Como resolver log com raiz quadrada

Logaritmo é uma ferramenta muito importante não somente para a área da matemática, pois possui aplicação em diversos campos da ciência, como na geografia, química e computação.

Historicamente o logaritmo surge a fim de facilitar contas que apareciam com frequência em diversas áreas cientificas. John Napier foi pioneiro nos estudos sobre logaritmos, e conseguiu desenvolver a operação capaz de transformar produtos em soma, divisões em subtrações e potências em multiplicações.

Definindo essa operação, com o tempo, outros matemáticos formalizaram definições e propriedades, além disso, foi desenvolvida também a conhecida tábua de logaritmos.

Definição do logaritmo

Esboço do gráfico da função logaritmo (à direita) e sua inversa exponencial (à esquerda).

Considere dois números reais positivos a e b, com a ≠ 0. O logaritmo de b na base a é o número x se, e somente se, a elevado a x for igual ao número b.

Nomenclatura:

a → base

b → logaritmando

x → logaritmo

Veja os exemplos:

Quando um logaritmo possui a base igual a 10, esse é chamado logaritmo decimal. Ao registrar-se um logaritmo decimal, não é necessário escrever a base 10. É convencionado que:

Leia também: Sistema de logaritmos decimais

Como calcular um logaritmo?

Para calcular um logaritmo, temos que procurar um número que, quando elevamos a base, resulte no logaritmando. Pegando como exemplo o logaritmo de 36 na base 6 do exemplo anterior, devemos encontrar um número que, quando elevamos a base 6, resulte em 36. Como 62 = 36, sendo a resposta 2. Vejamos mais exemplos:

1) Log 1000. Para calcular esse logaritmo, devemos encontrar um número que, elevado a 10, seja igual a 1000, isto é, 10x = 1000.

Resolvendo a equação exponencial, temos:

10x =1000

10x = 103

x = 3

Portanto,

1.Calcule o logaritmo:

Devemos encontrar um número que, elevado à raiz de 7, seja igual a um quarenta e nove avos. Resolvendo a equação, temos:

Leia mais: Equação exponencial - equação com incógnita no expoente

Condição de existência do logaritmo

Considere o logaritmo a seguir:

A expressão só está definida para quando a base for maior que zero e diferente de um e quando o logaritmando for maior que zero, ou seja:

a > 0 e a ≠ 1

b > 0

Propriedade dos logaritmos

Veja a seguir as principais propriedades dos logaritmos. Todos os logaritmos aqui citados satisfazem a condição de existência.

O logaritmo do produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos desses fatores.

O logaritmo do quociente entre dois números é igual à diferença dos logaritmos desses números.

O logaritmo de uma potência é igual à multiplicação do expoente dessa potência pelo logaritmo da base da potência, em que mantemos a base do logaritmo.

O logaritmo de uma raiz é igual ao inverso do índice da raiz multiplicado pelo logaritmo, em que também mantemos a base.

O logaritmo de um número, em uma base elevada a uma potência, é igual à multiplicação do inverso do expoente dessa base.
 

Saiba mais: Aplicações dos logaritmos: veja exemplos

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Fuvest - SP) Se x5 = 1000 e b3 = 100, então o logaritmo de x na base b vale:

A) 0,5

B) 0,9

C) 1,2

D) 1,5

E) 2,0

Solução

Como os números 1000 e 100 podem ser escritos na base 10, temos:

Substituindo no logaritmo de x na base b e aplicando a definição, temos:

Questão 2 - (Enem) Define-se o potencial hidrogeniônico (pH) de uma solução como o índice que indica sua acidez, neutralidade ou alcalinidade. É encontrado da seguinte maneira:

Sendo H+ a concentração de íons de hidrogênio nessa solução. O pH de uma solução, em que H+ = 1,0 ·10-9, é:

Solução:

Substituindo o valor do H+ na fórmula do pH, temos:

Por L.do Robson Luiz
Professor de Matemática

Os logaritmos encontram aplicações em diversas áreas do conhecimento, como na Física, Engenharia, Geologia e outras. Muitas vezes os cálculos envolvendo logaritmo tornam-se muito complexos, por se tratar de sentenças que envolvem propriedades exponenciais. Para facilitar esses cálculos, além do uso de calculadoras, existem algumas propriedades operatórias. Vejamos quais são essas propriedades e como utilizá-las.

Propriedade 1: Logaritmo do produto.

Exemplo: 

Propriedade 2: Logaritmo do quociente.

Exemplo:

Propriedade 3: Logaritmo de uma potência.

Exemplo:

Propriedade 4: Logaritmo de uma raiz.

Essa propriedade é uma extensão da propriedade 3, uma vez que toda raiz pode ser escrita na forma de uma potência.

Exemplo:

Propriedade 5: Propriedade da mudança de base.

Essa propriedade é utilizada quando o logaritmo a ser calculado apresenta uma base que torna os cálculos mais complexos, e ela nos permite escolher a base que seja mais conveniente, tornando os cálculos mais simples. A propriedade da mudança de base também é fundamental para a simplificação de expressões que envolvem logaritmos com bases diferentes.

Exemplo: Se desejarmos calcular o valor do seguinte logaritmo log5 11, nem com uso de uma calculadora científica seria possível, pois ela trabalha com logaritmos na base 10 ou na base e. Nesse caso, seria necessário fazer a mudança para uma dessas bases. Assim, teremos:

Os cálculos dos logaritmos, após a mudança de base, foram feitos com o auxílio de uma calculadora científica.

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto: