Como tirar a raiz quadrada de um numero complexo

Os números complexos, também conhecidos como números imaginários, são números que não existem no mundo real, mas nem por isso eles deixam de ser importantes. Na página sobre conjuntos numéricos, falamos um pouco sobre esse conjunto e dissemos que ele abrange todos os números reais. Mas então, o que mais eles têm a oferecer?

Os números complexos são formados por duas partes, sendo uma real e uma imaginária. A real é representada por um número real, já a imaginária é formada pela multiplicação entre um número qualquer e o símbolo i.

Chamando o número complexo de “z”, segue que:

 sendo a e b números reais e i a unidade imaginária

Esse tipo de numeral foi criado com um objetivo: encontrar soluções para equações polinomiais de segundo e terceiro grau que resultam em raízes quadradas de números negativos. Mas qual o valor de i?

Por convenção, dizemos que i = \( \sqrt{-1} \). Os valores de i para outros expoentes são:

• i1 = i =
  
• i2 = -1
• i3 =  -i
• i4 = 1

Se quiser saber como cada valor de i foi encontrado, confira o vídeo “Números Complexos – Noções básicas” do canal Marcos Aba Math teacher.

Beleza, mas como utilizar o i?

Vamos supor que você esteja resolvendo uma equação de segundo grau, e no momento que calcula o valor do delta, com a fórmula b2 – 4 * a * c, encontra o valor -81 como resultado.

Você sabe que agora terá que usar a fórmula de Bhaskara

Opa, não existe raiz real, mas existe raiz complexa. Perceba que -81 é a mesma coisa que 81 * (-1), e como ambos estão dentro da raiz, podemos escrever desta forma: \( \sqrt{81} * \sqrt{-1} \). Como mostrado anteriormente, \( \sqrt{-1} \) = i, portanto, basta substituir essa raiz negativa por “i”, tirar a raiz quadrada de 81 (que é 9), que temos nosso número complexo 9i.

Se não houvesse uma raiz inteira para o número, como por exemplo em \( \sqrt{15} \), então a resposta seria: \( \sqrt{15} i \), com o i fora da raiz.

Em outra página do ramo da Aritmética, falamos sobre as operações fundamentais da matemática, e elas continuam valendo para os números complexos. Caso queira saber mais sobre essas operações, recomendo a playlist “Números Complexos” do canal Marcos Aba Math teacher.

Como você viu, os números complexos foram criados com o princípio de oferecer soluções para raízes de números negativos. Em geral, as aplicações são voltadas para as engenharias:

• elétrica, na parte de circuitos elétricos; 
• e de controle, como por exemplo, no controle da quantidade de água e taxa de saída ou no controle de temperatura de tanques e fornos, onde o sinal da parte real do número complexo encontrado a partir de uma equação de segunda ordem (ou segundo grau) serve para determinar o comportamento do sistema ao longo do tempo. Dessa forma, esses números ajudam a encontrar os sistemas mais eficientes e melhor controlados.

Para mais informações sobre essas aplicações, acesse a monografia “Números Complexos”, realizada por estudantes da Licenciatura em Matemática na UNICAMP.

Durante muitos anos os matemáticos tentaram descobrir uma maneira de determinar a raiz quadrada de um número negativo. Muitos diziam ser impossível tal solução, tendo em vista as propriedades desta raiz. A raiz de um número é calculada descobrindo qual número multiplicado por ele mesmo resultada no valor da raiz. Por exemplo, sabemos que a raiz quadrada de 25 (√25) é 5, pois 5 x 5 = 25. Com base nessa propriedade, não podemos determinar a raiz de −25, pois (−5) x (−5) = + 25. Por isso, não conseguimos determinar a raiz de um número negativo por meio da referida propriedade.

Por volta do séc. XVI os matemáticos resolveram o problema da raiz de um número negativo, associando a raiz de √−1 a um número imaginário, representado pela letra i. Dessa forma, as raízes de numerais negativos poderiam ser calculadas com a associação do número imaginário e a raiz quadrada do número inteiro. Observe como resolver a raiz quadrada do número inteiro negativo, utilizando o número imaginário:

Vamos determinar a raiz quadrada de mais alguns números inteiros negativos. Observe:

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

A primeira fórmula de Moivre é usada para encontrar potências de números complexos escritos na forma polar. Por sua vez, a segunda fórmula de Moivre é usada para encontrar raízes de números complexos também escritos na forma polar.

Considerando o número complexo z = a + bi e o número complexo u, tal que un = z, u é chamado raiz de z. Para encontrar seu valor, podemos usar a seguinte fórmula:

Para demonstrar essa fórmula, precisamos conhecer antes a primeira fórmula de Moivre.

Primeira fórmula de Moivre

A primeira fórmula de Moivre é utilizada para potências que envolvem números complexos expressos em sua forma polar.

Dado o complexo z = p(cosθ + isenθ). A primeira fórmula de Moivre é representada por:

Demonstração da segunda fórmula de Moivre

Dado o número complexo z = a + bi, existe um número complexo u, tal que:

Nesse caso, o complexo u é chamado de raiz enésima de z.

Em sua forma polar, o número complexo z é representado da seguinte maneira:

Já o número complexo u, em sua forma polar, é representado da seguinte forma:

Sabendo que un = z e aplicando a primeira fórmula de Moivre, teremos:

Comparando as variáveis, podemos concluir que:

Das equações 4 e 5, teremos:

Para finalizar a demonstração, substitua as equações 6 e 3 na equação 2. Ao fazer isso, estamos criando um mecanismo para descobrir o número complexo u (raiz do complexo z), dado o complexo z em sua forma polar.

O valor de k deve variar de 0 até n – 1.

Exemplo

Qual é a raiz quadrada do complexo a seguir?

A raiz quadrada de um complexo é dada pela segunda fórmula de Moivre, com n = 2:

Para k = 0, teremos:

Da WikiCiências

Referência : Tavares, J.N., Geraldo, A., (2013) Raízes de números complexos, Rev. Ciência Elem., V1(1):062
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2013.062]

Definição

As raízes de índice \(n \in \mathbb{N}\) de um número complexo \(w\) são os números complexos \(z\) tais que \(z^{n}=w\).

Portanto, calcular \(\sqrt[n]{w}\) é equivalente a calcular os números complexos cuja potência de índice \(n\) seja igual a \(w\).

Raízes de índice \(n\)

Determinar as raízes de índice \(n \in \mathbb{N}\) de um número complexo \(w\), ou seja calcular \(\sqrt[n]{w}\) é então equivalente a determinar os números complexos \(z\) tais que:

\(z^n=w\)

Para isso consideramos os números complexos \(z\) e \(w\) na forma polar:

\(w=|w|\,cis\,\alpha\)

\(z=|z|\,cis\,\theta\)

Usando a fórmula de De Moivre temos então que

\(\displaystyle z^n=w \quad \Leftrightarrow \quad (|z|\,cis\,\theta)^n=|w|\,cis\,\alpha \quad \Leftrightarrow \quad |z|^n\,cis\,(n\theta)=|w|\,cis\,\alpha\)

Resolvendo a equação temos, atendendo à igualdade dos números complexos escritos na forma polar, que

\(|z|^n=|w| \Longrightarrow \,|z|=\sqrt[n]{w}=|w|^{1/n}\)

e

\(\displaystyle n\theta=\alpha+2k\pi \, \Longleftrightarrow \, \theta=\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n} , \quad k=0,1,2,\dots,n-1\).

