Como calcular teste de comparação de médias

Todos os testes aqui descritos possuem uma única finalidade: identificar se a média de variável entre dois grupos é diferente. Todos possuem como hipótese nula a diferença entre os grupos é zero, então \(p\)-valores oriundos dos testes quantificam a probabilidade de você obter resultados tão extremos caso não haja diferença entre os grupos. Por fim, todos os testes possuem o pressuposto de independência dos dados, portanto, caso haja alguma fonte de dependência dos dados os resultados dos testes são inválidos.

Teste \(t\) de Student

William Sealy Gosset (químico, 1876-1937) publicou o teste \(t\) sob o pseudônimo de “Student,” razão pela qual o teste às vezes é chamado de “teste \(t\) de Student” (Student, 1908). Há controvérsia sobre a origem e o significado de \(t\). Uma hipótese é que \(s\) era comumente usado na época para se referir a estatísticas de amostra, então Gosset escolheu \(t\) como a próxima letra, talvez indicando um “avanço” no pensamento sobre estatísticas de amostra. Gosset publicou sob um pseudônimo porque ele era um funcionário da Cervejaria Guinness na época, e ele foi contratado para examinar questões ao fazer inferências sobre pequenas amostras na fabricação de cerveja. O teste que ele desenvolveu poderia ser propriedade intelectual do Guinness, mas Gosset achou que o teste poderia ser amplamente usado, então ele o publicou sob um pseudônimo para proteger seu trabalho.

Figure 1: William Sealy Gosset. Figura de https://www.wikipedia.org

O teste \(t\) de Student assume os seguintes pressupostos com relação aos dados:

1. Os dados são independentes: o valor de uma observação não influencia ou afeta o valor de outras observações.
2. A variável dependente (aquela que estamos usando para calcular a média dos grupos) é distribuída conforme uma distribuição Normal.
3. A variável dependente possui homogeneidade de variância dentre os grupos1.

Student vs Welch

Em 1947, Bernard Lewis Welch, estatístico britânico adaptou o teste \(t\) de Student para ser robusto perante heterogeneidade das variâncias (Welch, 1947). O teste \(t\) de Welch é muita vezes confudido e reportado erroneamente como teste \(t\) de Student, uma vez que pela sua robustez é o teste \(t\) padrão de diversos softwares estatísticos (Delacre, Lakens, & Leys, 2017). No R a função t.test() possui como padrão o teste \(t\) de Welch e caso você queira explicitamente usar o teste \(t\) de Student você deve incluir o argumento var.equal = TRUE na função.

Teste \(t\) para Amostras Independentes

Quando temos dois grupos na mesma amostra, usamos o teste \(t\) para amostras independentes. A função t.test() é incluída como padrão no R. Aqui vamos simular dois grupos A e B cada um com 20 observações e vamos amostrar de uma distribuição Normal para cada um dos grupos com médias diferentes.

A fórmula que deve ser passada na função t.test() segue a mesma lógica das fórmulas do Teste de Bartlett e de Levene, sendo que é necessário fornecer dois argumentos:

1. Fórmula designando a variável cuja média deve ser analisada e os grupos em relação aos quais as médias serão analisadas. A fórmula é designada pela seguinte síntaxe: variavel ~ grupo.
2. O dataset no qual deverá ser encontrados tanto a varíavel quanto os grupos.

O resultado para a simulação é um \(p\)-valor menor que 0.05, ou seja um resultado significante apontando que podemos rejeitar a hipótese nula (fortes evidências contrárias que as médias dos grupos são iguais).

Welch Two Sample t-test data: measure by group t = -13.095, df = 37.88, p-value = 1.226e-15 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -5.086532 -3.724278 sample estimates: mean in group A mean in group B 0.2039198 4.6093247

Teste \(t\) para duas Amostras Pareadas

Em algumas situações temos amostras pareadas, como por exemplo quando fazemos uma mensuração antes e depois de algum acontecimento ou intervenção. Para isso a função t.test() tem o argumento paired que quando definido como TRUE faz com que o teste \(t\) seja pareado.

