Calculo da amostra como a raiz quadrada da população

Proceda a retirada de 200 amostras aleatórias da variável Renda (primeiramente excluam as linhas com dados perdidos), com os seguintes tamanhos: 4, 8, 16, 30 e 100 elementos. Com base nos resultados encontrados responda os itens a seguir:

a) Pelo teorema central do limite admite-se que o valor esperado da média amostral seja a média populacional que se pretende estimar, e eles serão tão mais próximos à medida que aumenta o tamanho da amostra. Isso é confirmado pelos resultados obtidos nas amostras? JUSTIFIQUE.

Isso é confirmado e pode ser visto claramente na seguinte tabela, que mostra as médias amostrais para cada tamanho de amostra e a média da população:

b) Além do que foi dito acima, admite-se que o desvio padrão das médias amostrais será igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra, e eles serão tão mais próximos à medida que aumenta o tamanho da amostra. As amostras retiradas confirmam essa afirmação? JUSTIFIQUE.

Conforme pudemos observar acima, as amostras confirmam essa afirmação: quanto maior a amostra, a tendência é ficar mais próxima do valor da população.

c) Outra característica muito importante do teorema central do limite é que a distribuição amostral da média será cada vez mais próxima de uma distribuição normal, à medida que o tamanho da amostra aumenta, independentemente da forma da distribuição da variável na população. Sabe-se que a variável Renda não tem distribuição normal na população. Os resultados das amostras corroboram esta afirmação (usem os gráficos apropriados). JUSTIFIQUE.

Sim, os resultados levam a crer que a medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da média fica cada vez mais próxima de uma normal.

2) Há uma grande preocupação em estimar o comportamento da variável Idade dos passageiros, de maneira a caracterizar melhor seu o perfil. Alguém da empresa sugeriu que vocês retirassem uma amostra de 20 clientes e registrassem os valores de Idade. Com base nos resultados encontrados respondam os itens a seguir (lembre-se de excluir inicialmente as linhas com dados perdidos e de que o tamanho da população é conhecido).

a) Encontrem o intervalo de 95% de confiança para a média populacional da Idade dos passageiros. Interpretem o resultado.

O resultado acima indica que a média tem 95% de chance de estar entre 29.31 e 37.19 (um intervalo de 7.88 anos), e 5% de chance de estar acima ou abaixo disso.

b) Se quiséssemos encontrar um intervalo de 99% de confiança para a média populacional da Idade dos passageiros, com uma precisão de 2 anos, a amostra coletada seria suficiente? JUSTIFIQUE.

A amostra coletada sem dúvida não é suficiente: obtivemos um intervalo entre de 9.56 anos. Precisamos de uma amostra maior para obter uma precisão de 2 anos com esse nível de confiança:

c) Você concorda com o plano de amostragem usado (que considerou a população homogênea)? JUSTIFIQUE.

Não, amostrar apenas por idade é super-simplificar a população. Outros fatores sócio-econômicos (como renda e escolaridade) podem ser analisados em conjunto para uma compreensão melhor dos dados.

3) A estimação da média populacional da variável Renda também é muito importante. Retirem uma amostra de 20 clientes e registrem seus valores. Com base nos resultados encontrados respondam os itens a seguir (lembre-se de excluir inicialmente as linhas com dados perdidos e de que o tamanho da população é conhecido).

a) Encontre o intervalo de 95% de confiança para a média populacional de Renda. Interpretem o resultado.

O resultado acima indica que a média tem 95% de chance de estar entre 2.68 e 5.33 (um intervalo de 2.65 salários mínimos), e apenas 5% de chance de estar acima ou abaixo disso. Esse intervalo, contudo, é muito largo: preciaríamos de uma amostra maior ou mais bem selecionada (utilizando outros fatores além de Renda).

b) Repitam o item a para 99% de confiança. O intervalo ficou muito “largo”? O que poderia ser feito para torná-lo mais preciso? JUSTIFIQUEM.

Dessa vez o intervalo ficou entre 2.4 e 5.62 (3.22 salários mínimos); para tornar o intervalo menor (deixando o resultado mais preciso), poderíamos (por exemplo) aumentar consideravelmente o tamanho da amostra ou usar mais fatores além de Renda (como Escolaridade).

c) Qual deveria ser o tamanho mínimo de amostra para determinar um intervalo de 99% de confiança e precisão de 1,5 salários mínimos para a Renda mensal dos passageiros?

O tamanho mínimo da amostra para um intervalo com 1,5 salários mínimos de precisão com 99% de confiança seria:

4) Vamos avaliar a Uso principal do smartphone. Retirem uma amostra aleatória de 200 elementos (novamente, primeiramente excluam as linhas com dados perdidos). Registrem a proporção amostral de clientes que usam o smartphone predominantemente para acessar redes sociais e respondam os itens a seguir (lembre-se de que o tamanho da população é conhecido):

a) Encontrem o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional de clientes que usam o smartphone para acessar redes sociais. Interpretem o resultado.

b) Suponha que haja interesse em obter um intervalo de 95% para a proporção populacional de clientes que usam o smartphone para acessar redes sociais, com uma precisão de 2%. A amostra coletada é suficiente? JUSTIFIQUE.

c) Qual deveria ser o tamanho mínimo de amostra para estimar com 95% de confiança e precisão de 2% a proporção populacional de clientes que usam o smartphone para acessar redes sociais, se vocês não pudessem ter tirado a amostra piloto?

5) Outra grande preocupação da ATCHIM é com a Satisfação dos clientes sobre os modelos oferecidos de smartphone. Retirem uma amostra aleatória de 200 elementos (novamente, primeiramente excluam as linhas com dados perdidos). Registrem a proporção amostral de clientes insatisfeitos ou muito insatisfeitos e respondam os itens a seguir (lembre-se de que o tamanho da população é conhecido):

a) Encontrem o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional de clientes insatisfeitos ou muito insatisfeitos. Interpretem o resultado.

b) Suponha que haja interesse em obter um intervalo de 95% para a proporção populacional de clientes insatisfeitos ou muito insatisfeitos com uma precisão de 2%. A amostra coletada é suficiente? JUSTIFIQUE.

c) Qual deveria ser o tamanho mínimo de amostra para estimar com 95% de confiança e precisão de 2% a proporção populacional de clientes insatisfeitos ou muito insatisfeitos, se vocês não pudessem ter tirado a amostra piloto?

6) Imaginem que a ATCHIM considera clientes “alvo” aqueles clientes que tem Renda familiar mensal de mais de 4 salários mínimos. Recodifiquem a variável Renda em uma variável qualitativa com dois valores (primeiramente retirem as linhas com dados perdidos): clientes-não alvo e clientes-alvo. Retirem uma amostra aleatória de 250 elementos (posicione a primeira célula do intervalo de população na coluna onde está a variável recodificada). Registrem a proporção amostral de clientes-alvo e respondam os itens a seguir (lembre-se de que o tamanho da população é conhecido):

a) Encontrem o intervalo de 95% de confiança para a proporção populacional de clientes-alvo na variável Renda recodificada. Interpretem o resultado.

b) Suponha que haja interesse em obter um intervalo de 95% para a proporção populacional de Clientes-alvo, com uma precisão de 2%. A amostra coletada é suficiente?

c) Qual deveria ser o tamanho mínimo de amostra para estimar com 95% de confiança e precisão de 2% a proporção populacional de Clientes-alvo, se vocês não pudessem ter tirado a amostra piloto?

d) Se vocês pudessem escolher, o que iriam preferir: estimar o intervalo de confiança da variável Renda diretamente ou após a recodificação em variável qualitativa? JUSTIFIQUEM.

Portanto, peço que considerem a variância (e média) populacional das variáveis quantitativas como DESCONHECIDAS, bem como as proporções populacionais dos atributos de interesse das variáveis qualitativas. Sendo assim, nos casos de média vocês devem usar a variável t de Student.