Portanto, as \(n\) raízes distintas de índice \(n\) de um número complexo \(w=a+bi=|w|\,cis\,\alpha\) são dadas por:

\(\displaystyle z_{k}=|w|^{1/n}\, cis\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right) , \quad k=0,1,2,\dots,n-1\) (1),

logo têm o mesmo módulo pelo que pertencem à circunferência de centro na origem no referencial e raio \(|z|=|w|^{1/n}\). Note-se ainda que a diferença entre os argumentos de duas raízes \(z_k\) e \(z_{k+1}\), \(\quad k=0,1,2,\dots,n-1\), é \(\displaystyle \frac{2k\pi}{n}\), logo, as \(n\) raízes situam-se nos vértices de um polígono regular de \(n\) lados inscritos na referida circunferência.

Exemplos

Raízes cúbicas de -1

Para isso temos de escrever \(w = -1\) na forma polar:

\(-1=|w|\,cis\,\alpha \,\Longleftrightarrow \, -1=|w|\cos\alpha+i\,|w|\sin\alpha \, \Longleftrightarrow \)

\(\Longleftrightarrow\, |w|\cos\alpha=-1 \,\wedge \,|w|\sin\alpha =0 \,\Longleftrightarrow\, \, |w|=1 \,\wedge\, \alpha=\pi\)

Portanto, \(w=\, cis\, \pi\).

Aplicando a fórmula (1) obtemos três raízes cujo módulo é \(\displaystyle |z|=\sqrt[3]{1}=1 \,\) e argumento \(\displaystyle \theta_k=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3} \, , \quad k=0,1,2\), isto é,

\(\displaystyle |z|=1 \, \wedge \, \left(\theta=\frac{\pi}{3} \, \vee \, \theta=\pi \, \vee \, \theta=\frac{5\pi}{3}\right) \)

As raízes cúbicas de \(-1\) são então:

\(z_0\) \(\displaystyle =\, cis\, \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \, ; \quad \) \(z_1\) \(\displaystyle=\, cis\, \pi=-1 \, ; \quad \) \(z_3\) \(\displaystyle =\, cis\, \left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

Raízes de índice 4 de \(w=\sqrt{3}+i\)

Considerando \(w=\sqrt{3}+i\) pretendemos determinar \(\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}\), ou seja, encontrar os números complexos \(z=|z|\,cis \,\theta\) tais que \(z^4=w\).

Mais uma vez precisamos de escrever \(w\) na sua forma polar:

\(\sqrt{3}+i=|w|\,cis\,\alpha \,\Longleftrightarrow \, \sqrt{3}=|w|\cos\alpha \, \wedge \, 1=|w|\sin\alpha \, \Longleftrightarrow \)

\(\displaystyle \Longleftrightarrow |w|=\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} \, \wedge \, |w|=\frac{1}{\sin\alpha}\)

\(|w| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1} = \sqrt{4} = 2\) e \(\sqrt{3} + i = 2 cis\alpha = 2\cos\alpha + 2i\sin\alpha\)

Então,

Portanto, \(\displaystyle w=2\,cis\,\frac{\pi}{6}\).

Aplicando a fórmula (1) temos então que as raízes têm módulo \(\displaystyle |z|=\sqrt[4]{2} \,\) e argumento \(\displaystyle \theta_k =\frac{\pi/6}{4}+\frac{2k\pi}{4} \, , \quad k=0,1,2,3\), isto é, \(\displaystyle |z|=\sqrt[4]{2} \, \wedge \, \left(\theta=\frac{\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{13\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{25\pi}{24} \, \vee \, \theta=\frac{37\pi}{24}\right) \)

As raízes de índice 4 de \(\sqrt{3}+i\) são, então:

\(z_0\)\(\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{\pi}{24}\right) \cong 1,18+0,16i \, ; \quad \) \(z_1\) \(\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{13\pi}{24}\right) \cong -0,16+1,18i \, ; \quad \) \(z_2\) \(\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{25\pi}{24}\right) \cong -1,18-0,16i \, ; \quad \) \(z_3\) \(\displaystyle =\sqrt[4]{2} \, cis\, \left(\frac{37\pi}{24}\right) \cong 0,16-1,18i \)