que é a medida de um canto do quadrado até o canto oposto, conforme a linha pontilhada.

Calcular o perímetro de um quadrado é muito fácil, já que todos os seus lados são iguais. Você já sabe que o perímetro é a soma da medida de todos os contornos de uma figura geométrica bidimensional. Para determinar o perímetro de um quadrado, basta multiplicar o valor de um de seus lados (L) por 4: P = L . 4.

Uma curiosidade sobre o perímetro de um quadrado é que, para uma determinada área, ele vai ser o menor em relação às outras figuras geométricas. Vamos exemplificar:

Vamos imaginar que um fazendeiro cedeu 25 m² de sua fazenda para sua mulher cercar e fazer um canteiro de flores, mas avisou, ela tem que gastar a menor quantidade possível de tela, que vai ser o perímetro. Qual seria o formato do canteiro que utilizaria menos tela?

Ela pensou em duas opções: fazer um cercado retangular de 4m de largura e 6,25m de comprimento, ou fazer um cercado de 5m de largura por 5m de comprimento. Ambas terão 25m², mas qual vai gastar menos tela?

Vamos calcular o perímetro de cada um. Para a primeira opção, o perímetro vai ser:

P = 4 + 4 + 6,25 + 6,25 = 20.5

Nessa opção, ela vai gastar 20.5 metros de tela.

Na segunda opção:

P = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

Nessa opção, o gasto vai ser de 20 metros, ou seja, 0.5 metro a menos que a primeira opção.

Essa é a forma mais fácil de calcular o perímetro de um quadrado: ou somando os quatro lados, ou multiplicando um lado por 4.

P = 5 . 4 = 20

Vamos considerar outro exemplo. O fazendeiro liberou outros 100 m² para a mulher fazer um pequeno pomar. Ela já sabe que o quadrado vai usar a menor quantidade de tela, mas como ela vai saber quantos metros de cada lado a área vai ter?

Essa forma de calcular o perímetro é utilizada quando não sabemos a medida do lado do quadrado, mas sabemos sua área. Para saber o perímetro a partir da área, basta usar a fórmula P = 4 .√A, sendo A = área, e √A a medida do lado do quadrado. Vamos ver quantos metros terá o perímetro do pomar:

P = 4 .√100

P = 4 . 10

P = 40

Pronto! O perímetro vai ser de 40m, e cada lado do pomar terá 10m.

Vamos usar outra situação. Desta vez, o fazendeiro liberou uma área circular que havia aparecido em sua plantação. Esse círculo possui 10 metros de raio.

Ele disse à mulher que ela poderia usar a área dentro do círculo, desde que a cerca tivesse o formato de um quadrado, a cerca deveria ficar dentro do círculo, assim:

Esse é um dos problemas que mais aparecem no Enem e nos vestibulares. Agora, a mulher precisa saber quantos metros de tela irá utilizar para cercar o perímetro, mas ela só tem a medida do raio do círculo, como calcular?

Nesse caso, vamos calcular o perímetro de um quadrado inscrito no círculo. Observe que o valor do raio corresponde a exatamente metade de uma diagonal do quadrado, mas precisamos saber a medida de seu lado. Para isso, vamos usar o teorema de Pitágoras!

Quando temos um quadrado, conhecendo o valor de sua diagonal, podemos calcular a medida do seu lado dividindo-o ao meio, e calculando sua metade como um triângulo retângulo, veja:

Se o valor do raio é metade da diagonal, então o valor da diagonal será 2r. O raio desse círculo mede 10m, logo, a diagonal será 2.10 = 20, esse será o valor da hipotenusa do nosso triângulo retângulo. Agora, no teorema de Pitágoras, o valor do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, mas para calcular um dos lados, precisamos das medidas dos outros dois lados, certo?

