Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo.Junho de 2009) A raiz quadrada de dois, denotada
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
, é o único número real positivo cujo quadrado (ou seja, o resultado de sua multiplicação por si próprio) é dois:
2
×
2
=
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}=2}
.
A raiz quadrada de dois é um número irracional,[1][Nota 1] ou seja, não é possível encontrar dois números inteiros a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} tais que a b = 2 . {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}.} Acredita-se que 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. De acordo com uma lenda, a demonstração teria custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as ideias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número (inteiro).[2] Um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem hipotenusa com comprimento 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} . A fração 9970 (≈ 1.4142857) por vezes é usada como uma boa aproximação racional com um denominador razoavelmente pequeno. A sequência A002193 na Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras consiste nos dígitos da expansão decimal da raiz quadrada de 2, aqui truncada para 65 casas decimais:[3] 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799A raiz quadrada de dois pode ser escrita como:
Por ser um número irracional, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} não pode ser expressa como um número finito de casas decimais, uma aproximação com 65 dígitos decimais é: 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... (sequência A002193 na OEIS).Uma aproximação fracionária para a raiz quadrada de 2 é 10/7 que, ao quadrado, fica 100/49, bem próximo de 2. Pode-se facilmente construir uma sequência de números racionais se aproximando (convergindo) para 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} : { x 0 = 1 x n + 1 = x n 2 + 1 x n {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{0}=1\\x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}\end{array}}\right.}Esta recursão produz a sequência: 1 ; 3 2 ; 17 12 ; 577 408 ; 665857 470832 ; 886731088897 627013566048 {\displaystyle 1;~~{\frac {3}{2}};~~{\frac {17}{12}};~~{\frac {577}{408}};~~{\frac {665857}{470832}};~~{\frac {886731088897}{627013566048}}}Ou, aproximadamente: 1 ; 1 , 5 ; 1.416666667 ; 1.414215686 ; 1.414213562 ; 1.414213562 {\displaystyle 1;~~1,5;~~1.416666667;~~1.414215686;~~1.414213562;~~1.414213562}Observe que o método estabiliza a nona casa decimal após apenas cinco passos. O matemático britânico Godfrey Harold Hardy em seu livro Em defesa de um matemático afirma que a demonstração da irracionalidade da raiz quadrada de dois é um dos teoremas de "primeira classe". E que "conserva a beleza e o frescor que tinha ao ser descoberto" há mais de dois mil anos. A demonstração é simples e recorre ao método da prova por contradição. Ou seja, supomos que exista um número racional igual a raiz de 2, ou seja, que existem números inteiros positivos a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} tais que: a b = 2 {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}}ou, equivalentemente: ( a b ) 2 = 2 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=2}Podemos supor que a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} não são ambos números pares, pois se fossem, poderíamos simplificar a fração até obter um dos termos da fração ímpar. Agora, escrevemos: ( a b ) 2 = a 2 b 2 = 2 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}Então: a 2 = 2 b 2 {\displaystyle a^{2}=2b^{2}}Concluímos então que a 2 {\displaystyle a^{2}} deve ser um número par, pois é dobro de b 2 {\displaystyle b^{2}} . E a {\displaystyle a} deve ser par também, pois o quadrado de um número ímpar é ímpar. Temos então que a {\displaystyle a} é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro, digamos c {\displaystyle c} : a = 2 c {\displaystyle a=2c} ( 2 c ) 2 = 2 b 2 {\displaystyle (2c)^{2}=2b^{2}} 4 c 2 = 2 b 2 {\displaystyle 4c^{2}=2b^{2}} 2 c 2 = b 2 {\displaystyle 2c^{2}=b^{2}}Pelos motivos alegados anteriormente, b {\displaystyle b} deve ser um número par. Concluímos, finalmente, que se a raiz quadrada de 2 fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, já que tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares. Isto é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, como queríamos demonstrar. Em 1786, o professor alemão de física Georg Christoph Lichtenberg[4] descobriu que qualquer folha de papel cuja borda longa seja 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} vezes maior que sua borda curta poderia ser dobrada ao meio e alinhada com seu lado mais curto para produzir uma folha com exatamente as mesmas proporções como o original. Esta proporção de comprimentos do lado mais longo sobre o lado mais curto garante que o corte de uma folha ao meio ao longo de uma linha resulta em folhas menores tendo a mesma proporção (aproximada) da folha original. Quando a Alemanha padronizou os tamanhos de papel no início do século 20, eles usaram a proporção de Lichtenberg para criar a série "A" de tamanhos de papel.[4] Hoje, a proporção (aproximada) dos tamanhos de papel em ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} Ciências físicasExistem algumas propriedades interessantes envolvendo a raiz quadrada de 2 nas ciências físicas:
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