A mesma simulação do teste \(t\) para amostras pareadas, mas agora não usamos a fórmula e passamos como argumento as mensurações das duas amostras pareadas:

amostra_1 <- tibble(measure = rnorm(n_sim_t, mean = 0)) amostra_2 <- tibble(measure = rnorm(n_sim_t, mean = 5)) t.test(amostra_1$measure, amostra_2$measure, paired = TRUE)

Testes \(t\) Não-Paramétricos

O que fazer se meus dados violam o pressuposto de normalidade? Nesse caso devemos usar uma abordagem não-paramétrica. O teste \(t\) de Student (e também de Welch) é uma abordagem paramétrica: dependem fortemente da suposição que os dados estejam distribuídos de acordo com uma distribuição específica. Testes não-paramétricos não fazem suposições sobre a distribuição dos dados e portanto podem ser usados quando os pressupostos dos testes paramétricos são violados.

Atenção: testes não-paramétricos são menos sensíveis em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira (erro tipo I) do que testes paramétricos quando o pressuposto de normalidade não é violado (Zimmerman, 1998). Então não pense que deve sempre aplicar um teste não-paramétrico em todas as ocasiões.

Teste de Mann–Whitney

O teste de Mann-Whitney foi desenvolvido em 1947 para ser uma alternativa não-paramétrica ao teste \(t\) para amostras independentes (Mann & Whitney, 1947). Para aplicar o teste Mann-Whitney use a função wilcox.test()2 é incluída como padrão no R. Aqui vamos simular novemente dois grupos A e B cada um com 20 observações e vamos amostrar de uma distribuição Log-Normal para cada um dos grupos com médias diferentes. A síntaxe é a mesma que a função t.test().

sim4 <- tibble( group = c(rep("A", n_sim_t), rep("B", n_sim_t)), measure = c(rlnorm(n_sim_t, mean = 0), rlnorm(n_sim_t, mean = 5)) ) wilcox.test(measure ~ group, data = sim4, conf.int = TRUE)

Teste de Wilcoxon

O teste de Wilcoxon foi desenvolvido em 1945 para ser uma alternativa não-paramétrica ao teste \(t\) para amostras pareadas (Wilcoxon, 1945). A função wilcox.test()3 tem o argumento paired que quando definido como TRUE faz com que o teste não-paramétrico seja pareado (muito similar a função t.test() para amostras pareadas).

A mesma simulação do teste de Mann-Whitney para amostras pareadas, mas agora não usamos a fórmula e passamos como argumento as mensurações das duas amostras pareadas:

amostra_3 <- tibble(measure = rlnorm(n_sim_t, mean = 0)) amostra_4 <- tibble(measure = rlnorm(n_sim_t, mean = 5)) wilcox.test(amostra_3$measure, amostra_4$measure, paired = TRUE, conf.int = TRUE)

Uma das bibliotecas que usamos bastante para visualização de testes estatísticos é a {ggpubr} (Kassambara, 2020). Veja um exemplo abaixo com um dos datasets que simulamos nesse tutorial.

Primeiramente criamos um diagrama de caixa (boxplot) com a função ggboxplot() na qual especificamos o eixo X, eixo Y, cor, paleta de cores etc. Na sequencia adicionamos a camada das estatísticas de comparação dos grupos com o stat_compare_means() especificando que tipo de método será utilizado na análise:

• "wilcox.test" – Teste não-paramétrico de Wilcoxon (padrão da função).
• "t.test" – Teste \(t\) paramétrico de Welch.

Figure 2: Diagrama de Caixa usando o {ggpubr} – Amostras Independentes

Para testes usando amostras pareadas é necessário usar a função ggpaired() e adicionar o argumento paired = TRUE dentro da função stat_compare_means()

ggpaired(sim3, x = "group", y = "measure", color = "group", palette = "lancet", line.color = "gray", line.size = 0.4) + stat_compare_means(method = "t.test", paired = TRUE)

Figure 3: Diagrama de Caixa usando o {ggpubr} – Amostras Pareadas

Ambiente

R version 4.0.3 (2020-10-10) Platform: x86_64-apple-darwin17.0 (64-bit) Running under: macOS Catalina 10.15.7 Matrix products: default BLAS: /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.0/Resources/lib/libRblas.dylib LAPACK: /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.0/Resources/lib/libRlapack.dylib locale: [1] en_US.UTF-8/en_US.UTF-8/en_US.UTF-8/C/en_US.UTF-8/en_US.UTF-8 attached base packages: [1] stats graphics grDevices utils datasets methods [7] base other attached packages: [1] ggpubr_0.4.0 car_3.0-10 carData_3.0-4 [4] patchwork_1.1.1 dplyr_1.0.4 ggplot2_3.3.3 [7] DiagrammeR_1.0.6.1 readxl_1.3.1 loaded via a namespace (and not attached): [1] Rcpp_1.0.6 lubridate_1.7.9.2 lattice_0.20-41 [4] tidyr_1.1.2 visNetwork_2.0.9 assertthat_0.2.1 [7] rprojroot_2.0.2 digest_0.6.27 utf8_1.1.4 [10] R6_2.5.0 cellranger_1.1.0 backports_1.2.1 [13] evaluate_0.14 highr_0.8 pillar_1.4.7 [16] rlang_0.4.10 curl_4.3 rstudioapi_0.13 [19] data.table_1.13.6 Matrix_1.2-18 reticulate_1.18 [22] rmarkdown_2.6 labeling_0.4.2 stringr_1.4.0 [25] foreign_0.8-80 htmlwidgets_1.5.3 munsell_0.5.0 [28] broom_0.7.4 compiler_4.0.3 xfun_0.21 [31] pkgconfig_2.0.3 htmltools_0.5.1.1 downlit_0.2.1 [34] tidyselect_1.1.0 tibble_3.0.6 bookdown_0.21 [37] rio_0.5.16 fansi_0.4.2 crayon_1.4.1 [40] withr_2.4.1 grid_4.0.3 jsonlite_1.7.2 [43] gtable_0.3.0 lifecycle_0.2.0 DBI_1.1.1 [46] magrittr_2.0.1 scales_1.1.1 zip_2.1.1 [49] cli_2.3.0 stringi_1.5.3 ggsignif_0.6.0 [52] farver_2.0.3 xml2_1.3.2 ellipsis_0.3.1 [55] generics_0.1.0 vctrs_0.3.6 openxlsx_4.2.3 [58] distill_1.2 ggsci_2.9 RColorBrewer_1.1-2 [61] tools_4.0.3 forcats_0.5.1 glue_1.4.2 [64] purrr_0.3.4 hms_1.0.0 abind_1.4-5 [67] yaml_2.2.1 colorspace_2.0-0 rstatix_0.6.0 [70] knitr_1.31 haven_2.3.1

Delacre, M., Lakens, D., & Leys, C. (2017). Why psychologists should by default use welch’s t-test instead of student’s t-test. International Review of Social Psychology, 30(1).

Kassambara, A. (2020). Ggpubr: ’ggplot2’ based publication ready plots. Retrieved from https://CRAN.R-project.org/package=ggpubr

Mann, H. B., & Whitney, D. R. (1947). On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. Ann. Math. Statist., 18(1), 50–60. https://doi.org/10.1214/aoms/1177730491

Student. (1908). The probable error of a mean. Biometrika, 1–25.

Welch, B. L. (1947). The generalization of student’s’ problem when several different population variances are involved. Biometrika, 34(1/2), 28–35.

Wilcoxon, F. (1945). Individual comparisons by ranking methods. Biometrics Bulletin, 1(6), 80–83. Retrieved from http://www.jstor.org/stable/3001968

Zimmerman, D. W. (1998). Invalidation of parametric and nonparametric statistical tests by concurrent violation of two assumptions. The Journal of Experimental Education, 67(1), 55–68. https://doi.org/10.1080/00220979809598344