Sim, mas aqui, estamos calculando o triângulo à partir de um quadrado, e portanto os catetos (que são os lados do quadrado) terão a mesma medida. Assim, não precisamos usar duas incógnitas a e b. Por exemplo, se a medida de um cateto fosse 10, a medida do outro também seria 10, então, o cálculo poderia ser tanto pela soma 10 + 10, quanto pela multiplicação 2 . 10. Como vamos utilizar as incógnitas, o cálculo poderia ser “a + b”, ou  “2 . a” ou “2 . b”, o resultado seria o mesmo.

No teorema, em vez de usarmos a² + b², utilizaremos 2 . a², ou 2a²:

2a² = 20²

2a² = 400

Vamos simplificando os elementos, até chegarmos ao valor de “a”. Primeiro vamos passar o 2 para o outro lado da igualdade, dividindo:

a² = 400 /2

a² = 200

E agora vamos passar a potência para o outro lado, como raiz quadrada:

a = √200

a = 14,1421

Chegamos ao valor da medida de cada cateto, que é a medida do lado do quadrado. Agora, basta calcular o perímetro com a fórmula básica. Se o lado do quadrado é 14,1421, então:

P = 4 . 14,1421

P = 56,5684

Agora você já sabe as três formas de calcular o perímetro de um quadrado, veja abaixo como calcular a área.

Calculando a área de um quadrado

A área é a quantidade de espaço dentro de um perímetro. Para calcular a área de um quadrado, a forma mais simples é multiplicar a medida de um lado (L) pelo outro, ou elevar um lado ao quadrado, A = L . L ou A = L²:

A = 5 . 5 = 25m²

ou

A = 5² = 25m²

A unidade de medida da área sempre vai ser em metros quadrados (ou centímetros). Existem outras unidades de medidas, mas são utilizadas para áreas muito extensas.

Mas, e se não sabemos a medida dos lados do quadrado, mas temos o valor de sua diagonal? Nesse caso, podemos utilizar a mesma técnica para calcular o perímetro a partir da diagonal, utilizando o teorema de Pitágoras, ou usando a forma mais simples, com a seguinte fórmula:

A = D² / 2

Sendo D, a medida da diagonal.

Vamos supor que a diagonal tenha 15 metros:

A = 15² / 2

A = 225 / 2

A = 112,5 m²

E quando somente o perímetro é conhecido? Esse é fácil, sabemos que o perímetro é o lado multiplicado por 4. Para determinar a medida do lado, então basta dividir o perímetro por 4.

Dado o perímetro de 180 metros, qual é a área do quadrado?

P = L . 4

180 = L . 4

L = 180 / 4

L = 45

A = L²

A = 45²

A = 2.025m²

Exercício resolvido Enem 2011 – Área e perímetro

Nessa questão, a primeira coisa que vamos calcular é o perímetro de cada opção.

Terreno 1: P = 55 + 55 + 45 + 45 = 200

Terreno 2: P = 55 . 4 = 220 (é um quadrado!)

Terreno 3: P = 60 + 60 + 30 + 30 = 180

Terreno 4: P = 70 + 70 + 20 + 20 = 180

Terreno 5: P = 95 + 95 + 85 + 85 = 360

De acordo com o que aprendemos, a opção que teria a maior área seria um quadrado, sua área seria:

A = 55²

A = 3.025

Mas, veja que no enunciado da questão, a quantidade máxima de tela para cercar a praça é de 180m, ou seja, não seria suficiente para cercar a área da opção 2, que tem perímetro de 220 metros.

As únicas duas opções que satisfazem a condição, e tem um perímetro de 180 metros, são os terrenos 3 e 4, mas qual deles tem a maior área? Para isso, basta aplicar a fórmula de cálculo da área, mas, nessa questão, a figura a ser calculada não é um quadrado, mas sim um retângulo, portanto, a fórmula a ser utilizada é a multiplicação da largura pela altura: A = l . a

No terreno 3:

A = 60 . 30

A = 1.800

No terreno 4

A = 70 . 20

A = 1.400

Portanto, a opção que satisfaz a condição do tamanho do perímetro e possui a maior área, é o terreno 3, opção correta C.